1、第二章 圆锥曲线与方程22 椭圆第13课时 椭圆及其标准方程(2)基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1通过探索椭圆定义的形成过程，锻炼观察能力和探索能力2能解决与椭圆有关的轨迹问题基础巩固一、选择题(本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分)1平面内有两定点 A，B 及动点 P，设命题甲“|PA|PB|是定值”，命题乙“点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件B解析：当动点的轨迹为椭圆时，根据椭圆的定义可得，平面内一动点到两定点的距离之和为一定值；但当平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点
2、轨迹的情况有三种所以“|PA|PB|是定值”是“点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆”的必要不充分条件2已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3,0)，点(0，3)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.x245y2361 B.x236y2271C.x227y2181 D.x218y291D解析：由题意得a2b29，0 9b21，解得a218，b29，故椭圆的方程为x218y291.3“mn0”是“方程 mx2ny21 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件C解析：方程可化为x21my21n1，表示焦点在 y 轴上的椭圆
3、时，应满足1n1m0，即 mn0.4椭圆x225y291 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2，N 是 MF1的中点，则|ON|等于()A2 B4C8 D.32B解析：连接 MF2，已知|MF1|2，又|MF1|MF2|10，|MF2|10|MF1|8，|ON|12|MF2|4.5已知椭圆的焦点是 F1，F2，P 是椭圆上的一动点，如果延长 F1P 到 Q，使得|PQ|PF2|，那么动点 Q 的轨迹是()A圆B椭圆C直线D抛物线A解析：由题意，得|PF1|PF2|2a(a0 是常数)|PQ|PF2|，|PF1|PQ|2a，即|QF1|2a，动点 Q 的轨迹是以 F1 为圆心，2a 为半径的圆
4、，故选 A.6已知 F1，F2 分别为椭圆 C：x24y231 的左、右焦点，点 P为椭圆 C 上的动点，则PF1F2 的重心 G 的轨迹方程为()A.x236y2271(y0)B.4x29 y21(y0)C.9x24 3y21(y0)Dx24y23 1(y0)C解析：由椭圆 C：x24y231 可知焦点坐标为(1,0)，(1,0)，设 P(x，y)，G(x，y)，则有 x11x3x3，y00y3y3，所以 x3x，y3y，又x24 y23 1，所以9x24 9y23 1，即9x24 3y21(y0)7如图，已知 F(2 5，0)为椭圆 C 的左焦点，P 为 C 上一点，满足|OP|OF|，且
5、|PF|4，则椭圆 C 的方程为()A.x225y251 B.x230y2101C.x236y2161 D.x245y2251C解析：设椭圆的右焦点为 F，则|OP|OF|OF|，PFFFPO，FFPOPF，所以PFFFFPFPOOPF90，即 PFPF.在 RtPFF中，|PF|4，|FF|4 5，故|PF|FF|2|PF|2 4 52428.由椭圆定义，得|PF|PF|2a4812，故 a6，于是b2a2c236(2 5)216，所以椭圆的方程为x236y2161.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)8已知圆 C：x2y24xy0 与坐标轴的交点(原点除外)都在一
6、个椭圆上，则该椭圆的标准方程为.x216y21解析：已知圆 C 与两个坐标轴的交点分别为 O(0,0)，A(4,0)和 B(0，1)，设椭圆方程为 mx2ny21(mn，m0，n0)，由椭圆经过点 A，B 可得16m1，n1，解得 m 116，n1，故所求椭圆的标准方程为x216y21.9若椭圆x220y2k 1 的焦距为 6，则 k 的值为.11 或 29解析：由已知，得 2c6，c3，c29，20k9 或 k209，k11 或 k29.10椭圆x212y231 的一个焦点为 F1，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上，那么点 M 的纵坐标是.34解析：焦点 F1(3
7、,0)，设 P(x0，y0)，M(0，y)，则有03x02，y0y02，所以x03，y02y.又x2012y2031，则32124y231，解得 y 34.11F1，F2 分别为椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，点 P 在椭圆上，POF2 是面积为 3的正三角形，则 b2 的值是.2 3解析：|OF2|c，由已知得 3c24 3，c24，c2.设点 P 的坐标为(x0，y0)，由POF2 为正三角形，|x0|1，|y0|3，代入椭圆方程得 1a2 3b21.a2b24，b23(b24)b2(b24)，即 b412，b22 3.三、解答题(本大题共 2 小题，共 25 分解答应写出文
8、字说明，证明过程或演算步骤)12(12 分)动圆 M 与定圆 C1：x2y26x0 外切，且内切于定圆 C2：x2y26x40，求动圆圆心 M 的轨迹方程解：定圆 C1：(x3)2y232，设动圆圆心 M(x，y)，半径为r，动圆 M 与定圆 C1 外切，|MC1|r3.又圆 M 内切于定圆 C2：(x3)2y249，|MC2|7r.，得|MC1|MC2|10|C1C2|6.M 的轨迹为以 C1、C2为焦点的椭圆，2a10,2c6.b216.所求轨迹方程为x225y2161.联立方程x32y29，x225y2161，解得 x103，故所求轨迹方程为x225y2161103 x5.13(13 分
9、)已知椭圆8x281y2361 上一点 M(x0，y0)，且 x00，y02.(1)求 x0 的值；(2)求过点 M 且与椭圆x29y241 共焦点的椭圆的方程解：(1)由题意知 M(x0,2)在椭圆8x281y2361 上，则8x2081 4361，解得 x209.又 x05)由(1)可知点 M 的坐标为(3,2)，将其代入所设方程，得 9a24a251(a25)，解得 a215.故所求椭圆的方程为x215y2101.能力提升14(5 分)我们把由半椭圆x2a2y2b21(x0)与半椭圆y2b2x2c21(xbc0)如图所示，设点 F0，F1，F2 是相应椭圆的焦点，A1，A2 和 B1，B
10、2 是“果圆”与 x 轴和 y 轴的交点，若F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形，则 a，b 的值分别为()A.72，1 B.3，1C5,3 D5,4A解析：由题意知，a2b232234，b2c212214，a2c21.又 a2b2c2，b21，b1.a274，a 72.15(15 分)如图所示，设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 D 在椭圆上，DF1F1F2，|F1F2|DF1|2 2，DF1F2的面积为 22.求椭圆的标准方程解：设 F1(c,0)，F2(c,0)，其中 c2a2b2.由|F1F2|DF1|2 2得|DF1|F1F2|2 2 22 c.又 SDF1F212|DF1|F1F2|22 c2 22，所以 c1.所以|DF1|22.由 DF1F1F2 得|DF2|2|DF1|2|F1F2|292，所以|DF2|3 22.所以 2a|DF1|DF2|2 2，故 a 2，b2a2c21.所以所求椭圆的标准方程为x22y21.谢谢观赏！Thanks!