1、2.2 等差数列知识梳理1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差,通常用字母d表示,定义的表达式为an+1-an=d(nN+).2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为an=a1+(n-1)d.3.等差中项 若三个数a、A、b成等差数列,则A叫做a、b的等差中项,且A=.4.等差数列前n项和公式 Sn=或na1+.5.等差数列的单调性 等差数列an的公差为d,若d0,则数列为递增数列,且当a10时,前n项和Sn有最小值; 若d0,则数列为递减数列,且当a
2、10时,前n项和Sn有最大值.6.等差数列的常用性质 已知数列an是等差数列,首项为a1,公差为d.(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;推论:若m+n=2p,则am+an=2ap.(2)等差数列中连续m项的和组成的新数列是等差数列,公差等于m2d,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,为等差数列,则有S3m=3(S2m-Sm).(3)从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列.如a1,a4,a7,a10,(下标成等差数列).知识导学 等差数列是一种特殊的数列,所以学习前先对上节有关数列的概念、性质进行回顾,同时复习前面学习过的一次函数的形式与图象,并且思考一次函数与等差数
3、列的区别.本节内容的重点是等差数列的定义和等差数列的通项公式及前n项和公式,要能够运用公式解决简单问题,在实际解题中注意有关技巧的运用.在理解定义时,要重视两点:一是“从第二项起”,二是“同一常数”,同时要对a,d的取值对单调性的影响加以分析,以加深对概念的理解和知识的巩固.疑难突破1.如何去判断或证明一个数列为等差数列呢?剖析:判断一个数列是否为等差数列,最基本也最常用的就是看这个数列是否符合等差数列的定义.一般有以下五种方法:(1)定义法:an+1-an=d(常数)(nN+)an是等差数列;(2)递推法:2an+1=an+an+2(nN+)an是等差数列;(3)性质法:利用性质来判断;(4
4、)通项法:an=pn+q(p、q为常数)an是等差数列;(5)求和法:Sn=An2+Bn(A、B为常数,Sn为an的前n项和)an是等差数列.其中(4)(5)两种方法主要应用于选择、填空题中,在解答题中判断一个数列是否是等差数列,一般用(1)(2)(3)这三种方法,而方法(3)还经常与(1)(2)混合运用.证明数列an是等差数列有两种基本方法:(1)利用等差数列的定义,证明an+1-an(n1)为常数;(2)利用等差中项的性质,即证明2an=an-1+an+1(n2).2.如何求等差数列前n项和的最值?剖析:可从以下两个方面思考:(1)利用前n项和公式,转化为一元二次函数的最值问题.Sn=na1+,当d0时,此式可看作二次项系数为,一次项系数为a1-,常数项为0的二次函数,其图象为抛物线y=x2+(a1-)x上的点集,坐标为(n,Sn)(nN+),因此,由二次函数的性质立即可以得出结论:当d0时,Sn有最小值;当d0时,Sn有最大值.(2)结合数列的特征,运用函数单调性的思路.当d0时,则数列为递增数列,且当a10时,一定会出现某一项,在此之前的项都是非正数,而后面的项都是正数,前n项和Sn有最小值;当d0时,则数列为递减数列,且当a10时,一定会出现某一项,在此之前的项都是非负数,而后面的项都是负数,前n项和Sn有最大值.显然最值问题很容易判断.第二种思路运算量小.
