1、限时规范训练1.(2016山西四校联考)如图，在三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PBBCCA2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PFFA.(1)求证：BE平面PAC；(2)求直线AB与平面BEF所成角的正弦值解析：(1)证明：PB底面ABC，且AC底面ABC，ACPB，由BCA90，可得ACCB，又PBCBB，AC平面PBC，BE平面PBC，ACBE.PBBC，E为PC中点，BEPC，又PCACC，BE平面PAC.(2)如图，以B为原点建立空间直角坐标系则C(2,0,0)，A(2,2,0)，P(0,0,2)，E(1,0,1)，(2,2，2)，(0,0,2)，(1,0,1)，.设
2、平面BEF的法向量为m(x，y，z)由，得令x1，则y1，z1，m(1,1，1)又(2，2,0)，cos，m，设直线AB与平面BEF所成的角为，sin ，直线AB与平面BEF所成角的正弦值为.2.(2016高考全国卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值解析：(1)证明：由已知可得AFDF，AFEF，所以AF平面EFDC.又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.(2)过D作DGEF，垂足为G.由(1)知DG平面ABEF.
3、以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知DFE为二面角DAFE的平面角，故DFE60，则|DF|2，|DG|，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知得ABEF，所以AB平面EFDC.又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF.由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF为二面角CBEF的平面角，CEF60.从而可得C(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)设n(x，y，z)是平面BCE的法向量，则即所以可取n(3,0，)设m是平面ABCD的法向量，则同理可
4、取m(0，4)则cosn，m.故二面角EBCA的余弦值为.3(2016福州调研)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由解析：(1)证明：以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1).(0,1,1)，.故011(1)10，B1EAD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)使得DP平面B1AE，此时(0，1，z0)又
5、设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.4.(2016高考四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值解析：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行如图，延长AB，DC，相交于点M(M平面PAB)，点
6、M即为所求的一个点理由如下：由已知，知BCED，且BCED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CMEB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AFPN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)解法一由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，从而CDPD，所以PDA是二面角PCDA的平面角，所以PDA45.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2.如(1)题图，过点A作AHCE，交CE的延长线于点H，连接PH，易知PA平面ABCD，从而PACE，于是CE平面PAH.所以平面PCE平面PAH.过A作AQPH于Q，则AQ平面PCE，所以
7、APH是PA与平面PCE所成的角在RtAEH中，AEH45，AE1，所以AH.在RtPAH中，PH，所以sinAPH.解法二由已知，CDPA，CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，于是CDPD.从而PDA是二面角PCDA的平面角，所以PDA45.又PAAB，所以PA平面ABCD.设BC1，则在RtPAD中，PAAD2，作Ay平面PAD，以A为原点，以，的方向分别为x轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以(1,0，2)，(1,1,0)，(0,0,2)设平面PCE的法向量为n(x，y，z)，由得设x2，解得n(2，2,1)设直线PA与平面PCE所成角为，则sin ，所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.