1、第2讲用样本估计总体考纲解读1.了解频率分布直方图的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，并体会它们各自的特点(重点)2理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；能从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释3会用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征(难点)4会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决实际问题考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测2021年将会考查用样本估计总体，主要体现在利用频率分布直方图或茎叶图估计总体，利用样本数字特征估计总体题型以客观题呈现，试题难度不大，属中、低档题型频率分
2、布直方图与茎叶图也可能出现于解答题中，与概率等知识综合命题1.作频率分布直方图的步骤2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线3.茎叶图(1)茎叶图的概念：统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数(2)茎叶图的优点：一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布情况4.样本的数字特征(1)众数、中位数、
3、平均数数字特征样本数据频率分布直方图优点与缺点众数出现次数最多的数据取最高的小长方形底边中点的横坐标通常用于描述变量的值出现次数最多的数，但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征中位数将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数样本数据的算术平均数每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和平均数和每一个数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响
4、较大，使平均数在估计总体时可靠性降低(2)方差和标准差方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2，标准差：s .(3)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定1.概念辨析(1)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论()(2)从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了()(3)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高()(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按
5、从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次()答案(1)(2)(3)(4)2.小题热身(1)(2017全国卷)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A.x1，x2，xn的平均数 Bx1，x2，xn的标准差C.x1，x2，xn的最大值 Dx1，x2，xn的中位数答案B解析因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差故选B.(2)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(
6、)A.91.5和91.5 B91.5和92C.91和91.5 D92和92答案A解析由茎叶图可知，这组数据的中位数是(9192)91.5，平均数是(8789909192939496)91.5.(3)港珠澳大桥于2018年10月2日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查画出频率分布直方图(如图)，根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间85,90)的车辆数和行驶速度超过90 km/h的频率分别为()A.3000.25 B3000.35C.600.25
7、D600.35答案B解析由频率分布直方图，得在此路段上汽车行驶速度在区间85,90)的频率为0.0650.3，在此路段上汽车行驶速度在区间85,90)的车辆数为0.31000300，行驶速度超过90 km/h的频率为(0.050.02)50.35.故选B.(4)(2019江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是_答案解析这组数据的平均数为8，故方差为s2(68)2(78)2(88)2(88)2(98)2(108)2.题型一样本数字特征的计算及应用1.(2019全国卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个
8、最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A.中位数 B平均数 C方差 D极差答案A解析中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响故选A.2.(2019长沙二模)高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为x1，x2，x3，x100，它们的平均数为，方差为s2；其中扫码支付使用的人数分别为3x12,3x22,3x32，3x1002，它们的平均数为，方差为s2，
9、则，s2分别为()A.32,3s22 B3，3s2C.32,9s2 D32,9s22答案C解析根据题意，数据x1，x2，x100的平均数为，方差为s2；则(x1x2x3x100)，s2(x1)2(x2)2(x100)2，若3x12,3x22,3x32，3x1002的平均数为，则(3x12)(3x22)(3x1002)32，方差s2(3x1232)2(3x2232)2(3x100232)29s2.3.一组数据1,10,5,2，x,2，且2x50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确故选A.(1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系(2)折线图可以显示随时间(根据常用比例放
10、置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势(2019东北三省四市教研联合体模拟)“科技引领，布局未来”，科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比这12年间的研发投入(单位：十亿元)用如图中的条形图表示，研发投入占营收比用如图中的折线图表示根据折线图和条形图，下列结论错误的是()A.2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大B.2013年至2014年研发投入数量相比2015年至2016年增量小C.该企业连续12年研发投入逐年增加D.该企
11、业连续12年研发投入占营收比逐年增加答案D解析由题图可知，该企业在2008年至2009年、2013年至2014年和2016年至2017年研发投入占营收比是下降的，所以D错误故选D.题型三茎叶图及其应用1.(2019郑州三模)某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12.若要使该总体的标准差最小，则4x2y的值是()022341xy99201A.12 B14 C16 D18答案A解析因为总体的中位数为12，所以12，即xy4，所以总体的平均数为(223410x10y19192021)11.4.要使总体的标准差最小，只要(10x11.4)2(10y11.4)2最小因为(10x11.4
12、)2(10y11.4)2220.72，当且仅当xy2时等号成立，所以4x2y12.故选A.2.某良种培育基地正在培育一小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454.品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,41
13、0,412,415,416,422,430.(1)作出数据的茎叶图；(2)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论解(1)画出茎叶图如图所示：(2)通过观察茎叶图可以看出：品种A的亩产平均数(或均值)比品种B高；品种A的亩产标准差(或方差)比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差.1.茎叶图的画法步骤第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧；有两组数据时，写在中间；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧茎叶图的绘制需注意：“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一
14、；重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据2.茎叶图的应用茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等1甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩(单位：环)如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为()A.2 B4 C6 D8答案A解析根据茎叶图中的数据知，甲、乙二人的平均成绩相同，即(8789909193)(8889909190x)，解得x2，所以平均数为90；根据茎叶图中的数据知甲的成绩波动性小，较为稳定
15、(方差较小)，所以甲成绩的方差为s2(8890)2(8990)2(9090)2(9190)2(9290)22.故选A.2如图茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数为甲组数据的中位数，则x，y的值分别为()答案A解析由已知，甲组数据的众数是124，则x4，即甲组数据的中位数为124.所以(116116125120y128134)124，解得y5.故选A.题型四频率分布直方图角度1求频率或频数1.党的十九大报告指出：“脱贫攻坚战取得决定性进展，六千多万贫困人口稳定脱贫，贫困发生率从百分之十点二下降到百分之四以下”2019年各地
16、根据实际进行创新，精准、高效地完成了脱贫任务某地区对当地3000户家庭的2019年所得年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据(单位：千元)的分组依次为20,40)，40,60)，60,80)，80,100，则年收入不超过6万的家庭大约为()A.900户 B600户 C300户 D150户答案A解析由频率分布直方图得：年收入不超过6万的家庭所占频率为：(0.0050.010)200.3，年收入不超过6万的家庭大约为0.33000900.角度2求数字特征2.某市在对两千多名出租车司机的年龄进行的调查中，从两千多名出租车司机中随机抽选100名司机，已知这100名司机的年龄都在20岁
17、至50岁之间，且根据调查结果得出的年龄情况频率分布直方图如图所示(部分图表污损)利用这个残缺的频率分布直方图，可估计该市出租车司机年龄的中位数大约是()A31.4岁 B32.4岁 C33.4岁 D36.4岁答案A解析由频率分布直方图可知20,25)的频率为0.1，25,30)的频率为0.3，30,35)的频率为0.35，因为0.10.30.5B，sAsB B.AsBC.AB，sAsB D.AB，sAsB答案B解析由图可知A组的6个数为2.5,10,5,7.5,2.5,10，B组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10，所以A6.25，B11.67.显然AsB，故选B.6.(2019
18、合肥一模)某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.90后从事运营岗位的人数比80前从事互联网行业的人数多D.互联网行业中90后从事技术岗位的人数比80后从事技术岗位的人数多答案D解析对于A，由饼状图可知互联网行业从业人员中90后占了56%，故A正确对于B，由条形图可知互联网行业中从事技术岗位的人数
19、占总人数的比例为39.6%，故B正确对于C，由两图数据可计算出整个互联网行业从事运营岗位的90后占56%17%9.52%，大于互联网行业中的80前总人数，故C正确对于D，因为80后从事技术岗位的人数所占比例不清楚，所以互联网行业中从事技术岗位的90后人数不一定比80后的人数多，故D错误故选D.7.(2020重庆名校联盟调研)在样本频率分布直方图中共有9个小矩形，若其中1个小矩形的面积等于其他8个小矩形面积和的，且样本容量为210，则该组的频数为()A.28 B40 C56 D60答案D解析设该小矩形的面积为x,9个小矩形的总面积为1，则其他8个小矩形的面积和为x，所以xx1，所以x，所以该组的
20、频数为21060.8.(2020贵阳模拟)某地的中小学办学条件在政府的教育督导下，迅速得到改善教育督导一年后，分别随机抽查了初中(用A表示)与小学(用B表示)各10所学校，得到相关指标的综合评价得分(百分制)的茎叶图如图所示，则从茎叶图可得出正确的信息为(80分及以上为优秀)()初中得分与小学得分的优秀率相同初中得分与小学得分的中位数相同初中得分的方差比小学得分的方差大初中得分与小学得分的平均值相同A. B C D答案B解析从茎叶图可知抽查的初中得分的优秀率为100%30%，小学得分的优秀率为100%30%，故正确；初中得分的中位数为75.5，小学得分的中位数为72.5，故不正确；从茎叶图可知
21、初中得分比小学得分分散，所以初中得分的方差比小学得分的方差大，故正确；初中得分的平均值为75.7，小学得分的平均值为75，故不正确所以正确的信息为，故选B.9.已知一组数据x1，x2，xn的方差为2，若数据ax1b，ax2b，axnb(a0)的方差为8，则a的值为_答案2解析根据方差的性质，知a228，解得a2.10.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图若从每周使用时间在15,20)，20,25)，25,30三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在20,25)内的学生中应选取的人数为_答案3解析由频率分布直方图，知5(0.
22、010.02a0.040.040.06)1，解得a0.03，即使用时间在15,20)，20,25)，25,30三组内的学生人数之比为431，则从每周使用时间在15,20)，20,25)，25,30三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在20,25)内的学生中应选取的人数为83.组能力关1.某校高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在90,100内的人数分别为()A.20,2 B24,4 C25,2 D25,4答案C解析由频率分布直方图可知，组距为10，所以50,60)的频率为0.008100.08，
23、由茎叶图可知50,60)的人数为2，设参加本次考试的总人数为N，则N25，根据频率分布直方图可知90,100内的人数与50,60)的人数一样，都是2.故选C.2.(2019葫芦岛一模)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列an，若a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是()A.12,13 B13,13 C13,12 D12,14答案B解析依题意aa1a7，(a14)2a1(a162)，解得a14，所以此样本的平均数为13，中位数为13.3.(2019马鞍山模拟)某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了100头仔猪的体重(单位：斤)，经数据处理得到如图1的频
24、率分布直方图，其中体重最轻的14头仔猪的体重的茎叶图如图2，为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直方图中的一些数据，其中ab的值为()A.0.144 B0.152 C0.76 D0.076答案B解析由题意得2(cd)50.24，ab0.152.4.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示，已知两组技工在单位时间内加工的合格零件的平均数都为10.(1)求出m，n的值；(2)求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差s和s，并由此分析两组技工的加工水平解(1)根据题意可知：甲(78101210m)10，乙(9n101
25、112)10，所以m3，n8.(2)s(710)2(810)2(1010)2(1210)2(1310)25.2，s(810)2(910)2(1010)2(1110)2(1210)22，因为甲乙，ss，所以甲、乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些.组素养关(2019全国卷)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表y的分组企业数0.20,0)20,0.20)240.20,0.40)530.40,0.60)140.60,0.80)7(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比
26、例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)(精确到0.01)附：8.602.解(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为0.21.产值负增长的企业频率为0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30，s2i(yi)2(0.40)22(0.20)22402530.202140.40270.0296，s0.020.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.
