1、湖北省荆门市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知角的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义可求出的值.【详解】由三角函数的定义可得.故答案为：D.【点睛】本题考查利用三角函数的定义计算余弦值，考查计算能力，属于基础题.2.已知集合，则中元素的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】列举出集合中的元素，可得出结论.【详解】由题意可得，因此，集合中有个元素.故选：B.【点睛】本题考查利用列举法表示集
2、合，列举出集合中的元素是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.3.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】判断各选项中的两个向量是否共线，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，由于，则和不共线，A选项中的两个向量可以作基底；对于B选项，则和共线，B选项中的两个向量不能作基底；对于C选项，则，C选项中的两个向量不能作基底；对于D选项，则，D选项中的两个向量不能作基底.故选：A.【点睛】本题考查基底概念的理解，解题的关键就是所找的两个向量不共线，考查推理能力与计算能力，属于基础题.4.函数对称中心的横坐标不可能是（ ）A. B. C. D.
3、【答案】C【解析】【分析】令，求出，然后对赋值可得出结论.【详解】令，解得.当时，；当时，；当时，.，所以，函数对称中心的横坐标不可能是.故选：C.【点睛】本题考查正切型三角函数对称中心坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.5.已知幂函数的图象经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得，再将点代入函数的解析式，求出的值，即可求得的值.【详解】由于函数为幂函数，则，由题意得，解得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查利用幂函数求参数，解题时不要忽略幂函数解析式中系数为，考查计算能力，属于基础题.6.已知，且，不为0，那么下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D
4、. 【答案】D【解析】试题分析：根据不等式的性质，可知，则，故选D.考点：不等式的性质.7.已知向量，且，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】设向量与的夹角为，由，可得，等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义可求出的值，结合的范围可求出的值.【详解】，得，即，即，解得，得，因此，向量与的夹角为.故选：A.【点睛】本题考查平面向量夹角的计算，同时也考查了平面向量数量积的运算律和定义，考查计算能力，属于中等题.8.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置.若初始位置为，秒针从（注：此时）开始沿顺时针方向走动，则点的纵坐
5、标与时间的函数关系式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件先确定周期从而求解出的值，设出与时间的函数关系式（注意秒针是顺时针方向转动），根据初始位置计算出的值从而求解出关系式.【详解】由题意，函数的周期为，.设函数解析式为（秒针是顺时针走动）.初始位置为，时，.，可取.函数的解析式为.故选C.【点睛】本题考查利用三角函数的实际模型求解函数解析式，难度一般.钟表问题的三角函数实际模型中，由于分针、时针、秒针都是顺时针转动，因此在确定的时候要注意取负值，这里依据的是角的正负的定义.9.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详
6、解】根据函数过排除A;根据过排除B、D,故选C10.已知函数，则函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】解不等式，得，再由，解出的取值范围，即得函数的定义域.【详解】对于函数，即，解得.对于函数，有，解得.因此，函数的定义域为.故选：D.【点睛】本题考查对数函数以及对数型复合函数定义域的求解，考查计算能力，属于中等题.11.已知某抽气机每次可抽出容器内空气的，要使容器内的空气少于原来的，则至少要抽的次数是（ ）（参考数据：）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意得出，将指数式化为对数式，解出的取值范围，即可得出结果.【详解】抽气机抽次后，容器内的
7、空气为原来的，由题意可得，因此，至少要抽的次数是.故选：B.【点睛】本题考查指数模型的应用，同时也考查了指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.12.已知函数，关于的方程有个不等的实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，利用图象可得知，关于的二次方程的两根、，然后利用二次函数的零点分布得出关于实数的不等式组，解出即可.【详解】令，由，得，设关于的二次方程的两根分别为、，如下图所示：由于关于的方程有个不等的实数根，则，设，则，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本题考查复合型二次函数的零点个数问题，将问题转化为二次函数的零点分布问题是
8、解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则_.【答案】【解析】【分析】利用函数的解析式，由内到外逐层计算出的值.【详解】，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查分段函数值的计算，要充分结合函数的解析式由内到外逐层计算，考查计算能力，属于基础题.14.函数是定义在上的偶函数，其在上的图象如图所示，那么不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】设，利用定义可判断出函数是偶函数，结合图象得出不等式在区间上的解，利用偶函数的性质可得出不等式的解集.【详解】设，则该函数的定义域为，关于原点对称，由于函数是定义在上的偶函数，则，所以
9、，函数为偶函数.由图象可知，.当时，此时；当时，此时；当时，此时.所以，当时不等式的解为.由于函数为偶函数，因此，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题考查利用图象和奇偶性解函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.为单位圆的直径，为圆心，在中，为直角，的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点的坐标为，可得出点的坐标为或，然后利用平面向量数量积的坐标运算结合正弦函数的有界性可得出的取值范围.【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如下图所示：则点、，设点的坐标为，则点的坐标为，即点，则，其中，所以，.因此，的
10、取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积取值范围的计算，利用坐标结合三角函数的有界性来计算平面向量数量积的取值范围是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.16.对于下列结论：设为第二象限角，则，且；函数是最小正周期为的周期函数；函数图象向右平移个单位得到的图象；函数的最小值为.其中结论正确的序号有_.【答案】【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题的正误；利用特殊值法可判断出命题的正误；利用三角函数的相位变换可判断出命题的正误；将函数解析式化为，可得出，结合二次函数的基本性质可判断出命题的正误.【详解】对于命题，取，则，则，则，命题错误；对于命题，则，所以，函数不是以为周期的周期函
11、数，命题错误；对于命题，将函数图象向右平移个单位得到函数的图象，命题错误；对于命题，函数，当时，该函数取得最小值，即，命题正确.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数有关命题真假的判断，涉及同角三角函数值的大小比较、三角函数的周期、三角函数图象变换以及二次型三角函数的最值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.化简计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用指数和对数的运算律可计算出所求代数式的值；（2）利用诱导公式逐一化简，可得出结果.【详解】（1）原式；（2）原式.【点睛】本题考查指
12、数和对数的综合计算，同时也考查了利用诱导公式化简求值，考查计算能力，属于基础题.18.已知集合，集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将代入集合，求出集合，再利用并集的定义可求出集合；（2）分、和三种情况讨论，结合条件，列出关于实数的不等式组，解出即可.【详解】（1）当时，；（2）当时，满足，合乎题意；当时，则，解得；当时，则，解得.综上，实数的取值范围为.【点睛】本题考查并集的计算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.19.平面内给定三个向量，.（1）求满足的实数、；（2）若，求实数.【答案】（1）
13、，；（2）【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算得出关于实数、的方程组，解出即可；（2）计算出向量和的坐标，根据共线向量的坐标表示得出关于实数的方程，解出即可.【详解】（1）因为，即得， 即，解得，； （2），因为，所以，整理得，解得.【点睛】本题考查利用平面向量的坐标运算以及共线向量的坐标表示求参数，考查方程思想的应用，属于基础题.20.已知函数，图象的相邻两条对称轴之间的距离是，其中一个最高点为.（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的单调递增区间；（3）若对于任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）递增区间和；（3）.【解析】【分析】（1）根据函数图象的最高点的坐标求出的值，
14、结合题意求出该函数的最小正周期，可求出的值，再将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围可求出的值，从而可得出函数的解析式；（2）求出函数在上的单调区间，再与区间取交集可得出函数在上的单调递增区间；（3）由题意得出，求出函数在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）由于函数的图象的一个最高点坐标为，则，得.设该函数的最小正周期为，则，所以，得，此时，将点的坐标代入函数的解析式得，则，解得.因此，；（2）令，解得，所以，函数的单调递增区间为，因此，函数在上的单调递增区间为和；（3）恒成立，等价于恒成立，则，当，即时，该函数取得最小值，即，.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利
15、用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了正弦型三角函数单调区间和三角函数不等式恒成立问题的求解，一般将问题转化为最值来求解，考查运算求解能力，属于中等题.21.网络游戏要实现可持续发展，必须要发展绿色网游.为此，国家文化部将从内容上对网游作出强制规定，国家信息产业部还将从技术上加强对网游的强制限制，开发限制网瘾的疲劳系统，现已开发的“游戏防沉迷系统”规则如下：小时以内（含小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值（单位：）与游戏时间（小时）满足关系式：（为常数）；小时到小时（含小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为（即累积经验值不变）；超过小时为不健康时间，累积经验值开始损
16、失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为.（1）当时，写出累积经验值与游戏时间函数关系式，并求出游戏小时的累积经验值；（2）定义“玩家愉悦指数”为累积经验值与游戏时间的比值，记作；若，开发部门希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于，求实数的取值范围.【答案】（1），游戏小时的累积经验值为；（2）.【解析】【分析】（1）分、三种情况得出关于的函数解析式，即可得出函数的解析式，结合函数解析式可计算出游戏小时的累积经验值的值；（2）由题意得出，可得出，构造函数，求出该函数在上的最小值，可得出关于的不等式，解出即可.【详解】（1），当时，当时，；当时，；当时，.所以.当时，所以
17、游戏小时的累积经验值为；（2）由题意，当，整理得恒成立，令，函数在单调递减，在单调递增，当时，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查分段函数模型的应用，考查学生建模的能力，考查函数思想的应用，属于中等题.22.已知函数，将函数图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象.（1）分别求函数与的解析式；（2）设函数，若有零点，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）令，可得出，利用换元法可求出函数的解析式，再利用平移规律可得出函数的解析式；（2）由题意得出，令，由可得出，再令，可得出，求出函数在区间上值域，利用双勾函数的单调性求出即可.【详解】（1）令，所以，.由题意可得，；（2），令，函数有零点等价于关于的方程在有解.，令，则， 由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，当时，该函数取得最小值，即，当时，该函数取得最大值，即，因此，实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，同时也考查了函数的图象变换以及利用函数有零点求参数的取值范围，借助参变量分离法求解可简化计算，考查分析问题和解题问题的能力，属于中等题.
