1、限时规范训练1(2016西安模拟)如图所示，已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 32，它的一个顶点恰好在抛物线 x28y 的准线上(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)点 P(2，3)，Q(2，3)在椭圆上，A，B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点，当 A，B运动时，满足APQBPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由解析：(1)设椭圆 C 的标准方程为x2a2y2b21(ab0)椭圆的一个顶点恰好在抛物线 x28y 的准线 y2 上，b2，解得 b2.又ca 32，a2b2c2，a4，c2 3.可得椭圆 C 的标准方程为x216y241.(2)设 A(x1，y
2、1)，B(x2，y2)，APQBPQ，则 PA，PB 的斜率互为相反数，可设直线 PA 的斜率为 k，则 PB 的斜率为k，直线 PA 的方程为：y 3k(x2)，联立y 3kx2x24y216，化为(14k2)x28k(32k)x4(32k)2160，x128k2k 314k2.同理可得：x228k2k 314k28k2k 314k2，x1x216k2414k2，x1x216 3k14k2，kABy1y2x1x2kx1x24kx1x2 36.直线 AB 的斜率为定值 36.2(2016广州五校联考)已知椭圆 E：x2a2y2b21 的右焦点为 F(c,0)且 abc0，设短轴的一个端点为 D
3、，原点 O 到直线 DF 的距离为 32，过原点和 x 轴不重合的直线与椭圆 E 相交于C，G 两点，且|GF|CF|4.(1)求椭圆 E 的方程；(2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 A，B 且使得OP 24PAPB成立？若存在，试求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由解析：(1)由椭圆的对称性知|GF|CF|2a4，a2.又原点 O 到直线 DF 的距离为 32，bca 32，bc 3，又 a2b2c24，abc0，b 3，c1.故椭圆 E 的方程为x24y231.(2)当直线 l 与 x 轴垂直时不满足条件故可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)
4、，直线 l 的方程为 yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，x1x28k2k134k2，x1x216k216k834k2，32(6k3)0，k12.OP 24PAPB，即 4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即 4x1x22(x1x2)4(1k2)5，416k216k834k228k2k134k2 4(1k2)444k234k25，解得 k12，k12不符合题意，舍去存在满足条件的直线 l，其方程为 y12x.3.如图，过顶点在原点、对称轴为 y 轴的抛物线 E 上的定点 A(2,1)作斜率分别为 k1、
5、k2 的直线，分别交抛物线 E 于 B、C 两点(1)求抛物线 E 的标准方程和准线方程；(2)若 k1k2k1k2，证明：直线 BC 恒过定点解析：(1)设抛物线 E 的标准方程为 x2ay，a0，将 A(2,1)代入得，a4.所以抛物线 E 的标准方程为 x24y，准线方程为 y1.(2)证明：由题意得，直线 AB 的方程为 yk1x12k1，直线 AC 的方程为 yk2x12k2，联立x24yyk1x12k1，消去 y 得 x24k1x4(12k1)0，解得 x2 或 x4k12，因此点 B(4k12，(2k11)2)，同理可得 C(4k22，(2k21)2)于是直线 BC 的斜率k2k
6、1122k2124k124k22 4k1k2k1k214k1k2k1k21，又 k1k2k1k2，所以直线 BC 的方程为 y(2k21)2(k1k21)x(4k22)，即 y(k1k21)x2k1k21(k1k21)(x2)3.故直线 BC 恒过定点(2，3)4.(2016金华模拟)已知抛物线 y22px(p0)上点 T(3，t)到焦点 F 的距离为 4.(1)求 t，p 的值；(2)设 A，B 是抛物线上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且OA OB 5(其中 O 为坐标原点)求证：直线 AB 必过定点，并求出该定点 P 的坐标；过点 P 作 AB 的垂线与抛物线交于 C，D 两点，求四边形
7、 ACBD 面积的最小值解析：(1)由已知得 3p24p2，所以抛物线方程为 y24x，代入可解得 t2 3.(2)证明：设直线 AB 的方程为 xmyt，Ay214，y1，By224，y2，联立y24x，xmyt 得 y24my4t0，则 y1y24m，y1y24t.由OA OB 5 得y1y2216 y1y25y1y220 或 y1y24(舍去)，即4t20t5，所以直线 AB 过定点 P(5,0)；由得|AB|1m2|y2y1|1m216m280，同理得|CD|11m2|y2y1|1 1m216m280，则四边形 ACBD 面积S12|AB|CD|121m216m2801 1m216m28082m2 1m2265m2 1m2.令 m2 1m2(2)，则 S8 523652是关于 的增函数，故 Smin96，当且仅当 m1 时取到最小值 96.
