1、A组考点基础演练一、选择题1(2015年白山一模)欲用数学归纳法证明：对于足够大的正整数n，总有2nn3，那么验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是()A1B9C10 Dn10，且nN*解析：2101 024103.故应选C.答案：C2用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是()A假设nk(kN)，证明nk1命题成立B假设nk(k是正奇数)，证明nk1命题成立C假设n2k1(kN)，证明nk1命题成立D假设nk(k是正奇数)，证明nk2命题成立解析：相邻两个正奇数相差2，故D选项正确答案：D3已知123332433n3n13n(nab)c对一切
2、nN*都成立，则a，b，c的值为()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在这样的a，b，c解析：由于该等式对一切nN*都成立，不妨取n1,2,3，则有解得a，bc.答案：A4凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：边数增加1，顶点也相应增加1个，它与它不相邻的n2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n1条故选C.答案：C5(2015年温州一模)数列an中，已知a11，当n2，且nN*时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A3n2 B
3、n2C3n1 D4n3解析：计算出a11，a24，a39，a416.可猜ann2(nN*)故应选B.答案：B二、填空题6设f(n)1(nN*)，则f(n1)f(n)_.解析：f(n)1，f(n1)1，f(n1)f(n).答案：7设S112，S2122212，Sn122232(n1)2n2(n1)22212，用数学归纳法证明Sn时，第二步从“k”到“k1”应添加的项为_解析：由S1，S2，Sn可以发现由nk到nk1时，中间增加了两项(k1)2k2(n，kN)答案：(k1)2k28(2014年怀化二模)已知数组，.记该数组为：(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，则a200_.解析：通过
4、观察数组可以发现，第n组数中共有n个数，每个数的分子与分母的和等于n1，又因为1219190，b2，b3.猜想bn(nN*)下列利用数学归纳法证明(1)当n1时，因b12，所以b1.(2)假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，即0.当nk1时，bk10.bk1，也就是说，当nk1时，结论也成立根据(1)、(2)，知bn(nN*)B组高考题型专练1(2014年高考江苏卷)已知函数f0(x)(x0)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*.(1)求2f1f2的值；(2)证明：对任意的nN*，等式都成立解析：(1)由已知，得f1(x)f0(x)，于是f2(x)f1(x)，所以f1，f2.故2f1
5、f21.(2)证明：由已知，得xf0(x)sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)xf0(x)cos x，即f0(x)xf1(x)cos xsin，类似可得2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，3f2(x)xf3(x)cos xsin，4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2)下面用数学归纳法证明等式nfn1(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立当n1时，由上可知等式成立假设当nk时等式成立，即kfk1(x)xfk(x)sin.因为kfk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x)，cossin，所以(k1)fk(x)xf
6、k1(x)sin.因此当nk1时，等式也成立综合，可知等式nfn1(x)xfn(x)sin对所有的nN*都成立令x，可得nfn1fnsin(nN*)所以(nN*)2(2014年高考陕西卷)设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN，求g(x)的表达式；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设nN，比较g(1)g(2)g(n)与nf(n)的大小，并加以证明解析：由题设得，g(x)(x0)(1)由已知得，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可得gn(x).下面用
7、数学归纳法证明当n1时，g1(x)，结论成立假设当nk时结论成立，即gk(x).那么，当nk1时，gk1(x)g(gk(x)，即结论成立由可知，结论对nN成立(2)已知f(x)ag(x)恒成立，即ln(1x)恒成立设(x)ln(1x)(x0)，即(x)，即a1时，(x)0(仅当x0，a1时等号成立)，(x)在0，)上单调递增，又(0)0，(x)0在0，)上恒成立，a1时，ln(1x)恒成立(仅当 x0时等号成立)当a1时，对x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x)nln(n1)证明如下：证法一：上述不等式等价于，x0.令x，nN，则ln.下面用数学归纳法证明当n1时，ln 2，结论成立假设当nk时结论成立，即ln(k1)那么，当nk1时，ln(k1)ln(k1)lnln(k2)，即结论成立由可知，结论对nN，成立证法二：上述不等式等价于，x0.令x，nN，则ln.故有ln 2ln 1，ln 3ln 2，ln(n1)ln n，上述各式相加可得ln(n1).结论得证
