1、2.5.1直线与圆的位置关系 要点直线 AxByC0 与圆(xa)2(yb)2r2 的位置关系的判断位置关系相交相切相离公共点个数_个_个_个判定方法几何法：设圆心到直线的距离 d|AaBbC|A2B2d_rd_rd_r代数法：由 AxByC0 xa2yb2r2消元得到一元二次方程的判别式_0_0_0210方法技巧“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”基础自测1直线3x4y50与圆x2y21的位置关系是()A相交 B相切C相离 D无法判断解析：
2、圆心(0,0)到直线3x4y50的距离d|5|32421.dr，直线与圆相切故选B.答案：B2设A，B为直线yx与圆x2y21的两个交点，则|AB|()A1 B.2C.3 D2解析：直线yx过圆x2y21的圆心C(0,0)，则|AB|2，故选D.答案：D3直线x2y0被圆C：x2y26x2y150所截得的弦长等于_解析：由已知圆心C(3,1)，半径r5.又圆心C到直线l的距离d|32|5 5，则弦长2 r2d24 5.答案：4 5题型一直线与圆位置关系的判断1直线 yx1 与圆 x2y21 的位置关系为()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心D相离解析：圆心(0,0)到直线yx1的距离d 1
3、2 22.因为0221，故直线与圆相交但直线不过圆心，故选B.答案：B2已知圆C：x2y24x0，l是过点P(3,0)的直线，则()Al与C相交Bl与C相切Cl与C相离 D以上三个选项均有可能解析：将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32024391232，即43m1，所以点A在圆外，故切线有两条若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)，即kxy4k30.设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以|3k134k|k211，即|k4|k21，所以k28k16k21，解得k158.所以切线方程为158 xy152 30，即15x8y360.若直线斜率不存
4、在，圆心C(3,1)到直线x4的距离为1，这时直线x4与圆相切，所以另一条切线方程为x4.综上，所求切线方程为15x8y360或x4.方法技巧圆的切线的求法1点在圆上时：求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为1k，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 xx0 或yy0.2点在圆外时：(1)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就是切线方程(2)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由0求出k，可得切线方程特别注意：
5、切线的斜率不存在的情况，不要漏解变式训练 1(1)直线 xym0 与圆 x2y2m 相切，则 m的值为()A0 或 2B2C.2D无解解析：(1)由于直线与圆相切，故 m|m|1212，解得m0(舍去)或m2.故选B.答案：(1)B(2)过点A(2,1)，作圆的(x3)2(y1)21切线，则切线方程为_解析：(2)因为(23)2(11)21，所以点A(2,1)在圆上，从而A是切点，又过圆心(3,1)与点A的直线斜率为0，故所求切线的方程为y1.答案：(2)y1(3)(多填题)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2xy30与圆C相切于点A(2，1)，则m_，r_.解析：(3)法一：
6、由题意得，圆心C(0，m)到直线2xy30的距离d|m3|5r，又r|AC|4m12，所以|m3|54m12，解得m2，所以r 5.法二：根据题意画出图形，可知A(2，1)，C(0，m)，B(0,3)，则|AB|2021322 5，|AC|2021m2 4m12，|BC|m3|.直线2xy30与圆C相切于点A，BAC90，|AB|2|AC|2|BC|2.即204(m1)2(m3)2，解得m2.r|AC|4212 5.答案：(3)2，5题型三有关圆的弦长问题例 2求直线 l：3xy60 被圆 C：x2y22y40 截得的弦长分析：弦心距、半弦长与半径构成的直角三角形求解解析：法一：圆C：x2y2
7、2y40可化为x2(y1)25，其圆心坐标为(0,1)，半径r 5.点(0,1)到直线l的距离为d|3016|3212 102，l2 r2d2 10，所以截得的弦长为 10.法二：设直线l与圆C交于A、B两点由3xy60，x2y22y40，得交点A(1,3)，B(2,0)，所以弦AB的长为|AB|212032 10.变式探究若本例改为“过点(2,0)的直线被圆 C：x2y22y40 截得的弦长为 10，求该直线方程”，又如何求解？解析：由例题知，圆心C(0,1)，半径r5，又弦长为10，所以圆心到直线的距离dr2(102)2552 102.又直线过点(2,0)，知直线斜率一定存在，可设直线斜率
8、为k，则直线方程为yk(x2)，所以d|12k|k21 102，解得k3或k13，所以直线方程为y3(x2)或y13(x2)，即3xy60或x3y20.方法技巧求弦长常用的三种方法1利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，弦长 l 之间的关系(12l)2d2r2 解题2利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长3利用弦长公式，设直线 l：ykxb，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l 1k2|x1x2|1k2x1x224x1x2.变式训练 2(1)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24
9、 的弦，其中最短弦的长为_解析：(1)设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|2322122，半弦长 r2|CA|2 42 2，最短弦的长为2 2.答案：(1)2 2 变式训练 2(2)已知圆 C 的圆心与点 P(2,1)关于直线 yx1对称，直线 3x4y110 与圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB|6，求圆 C 的方程解析：(2)设点P关于直线yx1的对称点为C(m，n)，则由1n2 2m21，n1m211，m0，n1.故圆心C到直线3x4y110的距离d|411|916 3，所以圆C的半径的平方r2d2|AB|24 18.
10、故圆C的方程为x2(y1)218.答案：(2)x2(y1)218题型四直线与圆的方程的实际应用例 3为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心 O 处向东走 1 km 是储备基地的边界上的点 A，接着向东再走 7 km 到达公路上的点 B；从基地中心 O 向正北走 8 km 到达公路上的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选一点 D，修建一条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE，求 DE 的最短距离分析：建系求圆 O 与直线 BC 的方程利用直线与圆的位置关系求解解析：以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆
11、O的方程为x2y21.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8y81，即xy8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE为最短距离此时DE的最小值为|008|21(4 21)km.即DE的最短距离为(4 21)km.方法技巧求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤1认真审题，明确题意2建立平面直角坐标系，用方程表示直线和圆，从而在实际问题中建立直线与圆的方程3利用直线与圆的方程的有关知识求解问题4把代数结果还原为实际问题的解释变式训练 3(1)台风中心从 A 地以 20 千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险
12、区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，B 城市处于危险区内的时间为()A0.5 小时B1 小时C1.5 小时D2 小时解析：(1)以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线yx上移动，又B(40,0)到yx的距离为d202，由|BE|BF|30知|EF|20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t 20千米20千米/时1小时故选B.答案：(1)B(2)如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为_m.解析：(2)如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系设圆心
13、为C，圆的方程为x2(yr)2r2(r0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，2)将点A(6，2)代入圆的方程，得r10，圆的方程为x2(y10)2100.当水面下降1 m后，可设点A(x0，3)(x00)，将A(x0，3)代入圆的方程，得x0 51，当水面下降1 m后，水面宽为2x02 51(m)答案：(1)B(2)2 51易错辨析忽略了圆的一个隐含条件例 4已知圆的方程为 x2y2ax2ya20，一定点 A(1,2)，要使过定点 A(1,2)作圆的切线有两条，则 a 的取值范围为_解析：圆的标准方程为(xa2)2(y1)243a24，圆心C坐标为(a2，1)，半径r43a24 43a22，则43a20，解得2 33 a 43a22.化简得a2a90，不等式a2a90恒成立，故a的取值范围是(23 3，23 3)【易错警示】易错原因纠错心得忽视了圆的方程 x2y2ax2ya20 中有一个隐含条件，即D2E24F0同学们在解答含有参数的问题时，要多一些严谨，以免遗漏某些条件，导致结果出错.谢谢 观 看
