1、12.3 复数的几何意义基础认知自主学习【概念认知】1复平面2复数的几何意义复数 zabi(a，bR)_复数 zabi(a，bR)平面向量_复平面内的点Z(a，b)OZ因此，复数 zabi、复平面内的点 Z(a，b)和平面向量OZ 之间的关系可用下图表示为方便起见，常把复数 zabi 说成点 Z 或向量OZ，并且规定相等的向量表示同一个复数3复数的模(1)定义：向量OZ 的模叫作复数 zabi(a，bR)的模；(2)记法：复数 zabi 的模记作_；(3)公式：|z|abi|_(a，bR).|z|或|abi|22ab4复数加、减法的几何意义如图所示设复数 z1abi，z2cdi(a，b，c，d
2、R)对应的向量分别为 OZ1，OZ2，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，则与 z1z2 对应的向量是_，与 z1z2 对应的向量是_OZ21Z Z【自我小测】1(2020全国卷)若 z1i，则|z22z|()A0 B1 C 2 D2【解析】选 D.由 z1i 得，z22i，2z22i，所以|z22z|2i(22i)|2.2(2021合肥高一检测)已知 a，bR，那么在复平面内对应于复数 abi，abi 的两个点的位置关系是()A关于 x 轴对称B关于 y 轴对称C关于原点对称D关于直线 yx 对称【解析】选 B.在复平面内对应于复数 abi，abi 的两个点为(a，b)和(a，b)关于 y
3、轴对称3在平行四边形 ABCD 中，若 A，C 对应的复数分别为1i 和43i，则该平行四边形的对角线 AC 的长度为()A 5 B5 C2 5 D10【解析】选 B.依题意知，AC 对应的复数为(43i)(1i)34i，因此 AC的长度为|34i|5.4已知复数 z(m3)(m1)i 的模等于 2，则实数 m 的值为()A1 或 3 B1 C3 D2【解析】选 A.依题意可得（m3）2（m1）2 2，解得 m1 或 m3.5已知 z 是复数，i 是虚数单位，且 z2ai，(z 4)214 3 i，则|z|_，复数z 在复平面内对应的点位于第_象限【解析】因为 z2ai，所以z 2ai，所以(
4、z 4)2(2ai)24a24ai14 3 i，所以4a21，4a4 3，解得 a 3，所以 z2 3 i，z 2 3 i，所以|z|7，复数z 在复平面内对应的点为(2，3)位于第二象限答案：7 二6已知复数 z 满足|z1i|1，求|z23i|的最小值【解析】由|z1i|1 得复数 z 对应的点是圆心为1，1，半径为 1 的圆上的动点，|z23i|表示的是圆上的点与点2，3的距离，所以其最小值为点2，3到圆心1，1的距离减去半径即21 231 2 14.学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1已知 z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是()A(3，1
5、)B(1，3)C(1，)D(，3)【解析】选 A.z(m3)(m1)i 对应点的坐标为(m3，m1)，该点在第四象限，所以m30，m10，解得3m1.2已知 i 是虚数单位，复数 z 满足(1i)z2i，则复平面内与 z 对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】选 A.因为(1i)z2i，所以 z 2i1i 2i（1i）21i，所以复平面内与z 对应的点在第一象限3(2019全国卷)设复数 z 满足|zi|1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21【解析】选 C.zxyi，zix(y1)i
6、，|zi|x2（y1）2 1，则 x2(y1)21.故选 C.4向量OA 对应的复数为 z132i，OB 对应的复数 z21i，则|OA OB|为()A 5 B 3 C2 D 10【解析】选 A.因为向量OA 对应的复数为 z132i，OB 对应的复数为 z21i，所以OA(3，2)，OB(1，1)，则OA OB(2，1)，所以|OA OB|5.5若|42 5 i|x(32x)i3(y5)i(i 为虚数单位)，其中 x，y 是实数，则|xyi|()A5 B 13 C2 2 D2【解析】选 A.由已知，得 6x(32x)i3(y5)i，所以x63，32xy5，解得x3，y4，所以|xyi|34i
7、|5.二、填空题6在复平面中，复数 z1，z2 对应的点分别为 Z11，2，Z2(2，1).设 z1 的共轭复数为 z1，则 z1z2_【解析】由题意，得 z112i，z22i，所以 z112i，故 z1z212i2i5i.答案：5i7已知向量OZ1 对应的复数为 23i，向量OZ2 对应的复数为 34i，则向量 Z1Z2对应的复数为_【解析】Z1Z2OZ2OZ1(34i)(23i)1i.答案：1i8已知|z1|1，|z2|3，则|z1z2|的最大值为_；|z1z2|的最小值为_【解析】|z1z2|z1|z2|134，|z1z2|z1|z2|2.答案：4 2三、解答题9在复平面内，若复数 z(
8、m2m2)(m23m2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线 yx 上分别求实数 m 的取值范围【解析】复数 z(m2m2)(m23m2)i 的实部为 m2m2，虚部为 m23m2.(1)由题意得 m2m20.解得 m2 或 m1.(2)由题意得m2m20，m23m20，所以1m2，m2或m1，所以1m1.(3)由已知得 m2m2m23m2.所以 m2.综上所述，(1)当 m2 或 m1 时，复数 z 对应的点在虚轴上；(2)当1m1 时，复数 z 对应的点在第二象限；(3)当 m2 时，复数 z 对应的点在直线 yx 上10如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A
9、，C 对应复数分别为0，32i，24i，试求：(1)AO 所表示的复数，BC 所表示的复数；(2)CA 所表示的复数；(3)OB 所表示的复数及OB 的长度【解析】(1)AO OA，所以AO 所表示的复数为32i.因为BC AO，所以BC 所表示的复数为32i.(2)因为CA OA OC，所以CA 所表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)OB OA OC，它所对应的复数 z(32i)(24i)16i，|OB|1262 37.【综合突破练】一、选择题1复平面内正方形三个顶点分别对应复数 z112i，z22i，z312i，则另一个顶点对应的复数为()A2i B5iC43i D2i，5i 或
10、43i【解析】选 A.如图所示，利用AD BC，或者AB DC，求另一顶点对应的复数设复数 z1，z2，z3 对应的点分别为 A，B，C，正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 xyi(x，yR)，则AD OD OA(xyi)(12i)(x1)(y2)i，BC OCOB(12i)(2i)13i.因为AD BC，所以(x1)(y2)i13i，所以x11，y23，解得x2，y1.故 D 点对应的复数为 2i.2定义运算a bc dadbc，若复数 z 满足z i1i 2i0(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】选 A.
11、由题意z i1i 2i2izi1i0，所以 z1i2i1i i2i212 12 i，则 z 12 12 i，所以 z 在复平面内对应的点的坐标为12，12在第一象限3A，B 分别是复数 z1，z2 在复平面内对应的点，O 是原点，若|z1z2|z1z2|，则三角形 AOB 一定是()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【解析】选 B.复数 z1 对应向量OA，复数 z2 对应向量OB.则|z1z2|OA OB|，|z1z2|OA OB|，依题意有|OA OB|OA OB|.所以以OA，OB 为邻边所作的平行四边形是矩形，所以AOB 是直角三角形4(多选)已知 i 为虚数单位，下
12、列说法中正确的是()A若复数 z 满足|zi|5，则复数 z 对应的点在以(1，0)为圆心，5 为半径的圆上B若复数 z 满足 z|z|28i，则复数 z158iC复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D复数 z1 对应的向量为1OZ，复数 z2 对应的向量为2OZ，若|z1z2|z1z2，则12OZOZ【解析】选 CD.满足|zi|5 的复数 z 对应的点在以(0，1)为圆心，5 为半径的圆上，A 错误；在 B 中，设 zabi(a，bR)，则|z|a2b2.由 z|z|28i，得 abia2b2 28i，所以aa2b22，b8，解得a15，b8，所以
13、z158i，B 错误；由复数的模的定义知 C 正确；由z1z2z1z2的几何意义知，以1OZ，2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D 正确二、填空题5设(1i)sin(1icos)对应的点在直线 xy10 上，则 tan 的值为_【解析】由题意，得 sin 1sin cos 10，所以 tan 12.答案：126若(2i)x32yi，x、yR，则复数 zxyi 对应的点在第_象限，|z|_【解析】因为 32yi2xxi，所以2x3，x2y，所以x32，y34，所以点 z32，34在第四象限，|z|322343 54.答案：四 3 547若|z2|z2|，则|z1|的最小值是_【解
14、析】由|z2|z2|，知 z 对应点的轨迹是到(2，0)与到点(2，0)距离相等的点即虚轴，|z1|表示 z 对应的点到点(1，0)的距离，所以|z1|最小值1.答案：1三、解答题8已知复数 z 满足 z(13i)(1i)4.(1)求复数 z 的共轭复数；(2)若 wzai 且复数 w 对应向量的模不大于复数 z 所对应向量的模，求实数 a 的取值范围【解析】(1)z1i3i3424i，所以复数 z 的共轭复数为24i.(2)w2(4a)i，复数 w 对应向量为(2，4a)，其模为4（4a）2 208aa2.又复数 z 所对应向量为(2，4)，其模为 2 5.由复数 w 对应向量的模不大于复数
15、 z 所对应向量的模，得 208aa220，a28a0，a(a8)0，所以实数 a 的取值范围是8a0.9在 z1ai 0，z2z22.这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求出满足条件的复数 z，以及|z.已知复数 z11i，z2a2i，()aR，_若1z 1z1 1z2，求复数 z，以及|z.【解析】方案一：选条件，因为 z11i，所以 z1ai 1iai 1i aiai aia1a1 ia21，由于 z1ai 0，所以a10，a10，解得 a1.所以 z212i，1z 1z1 1z2 z1z2z1z2，从而 z z1z2z1z23i3i13i313 i，|z 13212 103.方案二
16、：选条件.因为 z2a2i，所以 z2a2i，由 z2z22a2，得 a1，所以 z212i，1z 1z1 1z2 z1z2z1z2，从而 z z1z2z1z23i3i13i313 i，|z 13212 103.(60 分钟 100 分)一、选择题(每小题 5 分，共 45 分，多选题全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分)1已知(2i)zi，则|z|()A15 B13 C 55 D 33素养培优练【解析】选 C.由(2i)zi，得 z i2i i（2i）（2i）（2i）15 25 i，则|z|152252 55.2已知 i 为虚数单位，且复数 z 满足 z2i 11
17、i，则复数 z 在复平面内的点到原点的距离为()A132 B 262 C 102 D52【解析】选 B.由 z2i 11i，得 z2i 11i 2i1i（1i）（1i）12 52 i，所以复数 z 在复平面内的点的坐标为12，52，到原点的距离为14254 262.3若复数 z 2i1i3(i 为虚数单位)，则复数 z 在复平面上对应的点所在的象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】选 B.z 2i1i3 2i1i 2i（1i）（1i）（1i）1i，复数 z 在复平面上对应的点为(1，1)，该点在第二象限，故复数 z 在复平面上对应的点所在的象限为第二象限4设 z(25i
18、)(3i)，则|z|()A5 29 B 290C2 70 D4 35【解析】选 B.方法一：z(25i)(3i)62i15i51113i，故|z|121169 290.方法二：|z|25i|3i|425 91 290.5(2021全国乙卷)设 2(z z)3(z z)46i，则 z()A12i B12i C1i D1i【解析】选 C.设 zabi，则 z abi，2(z z)3(z z)4a6bi46i.所以 a1，b1，所以 z1i.6复数 z2i1i，i 是虚数单位，则下列结论正确的是()A|z|5Bz 的共轭复数为32 12 iCz 的实部与虚部之和为 3Dz 在复平面内的对应点位于第一
19、象限【解析】选 D.由题得，复数 z2i1i（2i）（1i）（1i）（1i）13i1i2 12 32 i，可得|z|122322 102，则 A 不正确；z 的共轭复数为12 32 i，则 B 不正确；z的实部与虚部之和为12 32 2，则 C 不正确；z 在复平面内的对应点为12，32，位于第一象限，则 D 正确7在复平面内，一个平行四边形的 3 个顶点对应的复数分别是 12i，2i，0，则第四个顶点对应的复数不可以是()A3i B13i C3i D3i【解析】选 A.设第四个点对应复数为 z，则 z12i2i0 或 z2i12i0 或 z012i2i，所以 z3i 或 z3i 或 z13i
20、.8(多选)i 是虚数单位，复数 z3i1 3i，则不正确的是()Az12 32B|z|34Cz32 32i Dz34 34i【解析】选 ABC.z3i（1 3i）（1 3i）（1 3i）3i3434 34i，z1234122342 12，|z|342342 32.9(多选)已知复数 z1cos 2isin 222(其中 i 为虚数单位)，下列说法正确的是()A复数 z 在复平面上对应的点可能落在第二象限Bz 可能为实数C|z|2cos D1z 的实部为12【解析】选 BCD.因为2 2，所以2，所以1cos 21，所以 00，aR)，i 为虚数单位，且复数 z2z 为实数(1)求复数 z；(
21、2)在复平面内，若复数(mz)2 对应的点在第一象限，求实数 m 的取值范围【解析】(1)因为 zai(a0)，所以 z2z ai 2ai ai2（ai）（ai）（ai）ai2a2ia21 a 2aa2112a21i，由于复数 z2z 为实数，所以 12a21 0，因为 a0，解得 a1，因此，z1i.(2)由题意，(mz)2(m1i)2(m1)212(m1)i(m22m)2(m1)i，由于复数(mz)2 对应的点在第一象限，则m22m0，2（m1）0，解得 m0.因此，实数 m 的取值范围是(0，).15已知复数 z(1ai)(1i)24i(aR).(1)若 z 在复平面中所对应的点在直线
22、xy0 上，求 a 的值；(2)求|z1|的取值范围【解析】(1)化简得 z(1ai)(1i)24i(3a)(a5)i，所以 z 在复平面中所对应的点的坐标为(3a，a5)，在直线 xy0 上，所以 3a(a5)0，得 a1.(2)|z1|(2a)(a5)i|（2a）2（a5）2 2a26a29，因为 aR，且 2a26a29492，所以|z1|2a26a29 7 22，所以|z1|的取值范围为7 22，.16已知复数 z 满足 z z 2，z2 的虚部为 2.(1)求复数 z；(2)设 z，z2，zz2 在复平面上对应的点分别为 A，B，C，求ABC 的面积【解析】(1)设 zabi(a，bR)，则 z abi，即有 z z a2b22，z2a2b22abi.由 z2 的虚部为 2，有 2ab2，所以a1，b1或a1，b1，即 z1i 或 z1i.(2)当 z1i 时，z2(1i)22i，zz21i，所以点 A(1，1)，B(0，2)，C(1，1)，知：|AC|2 且 B 到 AC 的距离为 1，所以 S ABC12|AC|112 211.当 z1i 时，z2(1i)22i，zz213i，所以点 A(1，1)，B(0，2)，C(1，3)，知：|AC|2 且 B 到 AC 的距离为 1，所以 S ABC12|AC|112 211.所以 ABC 的面积为 1.
