1、虹口区2004学年度第一学期高三数学试题 一、填空题：(每小题4分，满分48分) 1. 方程的解x=_。 2. 是方程tg(x+t)=3的解，其中t(0,2p)，则t=_。 3. 复数z满足z+|z|=2+8i，则z=_。 4. 等差数列an中，如a1+a2+a3=6，a10+a11+a12=9，则a1+a2+a12=_。 5. 等比数列an中，a1=2，且，则公比q=_。 6. 若函数f(x)=a|x+b|+2，在上为增函数，则实数a、b的取值范围是_。 7. 知识竞赛题共有10道，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一道，则甲、乙两人中至少有1人抽到判断题的概率是_。 8. 二项
2、式(3x-1)n和(1+4x)n的展开式中，各项系数之和分别记为an和bn (nZ+)，则=_。 9. 椭圆，两焦点间距离为6，则t=_。10. (理科) 抛物线(t为实数)的焦点坐标是_。 (文科) 当x，y满足不等式组时，目标函数K=x-2y的最小值是_。11. 定义集合A，B的一种运算“*”，A*B=p|p=x+y，xA，yB。若A=1,2,3，B=1,2，则集合A*B中所有元素的和=_。12. 一个七位电话号码a1a2a3a4a5a6a7，如果前面三位数码a1a2a3的顺序与a4a5a6或a5a6a7相同(可能三者都一样)，则称此号码为“可记忆的”。如果a1,a2,a7可取数码0,1,
3、2,9中的任一个，则不同的“可记忆的”号码共有_个。二、选择题：(每小题4分，满分16分)13. 已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点Z的轨迹是( ) (A) 直线；(B) 圆； (C) 椭圆； (D) 双曲线。14. y=lg(x+3)的图像可由函数y=10x的图像，先向( )，再作关于直线y=x对称得到。 (A) 上平移3个单位；(B) 下平移3个单位； (C) 左平移3个单位；(D) 右平移3个单位。15. 抛物线x2=2py (p0)与双曲线x2-y2+4y-3=0图形的交点( ) (A) 4个；(B) 3个； (C) 2个； (D) 由p的取值决定，但至少1个。MBPQAQ16.
4、 如图，南北向的公路，A地在公路的正东2 km处，B地在A地北偏东30方向4 km处，河流沿岸PQ (曲线)上任一点到公路及到A地距离均相等，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A、B两处转运货物，经测算从M到A，M到B修建公路的费用均为a 万元/ km，那么修建这两条公路的总费用最低是( ) (A) 万元；(B) 万元； (C) 3a 万元；(D) 4a 万元。三、解答题：17. (本题12分) 在DABC中，记外接圆半径为R。 (1) 求证：； (2) 若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，试判断DABC的形状。解：18. (本题12分) 已知：集合A=x|0
5、x3，B=x|x2-x-a(a-1)0。若AB，求实数a的取值范围。解：19. (本题15分) 已知：函数f(x)=x3+px2+9qx+p+q+3 (xR)的图像关于原点对称，其中p，q是实常数。 (1) 求p，q的值； (2) 确定函数f(x)在区间-3,3上的单调性； (3) 若当-3x3时，不等式f(x)10sint-49恒成立，求实数t的取值范围。解：20. (本题15分) 椭圆 (ab0)，B为短轴的一个顶点，焦点为F1，F2，且DBF1F2是等边三角形。 (1) 求的值； (2) 如直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=，求椭圆的方程。 解：21. (本题16分) 二次函数y=f(
6、x)图像交y轴于点(0,-6)，图像顶点坐标为。 (1) 求y=f(x)的解析式； (2) 记，求F(x)的解析式； (3) 如直线y=2x+t与曲线y=F(x)交于三个不同的点，试确定实数t的范围。解：22. (本题16分) 数列an满足an=3an-1+3n-1 (n2)，且a3=95。 (1) 求a1，a2； (2) 是否存在一个实数t，使得(nZ+)，bn为等差数列。有，则求出t，并予以证明；没有，则说明理由； (3) 求数列an的前n项和Sn。解：虹口区2004学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题参考答案与评分标准 一、(每小题4分) 1. 1，-1；2. ，；3.
7、-15+8i；4. 30； 5. ；6. a0且b-1；7. ；8. ； 9. 16，34；10. (理) (0,1)；(文) -17；11. 14；12. 19990。 二、(每小题4分) 13. B；14. B；15. A；16. D。 三、 17. (1) 左边=2R(sinAcosB-cosAsinB) (2)= (4)=。 (8) (2) 由题设得： (10)a2=b2或a2+b2=c2，该三角形是等腰三角形或直角三角形。 (12) 18. B：(x-a)x-(1-a)0。 (2) 1. 时，B：ax1-a，AB。则，a-1 (6) 2. 时，f (8) 3. 时，B：1-axa，A
8、B。则，a3 由1，2，3得，。 (12) 19. (1) 由f(-x)=-f(x)，得2px2+2(p+q+3)=0恒成立，p=0，q=-3。 (4) (2) f(x)=x3-27x，取-3x10，f(x)在-3,3为减函数。 (11) (3) 仅需f(x)的最小值，f(3)=-5410sint-49恒成立，由，得(kZ)。 (15) 20. (1) 。 (4) (2) 设a2=4t，b2=3t (t0)。则椭圆方程为。 代入，得x2+2x+(4-3t)=0 |PQ|=|x1-x2|= t=4。 椭圆方程为。 (15) 21. (1) y=x2+x-6 (4) (2) (8) (3) 仅需y
9、=2x+t与y=-x2-x+6在-3x2上有两个交点。 y=2x+t代入y=-x2-x+6，得x2+3x+(t-6)=0 设，满足上述要求，则 。 (16) 另解：数形结合，y=2x+t与y=-x2-x+6(-3x2)相切得 (12) y=2x+t过(-3,0)，得t=6 (14) 当时，有三个交点。 (16) 22. (1) a1=5，a2=23。 (2) (2) 为等差数列，必须，成等差，得。 (5)，即，当n=1,2,3成等差。 下证此时bn对一切nZ+定成等差数列。 当时，bn是公差为1的等差数列。 (8) (3) ，。 (10) 由 (12) 记 得： 错位相减，得。 (16)第 6 页
