1、模板8 导数与不等式恒成立问题【例 8】(满分 12 分)设 f(x)（xa）ln xx1，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 2xy10 垂直.(1)求 a 的值；(2)若对x1，)，f(x)m(x1)恒成立，求 m 的范围.规范解答(1)f(x)ln xxax（x1）（xa）ln x（x1）2，2 分由 f(1)12，即2（1a）412，解得 a0.4 分(2)由(1)知 f(x)xln xx1，当 x1 时，f(x)m(x1)，即xln xx1m(x1)，可化为 ln xmxmx0，6 分设 g(x)ln xmxmx，g(x)1xmmx2mx2xmx2.8 分设(x)mx2
2、xm，当m0时，g(x)0，g(x)g(1)0，不合题意.9分 解题模板 第一步 求f(x)的导数；第二步 求参数a，确定函数f(x)的解析式；第三步 将不等式进行转化；第四步 构造函数g(x)；第五步 求g(x)，转化为一元二次函数再进行求解；第六步 规范结论，查看关键点.当 m0 时，10 时，即 m12，g(x)0，g(x)g(1)0，符合题意.10 分20 时，0m12，(1)12m0，不合题意.11 分综上，m 的取值范围是12，.12 分【训练 8】(2014新课标全国卷)设函数 f(x)aln x1a2 x2bx(a1)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 0.(1
3、)求 b；(2)若存在 x01，使得 f(x0)aa1，求 a 的取值范围.解(1)f(x)ax(1a)xb.由题设知 f(1)0，解得 b1.(2)f(x)的定义域为(0，)，由(1)知，f(x)aln x1a2 x2x，f(x)ax(1a)x11axx a1a(x1)若 a12，则 a1a1，故当 x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递增.所以，存在 x01，使得 f(x0)aa1的充要条件为 f(1)aa1，即1a2 1 aa1，所以 21a 21；若12a1，则 a1a1，故当 x1，a1a 时，f(x)0，xa1a，时，f(x)0，f(x)在1，a1a 上单调递减，f(x)在a1a，上单调递增.所以，存在 x01，使得 f(x0)aa1的充要条件为 fa1a aa1，而 fa1a aln a1aa22（1a）aa1 aa1，所以不符合题意.若 a1，则 f(1)1a2 11a2 aa1.综上，a 的取值范围为：(21，21)(1，).
