1、2.2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学习目标：1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形(重点)2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线(重点，难点)自 主 预 习探 新 知1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|2b，长轴长|A1A2|2a焦点F1(c,0)，
2、F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c2.离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率(2)性质：离心率e的范围是(0,1)当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆思考：(1)离心率e能否用表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？提示(1)e21，所以e.(2)不是离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同基础自测1思考辨析(1)椭圆1(ab)的长轴长为a，短轴长为b.()(2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆()(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称()答案(1)(2)(3)2椭圆6x2y26的长轴
3、的端点坐标是()A(1,0)，(1,0)B(6,0)，(6,0)C(，0)，(，0)D(0，)，(0，)D椭圆方程可化为x21，则长轴的端点坐标为(0，)3椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是() 【导学号：46342069】A5,3,0.8B10,6,0.8C5,3,0.6 D10,6,0.6B椭圆方程可化为1，则a5，b3，c4，e，故B.合 作 探 究攻 重 难根据椭圆的方程研究其几何性质设椭圆方程mx24y24m(m0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标解椭圆方程可化为1.(1)当0m4时，a2，b，c，e，m3，b，c1，椭圆的长轴的长和短
4、轴的长分别是4,2，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(0，)，B2(0，)(2)当m4时，a，b2，c，e，解得m，a，c，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(2,0)，B2(2,0)规律方法用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式(2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍跟踪训练1已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短
5、半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质解(1)由椭圆C1：1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率e.(2)椭圆C2：1.性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；离心率：e.利用几何性质求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)求经过点M(1,2)，且与椭圆1有相同离心率的椭圆的标准方程. 【导学号：46342070】思路
6、探究(1)焦点位置不确定，分两种情况求解(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系再用待定系数法求解法二：设与椭圆1有相同离心率的椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)解(1)若焦点在x轴上，则a3，e，c，b2a2c2963.椭圆的方程为1.若焦点在y轴上，则b3，e，解得a227.椭圆的方程为1.所求椭圆的方程为1或1.(2)设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c232，故所求椭圆的方程为1.(3)法一：由题意知e21，所以，即
7、a22b2设所求椭圆的方程为1或1.将点M(1,2)代入椭圆方程得1或1解得b2或b23.故所求椭圆方程为1或1.法二：设所求椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)，将点M的坐标代入可得k1或k2，解得k1，k2，故或，即所求椭圆的标准方程为1或1.规律方法利用椭圆的几何性质求标准方程的思路1利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2，e等2在椭圆的简单几何性质中，轴长、
8、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个提醒：与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆方程为k1(k10，焦点在x轴上)或k2(k20，焦点在y轴上)跟踪训练2(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为()A.1B.1C.1 D.1B由题意，得解得因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为1.(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cosOFA，则椭圆的标准方程是_1或1因为椭圆的长轴长是6，cosOFA，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端
9、点)所以|OF|c，|AF|a3，所以，所以c2，b232225，所以椭圆的方程是1或1.求椭圆的离心率探究问题1已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PFx轴，OPAB，怎样求椭圆的离心率？提示：如图，设椭圆的方程为1(ab0)，P(c，m)OPAB，PFOBOA， 又P(c，m)在椭圆上，1. 将代入，得1，即e2，e.2已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(c,0)，A(a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e.提示：由A(a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB，故AB所在的直线方程为ybx
10、，即bxayab0.又F1(c,0)，由点到直线的距离公式可得d，(ac).又b2a2c2，整理，得8c214ac5a20，即81450.8e214e50，e或e(舍去)综上可知，椭圆的离心率e.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是_. 【导学号：37792071】思路探究ABF2为正三角形AF2F130把|AF1|，|AF2|用C表示解析不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为ABF1F2，且ABF2为正三角形，所以在RtAF1F2中，AF2F130，令|AF1|x，则|AF2|2x，所以|F1F2|x2c，再由椭圆的
11、定义，可知|AF1|AF2|2a3x，所以e.答案规律方法 求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围跟踪训练3(1)椭圆1(ab0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是()A.1B2C.1D2(2)椭圆1(ab0)的两焦点为F1，F2，
12、以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_(1)A(2)1(1)如图，设F(c,0)，由OAF是等边三角形，得A，因为点A在椭圆上，所以有1，在椭圆中有a2b2c2，联立，得c2(42)a2，即c(1)a，则其离心率e1.(2)法一如图，DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，F1NF2N，|NF2|c，|NF1|c，由椭圆的定义可知|NF1|NF2|2a，cc2a，e1.法二注意到焦点三角形NF1F2中，NF1F230，NF2F160，F1NF290，则由离心率的三角形式，可得e1.当 堂 达 标固 双 基1已知椭圆1(ab0)与椭圆1有相同的长轴，椭圆1
13、(ab0)的短轴长与1的短轴长相等，则() 【导学号：46342072】Aa215，b216Ba29，b225Ca225，b29或a29，b225Da225，b29D由题意得，椭圆1的焦点在x轴上，且a225，b29.2已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1B.1C.1 D.1D右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上，c1.又离心率为，故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为1.3若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.B由题意得：2bac，4b2(ac)2，又a2b2c2，4(a2c2)a22acc2，即3a22ac5c20，3250，即5230，e.4若焦点在y轴上的椭圆1的离心率为，则m的值为_由题意知0mb0)的两焦点为F1(0，c)，F2(0，c)(c0)，离心率e，焦点到椭圆上点的最短距离为2，求椭圆的方程. 【导学号：46342073】解由题意知解得所以b2a2c21，所以所求椭圆的方程为x21.
