1、A组考点能力演练1直线yx3与双曲线1的交点个数是()A1B2C1或2 D0解析：因为直线yx3与双曲线的渐近线yx平行，所以它与双曲线只有1个交点答案：A2(2016福州质检)抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线xy0与抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()Ay2x2 By22xCx22y Dy22x解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y22px，则两式相减可得2p(y1y2)kAB22，即可得p1，抛物线C的方程为y22x，故选B.答案：B3已知双曲线 1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率
2、的取值范围是()A. B(，)C. D，解析：由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为yx.当过点F的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.答案：C4已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若0，则k()A. B.C. D2解析：如图所示，设F为焦点，取AB的中点P，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由0，知MAMB，则|MP|AB|(|AG|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MPAGBH，所以GAMAMPMAP，又|AG|AF|，AM为公共边，所以AMGAMF，所以
3、AFMAGM90，则MFAB，所以k2.答案：D5已知椭圆1(0b0，b0)的一个焦点作圆x2y2a2的两条切线，切点分别为A，B.若AOB120(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为_解析：如图，由题知OAAF，OBBF且AOB120，AOF60.又OAa，OFc，cos 60，2.答案：28直线l过椭圆y21的左焦点F，且与椭圆相交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点若FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为_解析：法一：由椭圆方程得a，bc1，则F(1,0)在FMO中，|MF|MO|，所以M在线段OF的中垂线上，即xM，设直线l的斜率为k，则其方程为yk(x1)，由得x22k
4、2(x1)220，即(2k21)x24k2x2(k21)0，xPxQ，而M为PQ的中点，故xM(xPxQ)，k2，解得k.故直线l的方程为y(x1)，即xy10.法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，由题意知kPQkOM，由P、Q在椭圆上知两式相减整理得kPQ，而kOM，故，即x2y，所以kPQ，直线PQ的方程为y(x1)，即xy10.答案：xy109(2016洛阳模拟)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点F(，0)，且椭圆C经过点P.(1)求椭圆C的方程；(2)设过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，交直线xm(ma)于M点，若kPA，kPM，kPB成等差数列，求实数m的值
5、解：(1)由题意，得a24，b21.椭圆C的方程为y21.(2)设直线l：yk(x)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(m，ym)将直线方程代入椭圆方程x24y24中，得(14k2)x28k2x12k240，则x1x2，x1x2.此时kPAk，kPBk.kPAkPB2k2k2k.又M(m，ym)在直线l上，ymk(m)，则kPMk.若kPA，kPM，kPB成等差数列，则2kPMkPAkPB，则2k2k，解得m.10已知抛物线C：y22px(p0)上一点P(x0，2)到该抛物线焦点的距离为2，动直线l与C交于两点A，B(A，B异于点P)，与x轴交于点M，AB的中点N，且直线PA，PB的斜率
6、之积为1.(1)求抛物线C的方程；(2)求的最大值解：(1)因为点P(x0，2)在抛物线上，所以2px04x0.由抛物线的定义知，2(p2)20p2，故抛物线C的方程为y24x.(2)由(1)知，x01，得P(1，2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，设直线AB的方程为xmyt，联立消去x得y24my4t0.16m216t0m2t0，y1y24m，y1y24t，因为k1.同理k2.所以k1k21，即y1y22(y1y2)120，即4t8m120t2m3.代入得m22m30m3.因为|AB|y1y2|4，又yM0，yN2m，则|MN|yMyN|2|m|
7、.所以222，故当m3时，取到最大值.B组高考题型专练1(2015高考福建卷)已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切解：(1)由抛物线的定义得|AF|2.由已知|AF|3，得23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)法一：如图，因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x
8、，从而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB，所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，故直线GA的方程为2x3y20，从而r.又直线GB的方程为2x3y20，所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切2(2015高考
9、重庆卷)如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e.解：(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)法一：连接QF1，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1PF2，则1，xyc2，求得x0，y0.由|PF1|PQ|PF2|得x00，从而|PF1|222(a2b2)2a(a)2.由椭圆的定义，|PF1|P
10、F2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PF2，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此(2)|PF1|4a，即(2)(a)4a，于是(2)(1)4，解得e.法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此，4a2|PF1|PF1|，则|PF1|2(2)a，从而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a，由PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2，因此e.
