1、2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念及简单表示法学习目标：1.理解数列的概念(重点).2.掌握数列的通项公式及应用(重点).3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(难点、易错点)自 主 预 习探 新 知1数列的概念及一般形式思考1：(1)数列的项和它的项数是否相同？(2)数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与1,2,3,4,5有什么区别？提示(1)数列的项与它的项数是不同的概念数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2
2、,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合1,2,3,4,5与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性2数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式4数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下
3、表：定义域正整数集N(或它的有限子集1,2,3，n)解析式数列的通项公式值域自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法思考：数列的通项公式anf(n)与函数解析式yf(x)有什么异同？提示如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集1,2，n)为定义域的函数，anf(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集基础自测1思考辨析(1)数列1,1,1，是无穷数列()(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列()(3)
4、有些数列没有通项公式()答案(1)(2)(3)提示：(1)正确每项都为1的常数列，有无穷多项(2)错误虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列(3)正确某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式2600是数列12,23,34,45，的第_项24ann(n1)6002425，所以n24.3数列an满足anlog2(n23)2，则log23是这个数列的第_项.【导学号：91432112】3令anlog2(n23)2log23，解得n3.4数列1,2, ，中的第26项为
5、_2因为a11，a22，a3，a4，a5，所以an，所以a262.合 作 探 究攻 重 难数列的概念及分类已知下列数列：2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016；1，；1，；1,0，1，sin，；2,4,8,16,32，；1，1，1，1.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号)为有穷数列且为递增数列；为无穷、递减数列；为无穷、摆动数列；是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；为递增数列，也是无穷数列；为有穷数列，也是常数列规律方法1与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：(1)确定性：
6、一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物2判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限跟踪训练1给出下列数列：(1)20102017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,118,132,14
7、7,163,180.(2)无穷多个构成数列， ， ， ，.(3)2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，构成数列2,4，8,16，32，.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，常数列是_，摆动数列是_. 【导学号：91432113】(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)为有穷数列；(2)(3)是无穷数列，同时(1)也是递增数列；(2)为常数列；(3)为摆动数列由数列的前几项求通项公式写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：(1)1，；(2)，3，；(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9；(4)3,5,3,5.思路探究：求数列的通项公式时，是否应考虑将个别项或各项进
8、行适当的变形？数列的通项公式唯一吗？解(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数， 正负相间用(1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an(1)n.(2)数列可化为，即，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n1，故原数列的一个通项公式为an.(3)原数列可变形为，故数列的一个通项公式为an1.(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为4,415,413，因此数列的一个通项公式又可以写为an4(1)n.规律方法1据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观
9、察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等，并对此进行归纳、联想2观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整跟踪训练2写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)1，3,5，7,9，；(3)1，2，3，4，；(4)1,11,111,1 111，.【导学号：91432114】解(1)观察数列中的数，可以看到011,341,891,15161,24251，所以它的一个通项
10、公式是ann21(nN*)(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(nN*)(3)此数列的整数部分1,2,3,4，恰好是序号n，分数部分与序号n的关系为，故所求的数列的一个通项公式为ann(nN*)(4)原数列的各项可变为9，99，999，9 999，易知数列9,99,999,9 999，的一个通项公式为an10n1，所以原数列的一个通项公式为an(10n1)(nN*)数列通项公式的应用探究问题1数列，的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？是否为该数列中的一项？为什么？提示：由数列各项的特点可
11、归纳出其通项公式为an，当n7时，a7，若为该数列中的一项，则，解得n8，所以是该数列中的第8项2已知数列an的通项公式为ann22n1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项提示：由数列与函数的关系可知，数列an的图象是分布在二次函数yx22x1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项已知数列an的通项公式为an3n228n.(1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？思路探究：(1)将n4，n6分别代入an求出数值即可；(2)由3
12、n228n49和3n228n68，求得n是否为正整数判断解(1)a434228464，a636228660.(2)由3n228n49解得n7或n(舍去)，所以49是该数列的第7项；由3n228n68解得n2或n，均不合题意，所以68不是该数列的项母题探究：1.(变结论)若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？解(1)因为an3n228n，所以a333228357，a838228832.(2)令3n228n20，解得n10或n(舍去)，所以20是该数列的第10项2(变条件，变结论)若将例题中的“an3n228n”变为“ann22n
13、5”，试判断数列an的单调性解ann22n5，an1an(n1)22(n1)5(n22n5)n22n12n25n22n52n3.nN*，2n30，an1an.数列an是递增数列规律方法1由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值2判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项3在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集1,2,3，n)这一约束条件当 堂 达 标固 双 基1下列说法正确的是()A数列1,3,5,7，2n1
14、可以表示为1,3,5,7，B数列1,0，1，2与数列2，1,0,1是相同的数列C数列的第k项为1D数列0,2,4,6,8，可记为2nC2在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于() 【导学号：91432115】A11B12C13 D14C观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x5813.3已知数列2，4，则8是该数列的第_项11令8，得n11.4若数列an的通项公式是an32n，则a2n_，_.【导学号：91432116】34n根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项因为an32n，所以a2n322n34n，.5已知数列.(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内解设f(n).(1)令n10，得第10项a10f(10).(2)令，得9n300.此方程无正整数解，所以不是该数列中的项(3)证明：an1，又nN*，01，0an1.即数列中的各项都在区间(0,1)内
