1、第35讲数列的综合应用【课程要求】1会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题2掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法对应学生用书p94【基础检测】1我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i1，2，10)，且a1a2a10，若48ai5M，则i()A6 B5 C4 D7
2、解析 由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为an，设公差为d，则解得a1，d，该金杖的总重量M1015，48ai5M，4875，即396i75，解得i6.答案 A2若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于()A6 B7 C8 D9解析 由题意知abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有：a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有：a，2，b；b，2，a.或解得或p5，q4，pq9，故选D.答案 D3设yf是一次
3、函数，若f1，且f，f，f成等比数列，则fff_.解析 由题意可设fkx1，则，解得k2，fff2n23n.答案 2n23n4小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.万元 B.万元C.万元 D.万元解析 设每年应还x万元，则xxxxM，M，得x.答案 B【知识要点】1数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集1，2，n上的函数(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程(3)用转化化归的思想探究数列问题
4、，将问题转化为等差、等比数列来研究(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等2解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中3数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项
5、之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是Sn与Sn1之间的递推关系对应学生用书p95等差、等比数列的综合问题例1已知公比不为1的等比数列an的首项a1，前n项和为Sn，且a4S4，a5S5，a6S6成等差数列(1)求等比数列an的通项公式；(2)对nN*，在an与an1之间插入3n个数，使这3n2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列bn的前n项和Tn.解析 (1)设等比数列an的公比为q，因为a4S4，a5S5，a6S6成等差数列，所以a5S5a4S4a6S6a5S5，即2a63a5a40，所以2q23q10.因为q1，所以q，所以等比数列an
6、的通项公式为an.(2)由题意得bn3n，Tn.小结等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的1已知数列an的前n项和为Snn2n.(1)求数列an的通项公式an；(2)令cn，问是否存在正整数m，k(1m1且mN*则为奇整数，k1(舍去)或k7，将k7代入
7、(*)式得m2，故存在m2，k7使得c1，cm，ck成等差数列 .数列与不等式的综合问题例2已知数列中，a11，an1.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足bnan，数列的前n项和为Tn，若不等式Tn对一切nN*恒成立，求的取值范围解析 (1)由an1，得1，3，所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而3n1an.(2)由(1)可知bn.Tn123n，123n，两式相减得n2，Tn4，4，若n为偶数，则4，3；若n为奇数，则4，2，23.小结数列与不等式综合问题的两个方面(1)数列型不等式恒成立或存在性问题，先参变分离，转化为最值问题，数列的最值常选择用做差或者作商来处理；(2)数列不
8、等式有时候需要用放缩法来证明，将通项的分母放大或缩小成可以求和的形式再证明2设Sn为数列的前n项和，Sn2ann.(1)求证：数列是等比数列；(2)求证：1，所以1.又因为，所以122.综上，132500，即2n132，得n6，该企业从2023年开始年底分红后的资金超过32500万元对应学生用书p971(2017全国卷理)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏 C5盏 D9盏解析 设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数
9、构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：381，解得x3，即塔的顶层共有灯3盏答案 B2(2019北京理)已知数列an，从中选取第i1项、第i2项、第im项(i1i2im)，若ai1ai2aim，则称新数列ai1，ai2，aim为an的长度为m的递增子列规定：数列an的任意一项都是an的长度为1的递增子列(1)写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；(2)已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为am0，长度为q的递增子列的末项的最小值为an0.若pq，求证：am0an0；(3)设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等若an的长度为s
10、的递增子列末项的最小值为2s1，且长度为s末项为2s1的递增子列恰有2s1个(s1，2，)，求数列an的通项公式解析 (1)1，3，5，6.(答案不唯一)(2)设长度为q末项为an0的一个递增子列为ar1，ar2，arq1，an0.由pq，得arparq1an0.因为的长度为p的递增子列末项的最小值为am0，又ar1，ar2，arp是的长度为p的递增子列，所以am0arp.所以am0an0.(3)由题设知，所有正奇数都是中的项先证明：若2m是中的项，则2m必排在2m1之前(m为正整数)假设2m排在2m1之后设ap1，ap2，apm1，2m1是数列的长度为m末项为2m1的递增子列，则ap1，ap
11、2，apm1，2m1，2m是数列的长度为m1末项为2m的递增子列与已知矛盾再证明：所有正偶数都是中的项假设存在正偶数不是中的项，设不在中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2k1之前(k1，2，m1)，所以2k和2k1不可能在的同一个递增子列中又中不超过2m1的数为1，2，2m2，2m1，2m1，所以的长度为m1且末项为2m1的递增子列个数至多为112m12m.与已知矛盾最后证明：2m排在2m3之后(m2为整数)假设存在2m(m2)，使得2m排在2m3之前，则的长度为m1且末项为2ml的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾综上，数列只可能为2，1，4，3，2m3，2m，2m1，.经验证，数列2，1，4，3，2m3，2m，2m1，符合条件所以an
