1、1函数与映射函数映射两集合A、B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)(xA)对应f：AB是一个映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，其中所有x组成的集合A称为函数yf(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数yf(x)的值域(2)函数的三要素
2、：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数4常见函数定义域的求法类型x满足的条件，nN*f(x)0与f(x)0f(x)0logaf(x)(a0，a1)f(x)0logf(x)g(x)f(x)0，且f(x)1，g(x)0tanf(x)f(x)k，kZ【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)对于函数f：AB，其
3、值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数()(3)映射是特殊的函数()(4)若AR，Bx|x0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()1下列函数中，不满足f(2x)2f(x)的是()Af(x)|x|Bf(x)x|x|Cf(x)x1Df(x)x答案C解析将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等对于A，f(2x)|2x|2|x|2f(x)；对于B，f(2x)2x|2x|2(x|x|)2f(x)；对于C，f(2x)2x12f(x)；对于D，f(2x)2x2f(x)，故只有C不满足f(2x)2f(x)，所以选C.2函
4、数f(x)的定义域为()A.B(2，)C.(2，) D.2，)答案C解析要使函数f(x)有意义，需使解得x2或0x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象，中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象，故选B.题型二函数的定义域命题点1求给定函数解析式的定义域例2(1)函数f(x)的定义域为()A(3,0B(3,1C(，3)(3,0D(，3)(3,1(2)函数f(x)的定义域是()A(1，) B1，)C(1,1)(1，) D1,1)(1，)答案(1)A(2)C解析(1)由题意知解得30且x10，得x1，且x1，故选C.命题点2求抽象函
5、数的定义域例3(1)若函数yf(x)的定义域是1,2 016，则函数g(x)的定义域是()A0,2 015B0,1)(1,2 015C(1,2016 D1,1)(1,2 015(2)若函数f(x21)的定义域为1,1，则f(lgx)的定义域为()A1,1B1,2C10,100D0，lg 2答案(1)B(2)C解析(1)令tx1，则由已知函数的定义域为1，2 016，可知1t2016.要使函数f(x1)有意义，则有1x12016，解得0x2015，故函数f(x1)的定义域为0,2 015所以使函数g(x)有意义的条件是解得0x1或1x2015.故函数g(x)的定义域为0,1)(1,2 015故选
6、B.(2)因为f(x21)的定义域为1,1，则1x1，故0x21，所以1x212.因为f(x21)与f(lgx)是同一个对应关系，所以1lgx2，即10x100，所以函数f(lgx)的定义域为10,100故选C.命题点3已知定义域求参数范围例4若函数f(x)的定义域为R，则a的取值范围为_答案1,0解析因为函数f(x)的定义域为R，所以210对xR恒成立，即220，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.思维升华简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解(2)抽象函数：无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x的取值集合；
7、对应f下的范围一致(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围(1)已知函数f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)f(x)f(x)的定义域是_(2)函数y的定义域为_答案(1)，(2)(1,1)解析(1)因为函数f(x)的定义域是0,2，所以函数g(x)f(x)f(x)中的自变量x需要满足解得：x，所以函数g(x)的定义域是，(2)由得1x1)(2)2x7(3)解析(1)(换元法)令t1(t1)，则x，f(t)lg，即f(x)lg(x1)(2)(待定系数法)设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5a
8、b2x17不论x为何值都成立，解得f(x)2x7.(3)(消去法)在f(x)2f()1中，用代替x，得f()2f(x)1，将f()1代入f(x)2f()1中，可求得f(x).思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程
9、组求出f(x)(1)已知f(1)x2，则f(x)_.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时，f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_.(3)定义在(1,1)内的函数f(x)满足2f(x)f(x)lg(x1)，则f(x)_.答案(1)x21(x1)(2)x(x1)(3)lg(x1)lg(1x) (1x1)解析(1)设1t(t1)，则t1.代入f(1)x2，得f(t)t21(t1)，f(x)x21(x1)(2)当1x0时，0x11，由已知f(x)f(x1)x(x1)(3)当x(1,1)时，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代替x得，2f(x)f(x)lg(x1)由
10、消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)2分类讨论思想在函数中的应用典例(1)(2014课标全国)设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_(2)(2015山东)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A.B0,1C.D1, )解析(1)当x1时，ex12，解得x1ln2，x1.当x1时，2，解得x8，1x8.综上可知x(，8(2)由f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当a1时，有3a11，a，a1.当a1时，有2a1，a0，a1.综上，a，故选C.答案(1)(，8(2)C温馨提醒(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定
11、相应关系式代入求解(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围(3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论方法与技巧1在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同2定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行3函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法4分段函数问题要分段求解失误与防范1复合函数fg(x)的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(
12、x)的定义域相混2分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论A组专项基础训练(时间：30分钟)1下列各组函数中，表示同一函数的是()Af(x)x，g(x)()2Bf(x)x2，g(x)(x1)2Cf(x)，g(x)|x|Df(x)0，g(x)答案C解析在A中，定义域不同，在B中，解析式不同，在D中，定义域不同2已知函数f(x)的定义域为M，g(x)ln(1x)的定义域为N，则M(RN)等于()Ax|x1Bx|x1CDx|1x1答案A解析M(1,1)，N(1，)，故M(RN)x|x0，所以f()log2x，则f(x)log2log2x.6已知函数f
13、(x)log2，f(a)3，则a_.答案解析由题意可得log23，所以23，解得a.7已知函数yf(2x)的定义域为1,1，则yf(log2x)的定义域是_答案，4解析函数f(2x)的定义域为1,1，1x1，2x2.在函数yf(log2x)中，log2x2，x4.8(2015浙江)已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的最小值是_答案023解析f(3)lg(3)21lg101，f(f(3)f(1)0，当x1时，f(x)x323，当且仅当x时，取等号，此时f(x)min230；当x1时，f(x)lg(x21)lg10，当且仅当x0时，取等号，此时f(x)min0.f(x)的最小值为23.9已
14、知f(x)是二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，求函数f(x)的解析式解设f(x)ax2bxc (a0)，又f(0)0，c0，即f(x)ax2bx.又f(x1)f(x)x1.a(x1)2b(x1)ax2bxx1.(2ab)xab(b1)x1，解得f(x)x2x.10根据如图所示的函数yf(x)的图象，写出函数的解析式解当3x1时，函数yf(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设f(x)axb(a0)，将点(3,1)，(1，2)代入，可得f(x)x；当1x1时，同理可设f(x)cxd(c0)，将点(1，2)，(1,1)代入，可得f(x)x；当1x2时，f(x)1.所以f(x)B组专
15、项能力提升(时间：20分钟)11若函数y的定义域为R，则实数a的取值范围是_答案0,3)解析因为函数y的定义域为R，所以ax22ax30无实数解，即函数yax22ax3的图象与x轴无交点当a0时，函数y的图象与x轴无交点；当a0时，则(2a)243a0，解得0a3.综上所述，a的取值范围是0,3)12若函数f(x)，则(1)_；(2)f(3)f(4)f(2017)f()f()f()_.答案(1)1(2)0解析(1)f(x)f()0，1(x1)，1.(2)f(3)f()0，f(4)f()0，f(2017)f()0，f(3)f(4)f(2017)f()f()0.13已知函数f(x)1的定义域是a，
16、b，(a，bZ)，值域是0,1，则满足条件的整数数对(a，b)共有_个答案5解析由011，即12，得0|x|2，满足条件的整数数对有(2,0)，(2,1)，(2,2)，(0,2)，(1,2)，共5个14具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：yx；yx；y其中满足“倒负”变换的函数是_答案解析对于，f(x)x，fxf(x)，满足；对于，fxf(x)，不满足；对于，f即f故ff(x)，满足综上可知，满足“倒负”变换的函数是.15如图1是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象(1)试说明图1上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解(1)点A表示无人乘车时收支差额为20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价(3)斜率表示票价(4)图1、2中的票价是2元图3中的票价是4元
