1、山东省临沂市2016年高考数学一模试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1已知集合U=0，1，2，3，4，M=1，3，N=1，2，4，则为（uM）N（）A1，3，4B0，2，4C2，4D3，42如果复数z=，则（）A|z|=2Bz的实部为1Cz的虚部为1Dz的共轭复数为1+i3命题m0，1，则的否定形式是（）Am0，1，则Bm0，1，则Cm（，0）（1，+），则Dm0，1，则4“=”是sin（）=cos“的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5某产品在某零售摊位的零售价x
2、（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如表所示：X1110.5109.59y5681011由此表可得回归直线方程=3.2x+，据此模型预测零售价为5元时，每天的销售量为（）A23个B24个C25个D26个6下列函数中，既是奇函数又在区间（1，1）上单调递减的函数是（）Af（x）=sinxBf（x）=2cosx+1Cf（x）=2x1D7一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，该几何体的体积是（）AB3C4D8已知O是坐标原点，点A（1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是（）A1，0B0，1C0，2D1，29已知a是常数，函数的导函数y=f（x）的图象如图
3、所示，则函数g（x）=|ax2|的图象可能是（）ABCD10双曲线=1的渐近线方程与圆（x）2+（y1）2=1相切，则此双曲线的离心率为（）AB2CD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡对应题号的位置位置.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11函数y=（x+a）ex在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直，则a的值为12已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则角C=13将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，则f（x）的解析式为14如图所示的程序框图，当a1=1，k=2016时，输出的结果为15已知x0，y0，且x+y=1
4、，则的最小值为三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.16（12分）（2016临沂一模）某校组织学生参加数学竞赛，共有15名学生获奖，其中10名男生和5名女生，其成绩如茎叶图所示（单位：分）规定：成绩在80分以上者为一等奖，80分以下者为二等奖，已知这5名女生的平均成绩为73（I）求男生成绩的中位数及m的值；（）如果用分层抽样的方法，从一等奖和二等奖学生中共选取5人，再从这5人中选取2人，求至少有1人是一等奖的概率17（12分）（2016临沂一模）已知函数f（x）=sin（x）+cos（x）2sin2（0）的周期为（I）求的值
5、；（）若x0，求f（x）的最大值与最小值18（12分）（2016临沂一模）在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1），将AEF折起到A1EF的位置上，连接A1B，A1C（如图2）（I）求证：FP面A1EB；（）求证：EFA1B19（12分）（2016临沂一模）已知正数列an的前n项和Sn满足（ I）求数列an的通项公式；（）符号x表示不超过实数x的最大整数，如log23=1，log25=2记，求数列的前n和Tn20（13分）（2016临沂一模）已知函数（ I）证明：函数f（x）在1，e上存在唯一的零点；（）若g（x）af
6、（x）在1，e上恒成立，求a的取值范围21（14分）（2016临沂一模）已知椭圆C1： =1（ab0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上（）求椭圆C1的方程；（）设O为坐标原点，M是直线l：x=2上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以为OM直径的圆C2相交于P，Q两点，与椭圆C1相交于A，B两点，如图所示若PQ=，求圆C2的方程；设C2与四边形OAMB的面积分别为S1，S2，若S1=S2，求的取值范围2016年山东省临沂市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
7、.1已知集合U=0，1，2，3，4，M=1，3，N=1，2，4，则为（uM）N（）A1，3，4B0，2，4C2，4D3，4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】由全集U及M，求出M的补集，找出M补集与N的交集即可【解答】解：U=0，1，2，3，4，M=1，3，N=1，2，4，uM=0，2，4，则（uM）N=2，4，故选：C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2如果复数z=，则（）A|z|=2Bz的实部为1Cz的虚部为1Dz的共轭复数为1+i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得
8、到答案【解答】解：由z=，所以，z的实部为1，z的虚部为1，z的共轭复数为1+i，故选C【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3命题m0，1，则的否定形式是（）Am0，1，则Bm0，1，则Cm（，0）（1，+），则Dm0，1，则【考点】命题的否定【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题m0，1，则的否定形式是：m0，1，则故选：D【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题否定关系，是基础题4“=”是sin（）=cos“的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考
9、点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】=sin（）=cos，反之不成立，例如取=【解答】解：=sin（）=cos，反之不成立，例如取=”是sin（）=cos的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如表所示：X1110.5109.59y5681011由此表可得回归直线方程=3.2x+，据此模型预测零售价为5元时，每天的销售量为（）A23个B24个C25个D26个【考点】线性回归方程【分析】求出数据中心，代入回归方程得出，将x=5代入回归方
10、程得出答案【解答】解： =10， =88=3.210+， =40回归方程为=3.2x+40当x=5时， =3.25+40=24故选：B【点评】本题考查了线性回归方程的特点，属于基础题6下列函数中，既是奇函数又在区间（1，1）上单调递减的函数是（）Af（x）=sinxBf（x）=2cosx+1Cf（x）=2x1D【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】根据奇函数、偶函数的定义，正弦函数的单调性，指数函数的图象，奇函数图象的对称性，以及复合函数、对数函数和反比例函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项【解答】解：Af（x）=sinx在（1，1）上单调递增，该选项错误；B
11、f（x）=2cosx+1是偶函数，不是奇函数，该选项错误；Cf（x）=2x1的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误；D解得，1x1，且；f（x）为奇函数；在（1，1）上单调递减，y=lnx单调递增；f（x）在（1，1）上单调递减，该选项正确故选：D【点评】考查奇函数、偶函数的定义，奇函数图象的对称性，指数函数的图象，以及对数函数、反比例函数及复合函数的单调性7一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，该几何体的体积是（）AB3C4D【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个圆锥，下面是一个圆柱即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下
12、两部分组成，上面是一个圆锥，下面是一个圆柱该几何体的体积=123+=故选：A【点评】本题考查了三视图的有关计算、圆锥与圆柱的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8已知O是坐标原点，点A（1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是（）A1，0B0，1C0，2D1，2【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到的取值范围【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时， =11+11=0当x=1，y=2时
13、， =11+12=1当x=0，y=2时， =10+12=2故和取值范围为0，2解法二：z=x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0故和取值范围为0，2故选：C【点评】本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键9已知a是常数，函数的导函数y=f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=|ax2|的图象可能是（）ABCD【考点】指数函数的图象变换【分析】求出原函数的导函数，由导函数的图象得到a1，然后利用指数
14、函数的图象平移得答案【解答】解：，f（x）=x2+（1a）xa，由函数y=f（x）的图象可知，a1，则函数g（x）=|ax2|的图象是把函数y=ax向下平移2个单位，然后取绝对值得到，如图故可能是D故选：D【点评】本题考查指数式的图象平移，考查了导数的综合运用，是中档题10双曲线=1的渐近线方程与圆（x）2+（y1）2=1相切，则此双曲线的离心率为（）AB2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】设出双曲线的渐近线方程为y=x，运用直线和圆相切的条件：d=r，化简可得b=a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，由渐近线与圆相切，可得圆心（
15、，1）到渐近线的距离为1，即为=1，化为b=a，可得c=2a，即有e=2故选：B【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡对应题号的位置位置.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11函数y=（x+a）ex在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直，则a的值为0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可【解答】解：函数y=（x+a）ex在x=0处的切线与直线x+y+
16、1=0垂直，函数y=（x+a）ex在x=0处的切线斜率k=1，f（x）=（x+a+1）ex，f（0）=（a+1）e0=a+1=1，得a=0，故答案为：0【点评】本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键12已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则角C=【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数中的恒等变换应用【分析】由条件利用正弦定理和余弦定理求得cosC=，可得角C的值【解答】解：ABC中， =ab，a2+b2c2=ab，cosC=，C=，故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题13将函数f（x）的图象向左
17、平移个单位长度后，得到的图象，则f（x）的解析式为f（x）=2cos2x【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：由题意可得，把的图象向右平移个单位长度后，得到f（x）=2sin2（x）+=2sin（2x）=2cos2x的图象，故答案为：f（x）=2cos2x【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题14如图所示的程序框图，当a1=1，k=2016时，输出的结果为【考点】程序框图【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量i，由判断框得知，算法
18、执行的计算并输出S=+的值，用裂项法即可计算求值【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=+的值，由于S=+=（1）+（）+（）=1=故答案为：【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，若满足条件进入循环，否则结束循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等15已知x0，y0，且x+y=1，则的最小值为【考点】基本不等式【分析】由题意可得（2x+y）+y=2，整体代入可得=（5+），由基本不等式可得【解答】解：x0，y0，且x+y=1，2x+2y=2，即（2x+y）+y=
19、2，=（）（2x+y）+y=（5+）（5+2）=当且仅当=即2x+y=2y即y=2x=时取等号故答案为：【点评】本题考查基本不等式求最值，整体代入并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡上的相应位置.16（12分）（2016临沂一模）某校组织学生参加数学竞赛，共有15名学生获奖，其中10名男生和5名女生，其成绩如茎叶图所示（单位：分）规定：成绩在80分以上者为一等奖，80分以下者为二等奖，已知这5名女生的平均成绩为73（I）求男生成绩的中位数及m的值；（）如果用分层抽样的方法，从一等奖和
20、二等奖学生中共选取5人，再从这5人中选取2人，求至少有1人是一等奖的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数【分析】（）利用中位数、平均值的意义即可得出；（）利用分层抽样及列举法、古典概型的计算公式即可得出【解答】解：（）男生成绩的中位数为=80，这5名女生的平均成绩为73，（65+66+77+（70+m）+85）=73，解得m=2，（）由题意知一等奖获得者有6人，二等奖获得者为9人，则用分层抽样的选取的一等奖人数为5=2人，记为A1，A2，选取的二等奖的人数为=3人，记为B1，B2，B3从这5人中选2人的所以可能情况为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B
21、2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10种，这10个基本事件是等可能性的，其中至少有1人是至少有1人是一等奖的结果有7种，至少有1人是一等奖的概率P=【点评】本题考查了由茎叶图求数据的平均数及古典概型的概率计算，熟练掌握茎叶图是解答问题的关键17（12分）（2016临沂一模）已知函数f（x）=sin（x）+cos（x）2sin2（0）的周期为（I）求的值；（）若x0，求f（x）的最大值与最小值【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用【分析】（I）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周
22、期性得出结论（）由x0，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域【解答】解：（I）函数f（x）=sin（x）+cos（x）2sin2=sinxcoscosxsin+cosxcos+sinxsin2=sinx+cosx1=2sin（x+）1（0）的周期为=，=2（）若x0，则2x+，sin（x+），1，f（x）=2sin（x+）1的值域为2，1【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题18（12分）（2016临沂一模）在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1），将AEF折起到
23、A1EF的位置上，连接A1B，A1C（如图2）（I）求证：FP面A1EB；（）求证：EFA1B【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）由AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2，得FPBE，由此能证明FP平面A1EB（）设正三角形ABC的边长为3，则AE=1，AF=2，由余弦定理得EF=，由勾股定理得EFAB，又EFA1E，EFBE，由此能证明EFA1B【解答】证明：（）正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2，FPBE，又BE平面A1EB1，FD平面A1EB，FP平面A1EB（）设正三角形ABC
24、的边长为3，则AE=1，AF=2，EAF=60，EF2=AE2+AF22AEAFcosEAF=1+4212cos60=3，EF=，在ABF中，AF2=AE2+EF2，EFAE，EFAB，则在图2中，有EFA1E，EFBE，EF面A1EB，又A1B面A1EB1，EFA1B【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（12分）（2016临沂一模）已知正数列an的前n项和Sn满足（ I）求数列an的通项公式；（）符号x表示不超过实数x的最大整数，如log23=1，log25=2记，求数列的前n和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）由，当
25、n=1时，4a1=+1，化为=0，解得a1当n2时，化为：（an+an1）（anan12）=0，由于an0，可得anan1=2利用等差数列的通项公式即可得出（II）由（I）可知：an=2n1，可得=log2（n+1），利用x的定义可得： =n再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出数列的前n和Tn【解答】解：（I），当n=1时，4a1=+1，化为=0，解得a1=1当n2时，4（SnSn1）=+2an+1，化为：（an+an1）（anan12）=0，an0，anan1=2an=1+2（n1）=2n1（II）由（I）可知：an=2n1，可得=log2（n+1），由x的定义可知：b2=l
26、og23=1，b4=log25=2，=n数列的前n和Tn=12+222+323+n2n，2Tn=22+223+（n1）2n+n2n+1，Tn=2+22+2nn2n+1=n2n+1=（1n）2n+14，Tn=（n1）2n+1+4【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、新定义函数x的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（13分）（2016临沂一模）已知函数（ I）证明：函数f（x）在1，e上存在唯一的零点；（）若g（x）af（x）在1，e上恒成立，求a的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）求出函数的导数
27、，得到函数的单调性，求出f（1）f（e）0，证出结论即可；（）问题转化为x+alnx0在1，e上恒成立，令h（x）=x+alnx，x1，e，通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出a的具体范围即可【解答】解：（）证明：f（x）=lnx，x1，e，则f（x）=+0在1，e恒成立，则f（x）在1，e递增，又f（1）=10，f（e）=10，即f（1）f（e）0，函数f（x）在1，e上存在唯一的零点；（）由g（x）af（x）在1，e上恒成立，则x+a（lnx），即x+alnx0在1，e上恒成立，令h（x）=x+alnx，x1，e，则h（x）=，x1，e，x+10，1+ae即ae1时，h（x）0，h（x）
28、在1，e递减，h（x）min=h（e）=e+a，由h（x）min0，得：a，即e1a；1+a1即a0时，h（x）0，h（x）在1，e递增，h（x）min=h（1）=2+a0，解得：a2，此时：2a0；11+ae，即0ae1时，在1，a+1）上，h（x）0，h（x）递减，在（a+1，e上，h（x）0，h（x）递增，h（x）min=h（a+1）=a+2aln（a+1），11+ae，0ln（a+1）1，a+2aln（1+a）a+2a=20，即h（x）min0恒成立，0ae1符合题意，综上，a的取值范围是2，【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题21（1
29、4分）（2016临沂一模）已知椭圆C1： =1（ab0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上（）求椭圆C1的方程；（）设O为坐标原点，M是直线l：x=2上的动点，F为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以为OM直径的圆C2相交于P，Q两点，与椭圆C1相交于A，B两点，如图所示若PQ=，求圆C2的方程；设C2与四边形OAMB的面积分别为S1，S2，若S1=S2，求的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由椭圆离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程（）设M（2，t），则C2的方程为（x1）2+（y）2=1+，由此利用圆的
30、性质结合已知条件能求出圆C2的方程由知PQ方程为2x+ty2=0，（t0），代入椭圆方程得（8+t2）x216x+82t2=0，t0，由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、分类讨论思想，能求出的取值范围【解答】解：（）椭圆C1： =1（ab0）的离心率为，其短轴的下端点在抛物线x2=4y的准线上，解得a=，b=c=1，椭圆C1的方程为（）由（）知F（1，0），设M（2，t），则C2的圆心坐标为（1，），C2的方程为（x1）2+（y）2=1+，直线PQ方程为y=（x1），（t0），即2x+ty2=0，（t0）又圆C2的半径r=，由（）2+d2=r2，得（）2+=，解得t2=4，t=2，圆C2的
31、方程为：（x1）2+（y1）2=2或（x1）2+（y+1）2=2由知PQ方程为2x+ty2=0，（t0），由，得（8+t2）x216x+82t2=0，t0，则=（16）24（8+t2）（82t2）=8（t4+4t2）0，|AB|=2，=，S1=r2=，S1=S2，=，当t=0时，PQ的方程为x=1，|AB|=，|OM|=2，|OM|AB|=， =，S1=S2，=当直线PQ的斜率不存在时，PQ方程为x=1，|AB|=，|OM|=2，S2=|OM|AB|=，S1=，综上，【点评】本题考查椭圆方程、圆的方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判断式、韦达定理、弦长公式、分类讨论思想的合理运用
