1、课时规范练44抛物线基础巩固组1.抛物线y=8mx2(m0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p=()A.1B.2C.22D.43.(2021北京海淀二模)已知F为抛物线y2=4x的焦点,点P(x0,y0)是该抛物线上的一点.若|PF|2,则()A.x0(0,1)B.x0(1,+)C.y0(2,+)D.y0(-,2)4.(2021河南郑州月考)若抛物线y2=2px(p0)上的点A(3,y0)到焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则y0等于()A.62B.6C.122D.125.若抛物线y2=2px(p0)的焦点与双曲线x25y23=1的右焦点重合,则p的值为()A.42B.2C.2D.226.
2、(2021湖南常德一中月考)在平面直角坐标系中,已知M(2,0),点B为直线l:x=-2上的动点,点A在线段MB的垂直平分线上,且ABl,则动点A的轨迹方程是()A.y2=8xB.y2=4xC.x2=8yD.x2=4y7.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,PAl,垂足为A.若直线AF的斜率k=-3,则下列结论正确的是()A.准线方程为x=-3B.焦点坐标F0,32C.点P的坐标为92,33D.PF的长为38.(2021河北张家口一模)若点P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p0)上一点,抛物线C的焦点为F,则|PF|=.9.(2021北京怀柔
3、一模)若抛物线C焦点在y轴上,且过点(2,1),则抛物线C的标准方程是.综合提升组10.(2021福建龙岩三模)已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点P作PQl,垂足为Q,若|PF|=4,则FQP=()A.30B.45C.60D.7511.(2021重庆一中月考)抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-4,点F为抛物线的焦点,点P为抛物线上一个动点,点Q为曲线C:x2-10x+y2-2y+22=0上的一个动点,则|PF|+|PQ|的最小值为()A.7B.72C.8D.8212.已知抛物线x2=12y的焦点为F,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上两点,则下列结论错
4、误的是()A.点F的坐标为18,0B.若直线MN过点F,则x1x2=-116C.若MF=NF,则|MN|的最小值为12D.若|MF|+|NF|=32,则线段MN的中点P到x轴的距离为5813.(2021湖北襄阳四中模拟)已知点A是抛物线y2=2px(p0)上一点,F为其焦点,以点F为圆心,|FA|为半径的圆交抛物线的准线于B,C两点.若FBC为等腰直角三角形,且ABC的面积是42,则抛物线的方程是.创新应用组14.已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,点M(2,m)(m0)在抛物线C上,且|MF|=2.(1)求抛物线C的方程;(2)若点P(x0,y0)为抛物线C上任意一点,过该点的切线
5、为l0,证明:过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.课时规范练44抛物线1.B解析:由y=8mx2(m0),得x2=18my,所以抛物线y=8mx2(m2,解得x01.故选B.4.A解析:由题可得3+p2=9,解得p=12,所以y2=24x.又点A(3,y0)在抛物线y2=24x上,所以y02=72,解得y0=62.故选A.5.A解析:由题可知抛物线y2=2px(p0)的焦点为p2,0,双曲线x25y23=1的右焦点为(22,0).因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,所以p2=22,解得p=42.故选A.6.A解析:由题可知|AB|=|AM|,ABl,所以点A的轨迹是以点M为焦点,直线l为
6、准线的抛物线,所以p2=2,解得p=4,所以点A的轨迹方程为y2=8x.故选A.7.C解析:抛物线方程为y2=6x,焦点坐标F32,0,准线方程为x=-32,故A,B错误;直线AF的斜率为-3,直线AF的方程为y=-3x-32,A-32,33.PAl,垂足为A,点P的纵坐标为33,点P的坐标为92,33,故C正确;|PF|=|PA|=92+32=6,故D错误.故选C.8.5解析:因为点P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p0)上一点,所以42=2p1,解得p=8,所以|PF|=1+82=5.9.x2=4y解析:因为抛物线C焦点在y轴上,所以设抛物线方程为x2=my.又抛物线过点(2,1),所
7、以22=m,即m=4,所以抛物线方程为x2=4y.10.C解析:设P(x0,y0),则|PQ|=y0+1.由抛物线的定义可得|PQ|=|PF|,所以y0+1=4,即y0=3.又x02=4y0,所以x02=12,不妨设点P位于第一象限,则x0=23,即P(23,3),所以Q(23,-1),所以|QF|=12+4=4,所以|PQ|=|PF|=|QF|,所以FQP为等边三角形,所以FQP=60.故选C.11.A解析:由题可知抛物线方程为y2=16x,曲线C:(x-5)2+(y-1)2=4.过点P作PA垂直于准线x=-4,垂足为A(图略),则|PA|=|PF|,所以|PF|+|PQ|=|PA|+|PQ
8、|.要使|PA|+|PQ|最小,则需A,P,Q三点共线且QA最小,所以最小值为9-2=7.故选A.12.A解析:抛物线x2=12y的焦点为F0,18,故A错误;根据抛物线的性质可得,MN过点F时,x1x2=-116,故B正确;若MF=NF,则|MN|的最小值为抛物线的通径长,为2p=12,故C正确;由题可知,抛物线x2=12y的焦点为F0,18,准线方程为y=-18,过点M,N,P作准线的垂线MM,NN,PP(图略),则|MM|=|MF|,|NN|=|NF|,|MM|+|NN|=|MF|+|NF|=32,所以|PP|=|MM|+|NN|2=34,所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP|-18
9、=3418=58,故D正确.故选A.13.y2=4x解析:由题可知p|BF|=cos45=22,所以|BF|=2p,所以|AF|=2p,所以点A到准线的距离d=2p,所以SABC=12|BC|d=122p2p=42(p0),解得p=2,所以抛物线方程为y2=4x.14.(1)解由抛物线的定义,可知|MF|=m+p2=2.因为点M(2,m)在抛物线C上,所以2pm=4.由解得p=2,m=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)证明当x0=0,即点P为原点时,显然符合;当x00,即点P不在原点时,由(1)得x2=4y,即y=x24,则y=12x,所以抛物线C在点P处的切线l0的斜率为12x0,所以抛物线C在点P处的切线l0的方程为y-y0=12x0(x-x0).又x02=4y0,所以y-y0=12x0(x-x0)可化为y=12x0x-y0.过点F(0,1)且与切线l0垂直的直线方程为y-1=-2x0x.由y=12x0x-y0,y-1=-2x0x,消去x,得y=-14(y-1)x02-y0.因为x02=4y0,所以y=-yy0,即(y0+1)y=0.由y00,可知y=0,即垂足必在x轴上.综上所述,过点F作切线l0的垂线,垂足必在x轴上.
