1、2020 年高三期末考试数学试题（理科）考生注意：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分考试时间 120 分钟2请将各题答案填写在答题卡上3本试卷主要考试内容:高考全部内容第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(1)(4)ii（）A35iB35iC53iD53i2设集合27100Ax xx，250Bx x，则 AB （）A2x x B532xxC5x x D552xx3“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自易经，太极是可以无限二分的，“分阴分阳，迭用柔刚”，
2、经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦设经过 n 次二分形成na 卦，则3456aaaa（）A120B122C124D1284531xx的展开式中的第三项为（）A710 xB310 xC 5xD25x5已知向量a，b 满足|2a，|3b，且13ab，则|2|ab（）A 3B2C 5D 66若双曲线22:1xCym 的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则 C 的离心率为（）A 153B52C 4 1515D 4 557已知一个扇形的圆心角为(02)，弧长为2，半径为 2若 tan2，则 tan(2)（）A17B7C 17D 78在正方体1111ABCDA B C D中，E，F 分别是棱11A
3、B，BC 的中点，现有下列四个结论：A，E，F，1C四点共面；平面 ACE 平面11BDD B；1FC 平面11ADD A；1FC 与平面 ABCD 所成角为60 其中正确的结论的个数是（）A1B2C3D49设 x，y 满足约束条件5010550 xxyxy ，且(0,0)zaxby ab的最大值为 1，则 56ab的最小值为（）A64B81C100D12110已知点,nnnP xy在抛物线2:4C xy 上，若数列 ny是首项为 1，公比为 2 的等比数列，点 F 是C 的焦点，则1210PFP FP F（）A521B1033C524D103511设函数3()sinlogf xxx，0.5(
4、)3logxg xx，0.5()sinlogh xxx的零点分别为 a，b，c，则（）AacbBcbaCcabDabc12 已 知奇 函数 f x的 定 义域 为 R，且对 任意 xR，()()0f xfx恒 成立，则 不等 式组4(23)0(1)(23)xfxe f xe fx的解集是（）A(4,)B30,2C 3,42D31,(4,)2第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置13假设某地 5 月每天出现下雨天气的概率为0p，且 5 月 1 日至 5 月 6 日这 6 天出现下雨天气的天数 X 的数学期望为 1.2，
5、则0p _14若公差为 2 的等差数列 na的前两项和为 0，则该数列的前 n 项和nS _15已知 f x 是周期为 4 的奇函数，当01x 时，()f xx，当12x时，24f xx 若直线 ya与 f x 的图象在4,5内的交点个数为 m，直线12ya与 f x 的图象在4,5内的交点个数为 n，且9mn，则 a 的取值范围是_16在正方体1111ABCDA B C D中，2AB，E，F 分别为棱 AB，1AA 的中点，则该正方体被平面 CEF所截得的截面面积为_，四面体 BCEF 外接球的表面积为_（本题第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应
6、写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题；共 60 分17（12 分）a，b，c 分别为ABC内角 A，B，C 的对边已知sin2sinAB，且4a（1）若6c，求ABC的面积；（2）若5cos5A，证明：ABC为直角三角形18（12 分）某企业投资两个新型项目，投资新型项目 A 的投资额 m（单位：十万元）与纯利润 n（单位：万元）的关系式为1.70.5nm，投资新型项目 B 的投资额 x（单位：十万元）与纯利润 y（单位：万元）的散点图如图所示（1）求 y 关于 x 的线性回归方程；（2）根据
7、（1）中的回归方程，若 A，B 两个项目都投资 60 万元，试预测哪个项目的收益更好附：回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221niiiniix ynxybxnx，aybx19（12 分）如图，在 RtABC中，ACBC，30BAC，3BC，3ACDC，DEBC，沿 DE将点 A 折至1A 处，使得1ACDC，点 M 为1A B 的中点（1）证明：1A B 平面 CMD；（2）求二面角 BCME的余弦值20（12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为 2 55，且焦距为 8（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 的倾斜角为3，且与 C 交于 A，B 两点，点
8、O 为坐标原点，求AOB面积的最大值21（12 分）已知函数()xf xxe（1）设曲线 yf x在点,m f m处的切线为 l，求 l 的斜率的最小值；（2）若()lnf xxxa对(0,)x 恒成立，求 a 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生从第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为4cos4sinxya（为参数，0a），且曲线 C 经过坐标 原 点 O 以 O 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，直 线 l 的 极 坐 标 方
9、程 为4cos12 sin30a（1）求 C 的极坐标方程；（2）设 P 是曲线 C 上一动点，与极轴交于点 A，求|PA 的取值范围23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知函数3()|3|(0)f xxaxaa（1）当1a 时，求不等式 6f x 的解集；（2）若 f x 的最小值为 4，且1(0,0)ammnn，证明：25mn2020 年高三期末考试数学试题参考答案（理科）1D(1)(4)53iii2D因为(2)(5)0 25Ax xxxx，52Bx x，所以552ABxx3A依题意可得 na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，则34568 163264120aaaa4B531xx的
10、展开式中的第三项2232 1533110CTxxx 5B因为|13ab，所以222()213ababa b，则3a b ，所以2224 12 1|244|24abaa bb，故|2|2ab6CC 的标准方程为221xym，依题意可得2 21mm，解得115m ，则44 1511515em7A因为 tan2，所以244tan 21 23 ，又4lr，所以4113tan(2)4713 8B如图，因为 AF 与1EC 异面，所以 A，E，F，1C 四点不共面，故错误易证 AC 平面11BDD B，因为 AC 平面 ACE，所以平面 ACE 平面11BDD B，故正确因为平面11BCC B平面11AD
11、D A，且1FC 平面11BCC B，所以1FC 平面11ADD A，故正确因为1FC 与平面 ABCD 所成角为1C FC，且1tan2C FC，故错误9D作出约束条件表示的可行域（图略），因为0a，0b，所以当直线 zaxby经过点5,6 时，z 取得最大值，则561ab，所以 5656(55)61 3061 60121baabababab，当且仅当111ab时，等号成立，故 56ab的最小值为 12110B易知 F 的坐标为0,1，则1nnP Fy 依题意可知12nny，则112nnP F，所以10912101 2101 221010331 2PFP FP F11A设函数1()sinf
12、xx，23()logfxx，30.5()logfxx，4()3xfx，则 a 是1()f x 与2()fx 图象交点的横坐标，b 是3()fx 与4()fx 图象交点的横坐标，c 是1()f x 与3()fx 图象交点的横坐标在同一坐标系中，作出1()f x，2()fx，3()fx，4()fx 的图象，如图所示由图可知acb12C设()()xf xg xe，则()()()0 xfxf xg xe，则 g x 在R 上单调递增因为 f x 是定义域为 R 的奇函数，所以 00f，则 00g不等式组4(23)0(1)(23)xfxe f xe fx等价于230123(23)(0)(1)(23)xx
13、xfxfeef xfxee，即(1)(23)(0)g xgxg，则123230 xxx，解得 342x130.2 依题意可得06,XBp，则061.2EXp，解得00.2p 1422nn因为2112220Sada，所以11a ，则21(1)22nn nSnadnn151,02依题意可作出 f x 在4,5上的图象，如图所示因为12aa，所以由图可知101012aa ，解得102a16 92；14因为平面 CEF 与平面11CDD C 的交线为1CD，所以截面为四边形1CEFD，而四边形1CEFD 为等腰梯形，且122 2CDEF，15CED F，故其面积为22 239222设线段 CE 的中点
14、为 G，四面体 BCEF 外接球的球心为 O，则OG 平面 BCE设球 O 的半径为 R，则22222()ROGEGAGOGAF因为2221131124AG，254EG 所以32OG，从而22272ROGEG，故球 O 的表面积为2414R17（1）解：因为sin2sinAB，所以2ab，因为4a，所以2b，又6c，则2227cos28abcCab因为(0,)C，所以15sin8C，故ABC的面积115sin22SabC（2）证明：因为2225cos25bcaAbc，所以2416545cc，解得2 5c（负根舍去）所以222abc，则 C 为直角，故ABC为直角三角形18解：（1）1 2345
15、35x，2357855y ，2222221 22 33 54 75 85 3 51.6123455 3b ，则 5 1.6 30.2a ，故 y 关于 x 的线性回归方程为 1.60.2yx（2）若 A 项目投资 60 万元，则该企业所得纯利润的估计值为1.7 60.59.7 万元；若 B 项目投资 60 万元，则该企业所得纯利润的估计值为1.6 60.29.8 万元因为9.89.7，所以可预测 B 项目的收益更好19（1）证明：由 DCBC，1ACDC，且1ACBCC，可得 DC 平面1ACB，因此1DCA B由30BAC，3BC，得333ACBCDC，因此1DC ，12ADA D，由勾股定
16、理可得22113ACA DDCBC又因为点 M 为1A B 的中点，所以1CMA B而CDCMC，故1A B 平面 CMD（2）解：因为 DECD，1DEA D，所以 DE 平面1ACD，又 BCDE，所以 BC 平面1ACD 如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系Cxyz，则330,22M，2 31,03E，(0,3,0)B，易知1(1,0,0)n 是平面 CMB 的一个法向量设平面 CME 的法向量为2(,)nx y z，则2200nCMnCE，即330222 303yzxy，令3y，得2(2,3,3)n 12210cos,51433n n ，易知二面角 BCME为锐角，故二面角 BCME
17、的余弦值为 10520解：（1）依题意可知222222 51528bacabc，解得22204ab，故 C 的方程为221204xy（2）依题意可设直线 l 的方程为3yxm，联立2231204yxmxy，整理得221610 35200 xmxm，则2230064 5200mm，解得 88m 设11,A x y，22,B xy，则125 38mxx，21252016mx x，22221212755205320|1 3426444mmmABxxx x，原点到直线l 的距离|21 3mmd，则AOB的面积222532512011|5320|222416mmmSdAB，当且仅当232m，即4 2m
18、时，AOB的面积有最大值，且最大值为2 5 21解：（1）()(1)xfxxe，则()(1)mlkfmme，设()(1)mh mme，则()(2)mh mme，当2m 时，0h m；当2m 时，0h m所以min21()(2)h mhe，即 l 的斜率的最小值为21e（2）由题知，lnxaxexx在(0,)上恒成立，令()lnxg xxexx，则1()(1)xg xxex，因为0 x，所以10 x 设1()xp xex，易知 p x 在(0,)上单调递增因为1202pe，(1)10pe，所以存在1,12t，使得()0p t，即1tet当(0,)xt时，()0g x，()g x 在0,t 上单调
19、递减；当(,)xt 时，0gx，g x 在(),t 上单调递增所以min()()ln11tg xg ttetttt ，从而1a，故 a 的取值范围为0,1 22解：（1）由4cos4sinxya，得22()16xya，即222216xyaya，因为曲线 C 经过坐标原点 O，所以2160a，又0a，所以4a 故 C 的极坐标方程为28 sin0，即8sin0（或8sin）（2）因为 l 的极坐标方程为 4cos12 sin30a，即 4cos12sin120，所以 l 的直角坐标方程为330 xy令0y，得3x，则 A 的直角坐标为3,0，由（1）知，曲线 C 表示圆心为0,4C，半径为 4 的圆且5AC，故 PA 的取值范围为1,9 23（1）解：当1a 时，由 6f x，得|1|3|6xx当3x 时，226x，则 43x ；当 31x 时，46，则 31x ；当1x 时，226x，则12x故不等式 6f x 的解集为4,2（2）证明：因为333()|3|(3)3f xxaxaxaxaaa，且0a，所以 f x 的最小值为334aa因为函数3()3g aaa为增函数，且 14g，所以1a 从而11mn，因为0m，0n，所以由柯西不等式得2221212mmnn，即225mn，所以25mn（当且仅当15m，54n 时等号成立）
