1、1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1u2.3用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方
2、向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行()(5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行()(6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行()1平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A2B4C4D2答案
3、C解析，两平面法向量平行，k4.2已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1,1,1) B(1，1,1)C(，) D(，)答案C解析设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得xyz.故选C.3已知直线l的方向向量为v(1,2,3)，平面的法向量为u(5,2，3)，则l与的位置关系是_答案l或l解析vu0，vu，l或l.4(教材改编)设u，v分别是平面，的法向量，u(2,2,5)，当v(3，2,2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_答案解析当v(3，2,2)时，uv(2,2,5)(3，2,2)0.当v(4
4、，4，10)时，v2u.5(教材改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_答案垂直解析以A为原点，分别以，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0,0,0)，M(0,1，)，O(，0)，N(，0,1)，(0,1，)(0，1)0，ON与AM垂直题型一利用空间向量证明平行问题例1如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG.证明平面PAD平面ABCD，且ABC
5、D为正方形，AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，设st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2.22，又与不共线，与共面PB平面EFG，PB平面EFG.引申探究本例中条件不变，证明平面EFG平面PBC.证明(0,1,0)，(0,2,0)，2，BCEF.又EF平面PBC，BC平面PBC，EF平面PBC，同理可证GFPC，从而得出GF平面PBC
6、.又EFGFF，EF平面EFG，FG平面EFG，平面EFG平面PBC.思维升华(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.证明：PQ平面BCD.证明方法一如图，取BD的中点O，以O为原点
7、，OD、OP所在射线分别为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)设点C的坐标为(x0，y0,0)因为3，所以Q.因为M为AD的中点，故M(0，1)又P为BM的中点，故P，所以.又平面BCD的一个法向量为a(0,0,1)，故a0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.方法二在线段CD上取点F，使得DF3FC，连接OF，同方法一建立空间直角坐标系，写出点A、B、C的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0)，设点F坐标为(x，y,0)，则(xx0，yy0,0)(x0，y0,0)，(x0，y0,0)又由方法一知(x0，y0,0)，PQOF.又PQ平
8、面BCD，OF平面BCD，PQ平面BCD.题型二利用空间向量证明垂直问题命题点1证线面垂直例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD.证明方法一设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数，使m.令a，b，c，显然它们不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它们为空间的一个基底，则ac，ab，ac，mabc，m(ac)4240.故m，结论得证方法二如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为ABC为正三角形，所以AOBC.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面B
9、CC1B1，所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1，以O为原点，分别以，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，(1,2，)，(2,1,0)因为n，n，故令x1，则y2，z，故n(1,2，)为平面A1BD的一个法向量，而(1,2，)，所以n，所以n，故AB1平面A1BD.命题点2证面面垂直例3如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是
10、线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.证明(1)如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)于是(0,3,4)，(8,0,0)，(0,3,4)(8,0,0)0，所以，即APBC.(2)由(1)知|AP|5，又|AM|3，且点M在线段AP上，又(8,0,0)，(4,5,0)，(4，5,0)，则(0,3,4)0，即APBM，又根据(1)的结论知APBC，且BMBCC，AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BCM.思维升华证明垂直
11、问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可(1)如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点求证：DE
12、平面ABC；B1F平面AEF.证明如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)取AB中点为N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC.故DE平面ABC.(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00.，即B1FEF，B1FAF，又AFEFF，B1F平面AEF.(2)如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC
13、90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30角求证：CM平面PAD；求证：平面PAB平面PAD.证明以C为坐标原点，分别以CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角，PBC30.PC2，BC2，PB4.D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M(，0，)，(0，1,2)，(2，3,0)，(，0，)，令n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则即令y2，得n(，2,1)n2010，n，又CM平面PAD，CM平面PAD.取AP的中点
14、E，则E(，2,1)，(，2,1)PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，BEDA，又PADAA，BE平面PAD，又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.题型三利用空间向量解决探索性问题例4如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证：BDAA1；(2)求二面角DA1AC的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由(1)证明设BD与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO60，A1O2AAAO22AA1A
15、Ocos603，AO2A1O2AA，A1OAO.由于平面AA1C1C平面ABCD，A1O平面ABCD.以OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A1(0,0，)，C1(0,2，)由于(2，0,0)，(0,1，)，0(2)1000，即BDAA1.(2)解由于OB平面AA1C1C，平面AA1C1C的一个法向量为n1(1,0,0)设n2(x，y，z)为平面DAA1D1的一个法向量，则即取n2(1，1)，则n1，n2即为二面角DA1AC的平面角，cosn1，n2，所以，二面角DA1AC的余弦值
16、为.(3)解假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，设CC1，P(x，y，z)，则(x，y1，z)(0,1，)从而有P(0,1，)，(，1，)设n3(x3，y3，z3)平面DA1C1，则又(0,2,0)，(，0，)，则取n3(1,0，1)，因为BP平面DA1C1，则n3，即n30，得1，即点P在C1C的延长线上，且C1CCP.思维升华对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底
17、面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论(1)证明如图，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.，(0，a,0)0，即EFCD.(2)解设G(x,0，z)，则，若使GF平面PCB，则由(a,0,0)a0，得x；由(0，a，a)a0，得z0.G点坐标为，即G点为AD的中点17利用向量法解决立体几何问题典例(12分)(2014湖北)如图，在棱长为2的正方体ABC
18、DA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02)(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由规范解答解以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.1分由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0，0，)，M(2,1,2)，N(1,0,2)，(2,0,2)，(1,0，)，(1,1,0)，(1，1,0)，(1
19、,0，2)3分(1)证明当1时，(1,0,1)，因为(2,0,2)，所以2，即BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.7分(2)解设平面EFPQ的一个法向量为n(x，y，z)，则由可得于是可取n(，1)9分同理可得平面PQMN的一个法向量为m(2,2，1)若存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角，则mn(2,2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1.11分故存在1，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角12分温馨提醒(1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量；(2)建立空间直角坐标系时，要根据题中
20、条件找出三条互相垂直的直线；(3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直，线面、面面平行、垂直外，还可以利用向量求夹角、距离，从而解决线段长度问题、体积问题等方法与技巧1用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想2两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断(2)建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题失误与防范用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如
21、要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外A组专项基础训练(时间：40分钟)1若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()AlBlClDl与相交答案B解析n2a，a与的法向量平行，l.2已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)答案A解析逐一验证法，对于选项A，(1
22、,4,1)，n61260，n，点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内3若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交B平行C在平面内D平行或在平面内答案D解析，、共面，AB与平面CDE平行或在平面CDE内4如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则M点的坐标为()A(1,1,1)B(，1)C(，1)D(，1)答案C解析设M点的坐标为(x，y,1)，ACBDO，则O(，0)，又E(0,0,1)，A(，0)，(，1)，(x，y，1)，AM平面BDE，5已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向
23、量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_答案解析设平面的法向量为m(x，y，z)，由m0，得x0yz0yz，由m0，得xz0xz，取x1，m(1,1,1)，mn，mn，.6已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_答案解析0，0，ABAP，ADAP，则正确又与不平行，是平面ABCD的法向量，则正确(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误7.如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且PAAD2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的
24、中点求证：(1)PB平面EFH；(2)PD平面AHF.证明建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)(1)(2,0，2)，(1,0，1)，2，PBEH.PB平面EFH，且EH平面EFH，PB平面EFH.(2)(0,2，2)，(1,0,0)，(0,1,1)，0021(2)10，0120(2)00，PDAF，PDAH，又AFAHA，PD平面AHF.8.如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD.证明：平面PQC平面DCQ.证明如图，以
25、D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA、DP、DC分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)0，0.即PQDQ，PQDC，又DQDCD，PQ平面DCQ，又PQ平面PQC，平面PQC平面DCQ.9.如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.证明以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图空间所示的空间直角
26、坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E(，1，)，F(0,1，)，(，0,0)，(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)(1)，即EFAB，又AB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB.(2)(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，即APDC，ADDC.又APADA，DC平面PAD.DC平面PDC，平面PAD平面PDC.B组专项能力提升(时间：30分钟)10如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平
27、面ABF，则CE与DF的和的值为_答案1解析以D1A1，D1C1，D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CEx，DFy，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，F(0,0,1y)，B(1,1,1)，(x1,0,1)，(1,1，y)，由于B1E平面ABF，所以(1,1，y)(x1，0,1)0xy1.11.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数有_个答案2解析建立如图的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O
28、(1，1,0)，OP的中点坐标为，又知D1(0,0,2)，Q(x1，y1,0)，而Q在MN上，xQyQ3，xy1，即点P坐标满足xy1.有2个符合题意的点P，即对应有2个.12如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由(1)证明以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)设ABa，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故(0,1,1)，(a,0,1)，.011(1)10，B1
29、EAD1.(2)解假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)使得DP平面B1AE，此时(0，1，z0)又设平面B1AE的法向量n(x，y，z)n平面B1AE，n，n，得取x1，得平面B1AE的一个法向量n.要使DP平面B1AE，只要n，有az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.13.如图所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD.(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由(1)证明连接BD，设ACBDO，则ACBD.由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图设底面边长为a，则高SOa，于是S，D，B，C，则0.故OCSD.从而ACSD.(2)解棱SC上存在一点E，使BE平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，.设t，则t，而0t.即当SEEC21时，.而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC.存在一点E，使得BE平面PAC，此时SEEC2.
