1、第三章一、选择题(本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：z1z257i.答案：D2复数的虚部为()A0 BC4 D4解析：34i，复数的虚部为4，选D.答案：D3在下列命题中，正确命题的个数是()两个复数不能比较大小；z1，z2，z3C，若(z1z2)2(z2z3)20，则z1z3；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x1；若a，b是两个相等的实数，则(ab)(ab)i是纯虚数A0个 B1个C2个 D3个解析：两个复数当它们
2、都是实数时，是可以比较大小的，故是不正确的；假设z1i，z20，z31，若(i0)2(01)20，则i1，显然是错误的，故是不正确的；假设x1，则x23x20，故是不正确的；假设ab0，则(ab)(ab)i0是实数，故是不正确的综上可知：均不正确，故选A.答案：A4已知2i，则复数z()A13i B13iC3i D3i解析：由题意知(1i)(2i)213i13i，从而z13i，选B.答案：B5在复平面内，复数zi2(12i)对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：复数zi22i312i，复数对应的点为(1，2)，则复数z对应的点在第三象限，选C.答案：C6复数z(a2
3、2a3)(a1)i为纯虚数，实数a的值是()A1 B3C1 D1或3解析：由题意知解得a3，选B.答案：B7已知复数z1i，则等于()A2i B2iC2 D2解析：2，选D.答案：D8复数z(a22a)(a2a2)i(aR)对应的点在虚轴上，则()Aa2或a1 Ba2且a1Ca0 Da2或a0解析：由点Z在虚轴上可知，点Z对应的复数是纯虚数和0，故a22a0，解得a0或2.故选D.答案：D9已知a，bR，命题甲：abi是纯虚数；命题乙：a0，则甲是乙成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若abi是纯虚数，则a0，b0，于是甲是乙的充分但不必要条件，
4、选A.答案：A10已知复数z112i，z21i，z334i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C，若(，R)，则的值是()A1 B2C3 D4解析：依题意34i(12i)(1i)(2)i，1.答案：A11复数zxyi(x，yR)满足条件|z4i|z2|，则|2x4y|的最小值为()A2 B4C4 D16解析：由|z4i|z2|得x2y3.则2x4y224.答案：C12已知f(n)inin(i21，nN)，集合f(n)的元素个数是()A2个 B3个C4个 D无数个解析：f(0)i0i00，f(1)ii1i2i，f(2)i2i20，f(3)i3i32i.f(n)0，2i,2i答案：B二、填空题
5、(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确答案填在题中横线上)13若复数z(m1)(m2)i对应的点在直线y2x上，则实数m的值是_解析：由已知得2(m1)(m2)0，m4.答案：414设复数z满足i(z1)32i(i是虚数单位)，则z的实部是_解析：设zabi(a，bR)，则i(z1)i(a1bi)b(a1)i32i，所以a1，b3，复数z的实部是1.答案：115在复平面内，复数1i与13i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则|_.解析：(13i)(1i)22i，|2.答案：216设i是虚数单位，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为_解析：先利用复数的运算法则将复数化为xyi(x，yR)
6、的形式，再由纯虚数的定义求a.因为aaa(a3)i，由纯虚数的定义，知a30，所以a3.答案：3三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)计算220.解析：220(12i)1(i)52i10(1i)2i1012i.18(本小题满分12分)实数m分别取什么值时，复数z(m25m6)(m22m15)i(1)与复数212i相等；(2)与复数1216i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴上方？解析：(1)由题意得解得m1.(2)由题意得解得m1.(3)由题意知，m22m150，解得m5，或m3.19(本小题满分12分)在复平面上，正方形A
7、BCD的两个顶点A，B对应的复数分别为12i,35i.求另外两个顶点C，D对应的复数解析：设D(x，y)，A，B，C，D对应的复数分别为z1，z2，z3，z4，则z4z1x1(y2)i，z2z127i.在正方形ABCD中，ADAB，且|AD|AB|，z4z1表示，z2z1表示，|z4z1|z2z1|，即x2y22x4y480.(x1)27(y2)0，即2x7y120.联立解得或又，则z3z2z4z1，z3z4z2z1(x2)(y7)i.综上可得或20(本小题满分12分)已知z是复数，z2i，均为实数(i为虚数单位)，对于复数w(zai)2，当a为何值时，w为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数
8、解析：设zxyi(x，yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2，(x2i)(2i)(2x2)(x4)i.由题意得x4，z42i.w(zai)2(124aa2)8(a2)i，(1)w为实数，则a20，a2，即w12422216.(2)w为虚数，只要a20，a2.(3)w为纯虚数，只要124aa20且a20，a2或a6.21(本小题满分13分)已知复数z3bi(bR)，且(13i)z为纯虚数(1)求复数z；(2)若，求复数的模|.解析：(1)(13i)(3bi)(33b)(9b)i(13i)z是纯虚数，33b0，且9b0，b1，z3i.(2)i|.22(本小题满分13分)已知复数z满足|z|，z2的虚部为2，z所对应的点A在第一象限(1)求z；(2)若 z，z2，zz2在复平面上对应的点分别为A，B，C，求cosABC.解析：(1)令zxyi(x，yR)|z|，x2y22.又z2(xyi)2x2y22xyi，2xy2，xy1.由可解得或z1i，或z1i.又x0，y0，z1i.(2)z2(1i)22i，zz21i2i1i.如图所示，A(1,1)，B(0,2)，C(1，1)，(1，1)，(1，3)，cosABC.
