1、回扣6立体几何1.概念理解(1)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.(2)三视图三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样.2.柱、锥、台、球体的表面积和体积侧面展开图表面积体积直棱柱长方形S2S底S侧VS底h圆柱长方形S2r22rlVr2l棱锥由若干三角形构成SS底S侧VS底h圆锥扇形Sr2
2、rlVr2h棱台由若干个梯形构成SS上底S下底S侧V(SS)h圆台扇环Sr2(rr)lr2V(r2rrr2)h球S4r2Sr33.平行、垂直关系的转化示意图(1)(2)线线垂直线面垂直面面垂直(3)两个结论abb4.用向量求空间角(1)直线l1，l2夹角有cos |cosl1，l2|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量).(2)直线l与平面的夹角有sin |cosl，n|(其中l是直线l的方向向量，n是平面的法向量).(3)平面，夹角有cos |cosn1，n2|，则l二面角的平面角为或(其中n1，n2分别是平面，的法向量).1.混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面内”的数学符号关
3、系，应表示为Aa，a.2.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主.3.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.4.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由，l，ml，易误得出m的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m的限制条件.5.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后
4、图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.6.几种角的范围两条异面直线所成的角090直线与平面所成的角090二面角0180两条相交直线所成的角(夹角)090直线的倾斜角0180两个向量的夹角0180锐角0907.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.1.如图是一个多面体三视图，它们都是斜边长为的等腰直角三角形，则这个多面体最长一条棱长为()A. B. C.2 D.3答案B解析由三视图可知，几何体是一个
5、三棱锥，底面是一个斜边长为的等腰直角三角形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长度为1，这样在所有棱中，连接与底面垂直的侧棱的顶点与底面的另一锐角顶点的侧棱最长，长度是.故选B.2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()答案D解析在被截去的四棱锥的三条可见棱中，两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合.3.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A.72 cm3 B.90 cm3 C.108 cm3 D.138 cm3答案B解
6、析该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示.VV三棱柱V长方体433436187290(cm3).4.直三棱柱ABCA1B1C1的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是()A.AB1平面BDC1B.A1C平面BDC1C.直三棱柱的体积V4D.直三棱柱的外接球的表面积为4答案D解析由三视图可知，直三棱柱ABCA1B1C1的侧面B1C1CB是边长为2的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，ABBC，ABBC2.连接B1C交BC1于点O，连接OD.在CAB1中，O，D分别是B1C，AC的中点，ODAB1，AB1平面BDC1.故A正确.直三棱柱ABCA1B1C1
7、中，AA1平面ABC，AA1BD.又ABBC2，D为AC的中点，BDAC，BD平面AA1C1C.BDA1C.又A1B1B1C1，A1B1B1B，A1B1平面B1C1CB，A1B1BC1.BC1B1C，且A1B1B1CB1，BC1平面A1B1C.BC1A1C，A1C平面BDC1.故B正确.VSABCC1C2224，C正确.此直三棱柱的外接球的半径为，其表面积为12，D错误.故选D.5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为()A.30 B.45 C.60 D.90答案C解析由中点M，N可知MNAD1，由D1AC是正三角形可知D
8、1AC60，所以异面直线AC和MN所成的角为60.6.已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是()A.若m，n，则mnB.若m，n，则mnC.若m，mn，则nD.若m，mn，则n答案B7.已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB1，AC1，BAC60，则此球的表面积等于_.答案解析由题意得三棱柱底面为正三角形，设侧棱长为h，则h12h4，因为球心为上下底面中心连线的中点，所以R222()2，因此球的表面积等于4R24.8.已知长方体ABCDABCD，E，F，G，H分别是棱AD，BB，BC，DD中点，从中任取两点确定的直线中，与平面
9、ABD平行的有_条.答案6解析如图，连接EG，EH，FG，EH綊FG，EFGH四点共面，由EGAB，EHAD，EGEHE，ABADA，可得平面EFGH与平面ABD平行，符合条件的共有6条.9.，是两平面，AB，CD是两条线段，已知EF，AB于B，CD于D，若增加一个条件，就能得出BDEF，现有下列条件：AC；AC与，所成的角相等；AC与CD在内的射影在同一条直线上；ACEF.其中能成为增加条件的序号是_.答案解析由题意得，ABCD，A，B，C，D四点共面.中，AC，EF，ACEF，又AB，EF，ABEF，ABACA，EF平面ABCD，又BD平面ABCD，BDEF，故正确；中，由可知，若BDEF
10、成立，则有EF平面ABCD，则有EFAC成立，而AC与，所成角相等是无法得到EFAC的，故错误；中，由AC与CD在内的射影在同一条直线上，可知面EFAC，由可知正确；中，仿照的分析过程可知错误，故填.10.如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论：BD平面CB1D1；AC1BD；AC1平面CB1D1；异面直线AD与CB1所成角为60.错误的有_.(把你认为错误的序号全部写上)答案解析BDB1D1，利用线面平行的判定可推出BD平面CB1D1；由BD平面ACC1可推出AC1BD；AC1CD1，AC1B1D1可推出AC1平面CB1D1；异面直线AD与CB1所成角为45，错误.11.如图，在直
11、三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，AC2，BC，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为_.答案解析如图，取AC中点F，连接FD，FB.则DFBE，DFBE，DEBF，BF与平面BB1C1C所成的角为所求的角，AB1，BC，AC2，ABBC，又ABBB1，AB平面BB1C1C，作GFAB交BC于点G，则GF平面BB1C1C，FBG为直线BF与平面BB1C1C所成的角，由条件知BGBC，GFAB，tanFBG，FBG.12.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边长都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一
12、个你认为是正确的条件即可)答案DMPC(或BMPC，答案不唯一)解析四边形ABCD是菱形，ACBD，又PA平面ABCD，PABD，又ACPAA，BD平面PAC，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.13.在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PAAB4，CDA120，点N在线段PB上，且PN.(1)求证：BDPC；(2)求证：MN平面PDC；(3)求二面角APCB的余弦值.(1)证明因为ABC是正三角形，M是AC中点，所以BMAC，即BDAC，又因为PA平面ABCD，BD平面AB
13、CD，PABD，又PAACA，所以BD平面PAC，又PC平面PAC，所以BDPC.(2)证明在正三角形ABC中，BM2，在ACD中，因为M为AC中点，DMAC，所以ADCD，又CDA120，所以DM，所以BMMD31，在等腰直角三角形PAB中，PAAB4，PB4，所以BNNP31，BNNPBMMD，所以MNPD，又MN平面PDC，PD平面PDC，所以MN平面PDC.(3)解因为BADBACCAD90，所以ABAD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以B(4，0，0)，C(2，2，0)，D(0，0)，P(0，0，4).由(1)可知，(4，0)为平面PAC的一个法向量，(2，2，4)，(4，0，4)，设平面PBC的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则平面PBC的一个法向量为n(3，3)，设二面角APCB的大小为，则cos .所以二面角APCB的余弦值为.
