1、上海市上海师范大学附属中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一.填空题1.从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，从甲地到丁地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地共有_种不同的走法.【答案】14【解析】【分析】根据题意，分由甲地经乙地到丙地，由甲地经丁地到丙地两种情况，分别求解，即可得出结果.【详解】由题意，如果由甲地经乙地到丙地，则有种不同的走法；如果由甲地经丁地到丙地，则有种不同的走法；因此，从甲地到丙地共有14种不同的走法.故答案为：14.【点睛】本题主要考查两种计算原理的简单应用，属于基础题型.2.3600有_个正约数.【答案】45【解析
2、】【分析】转化，则中有几个因数2有5个选择，有几个因数3有3个选择，有几个因数5有3个选择，由分步计数原理即得解【详解】由题意，假设为3600的一个正约数，则中有几个因数2有5个选择，有几个因数3有3个选择，有几个因数5有3个选择，由分步计数原理，共有种不同情况共答案为：45【点睛】本题考查了分步计数原理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题3.有一组统计数据共10个，它们是2、4、4、5、5、6、7、8、9、，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为_.【答案】5.6【解析】【分析】根据这组数据的平均数是6，列出求平均数的公式，解方程做出这组数据中的，利用求方差的
3、公式求出这组数据的方差【详解】由2、4、4、5、5、6、7、8、9、的平均数为6则，得所以这组数据的方差为：故答案为：5.6【点睛】本题考查一组数据的方差，考查一组数据的平均数，属于基础题.4.在正方体中，与所成的角等于_.【答案】【解析】【分析】先连结，根据正方体的结构特征，得到，推出等于与所成的角，进而可求出结果.【详解】连结，则在正方体中，易得，因此等于与所成的角，因为，均为正方体面对角线，所以，即三角形为等边三角形，所以，即与所成的角等于.故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，熟记正方体的结构特征，以及异面直线的几何求法即可，属于常考题型.5.用0到9这10个数字，可以组成_
4、个没有重复数字的三位数【答案】648【解析】在0到9这10个数字中，任取3个数字，按从左到右的顺序排列，有 =720种排法，其中不能组成三位数的即第一个数字为0的有=72种排法；故可以组成没有重复数字的三位数一共有720-72=648个.答案为648.6.在正方体中，二面角的大小是_.【答案】【解析】【分析】在正方体中，则是二面角的平面角，即可得出答案.【详解】在正方体中，平面.所以所以是二面角的平面角.在直角中，所以故答案为：【点睛】本题考查求二面角的大小，求二面角的常见方法有定义法和向量法，属于基础题7.直线的斜率为_【答案】【解析】试题分析：将直线化为普通方程为，斜率为.考点：参数方程与
5、普通方程互化；直线方程8.从5个男生，4个女生中任意选两个，则至少有一个女生的概率是_.【答案】【解析】【分析】求出所有的基本事件的个数，求出对应事件包含的基本事件的个数，再求出事件“至少有一个女生”的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可求出事件的概率.【详解】从5个男生，4个女生中任意选两人所有取法：，取两人中不含女生的取法有，至少有一个女生的取法有，至少有一个女生的概率是.故答案为：【点睛】本题考查了组合数、古典概型的概率计算公式，属于基础题.9.如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，则斜线和平面所成角是_.【答案】【解析】【分析】在平面内作，垂足为点，连接
6、，设，计算出、，可求得的值，由此可求得斜线和平面所成的角的大小.【详解】如下图所示，在平面内作，垂足为点，连接， 设，在中，则，又，平面，平面，所以，直线与平面所成的角为，在中，因此，直线与平面所成的角为.故答案为：.【点睛】本题考查直线与平面所成角的计算，考查计算能力，属于中等题.10.若将五本不同的书全部分给三个同学，每人至少一本，则有_种不同的分法.【答案】150【解析】【分析】先将五本书分成三堆，有和种不同的分法，再把三堆分给三个同学即得解【详解】由题意，先将五本书分成三堆，有和种不同的分法故有种分堆方式再分给三个同学，有种不同方法故答案为：150【点睛】本题考查了排列组合综合应用，考
7、查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题11.已知，则_.【答案】【解析】【分析】由题意有，则，两式相加，再令代入计算，即可得出答案.【详解】由即则将两式相加得在上述式子中令得即故答案为：【点睛】本题主要考查了赋值法求二项展开式的系数和，属于中档题.12.已知从个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球（，），共有种取法，在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，另一类是取出1个黑球和个白球，共有种取法，即有等式成立，试根据上述思想，化简下列式子：_（，）.【答案】【解析】【分析】根据题意，从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球（，（，），共有种取法；这种取法中，可
8、以根据黑球被取到的个数分为类：分别计算对应的取法，即可得出结果.【详解】由题意，从装有个白球，个黑球的袋子里，取出个球（，（，），共有种取法；在这种取法中，可以根据黑球被取到的个数分为类：取个黑球，有种取法；取个黑球，有种取法；取个黑球有，种取法；，取个黑球有，种取法；则.故答案为：.【点睛】本题主要考查合情推理，以及组合的简单应用，属于基础题型.二.选择题13.若，则m的值为 ( )A. 5B. 3C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】根据题意，由，结合排列数公式可得m（m1）（m2）（m3）（m4）=2m（m1）（m2），化简解可得答案【详解】根据题意，若，则有m（m1）（m2）（m3
9、）（m4）=2m（m1）（m2），即（m3）（m4）=2，解可得：m=5故答案A【点睛】(1)本题主要考查排列数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 排列数公式 ：= (，且)(叫做的阶乘).14.“直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】由“直线垂直于平面”可得到“直线垂直于平面内无数条直线”，反之不成立（如与无数条平行直线垂直时不成立），所以“直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的必要而不充分条件，故选B.考点：充分条件与必要
10、条件15.关于直角在定平面内的射影有如下判断：可能是的0角；可能是锐角；可能是直角；可能是钝角；可能是180的角；其中正确判断的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据直角所在的平面与平面之间的关系不同，角在上的射影不同，可以分成三种情况来讨论：当角所在的平面与平面垂直时；当角所在的平面与平面平行时；当角所在的平面与平面不平行也不垂直时，这三种情况可以得到不同的射影.【详解】直角在定平面内的射影有下列几种情况：当角所在的平面与平面垂直时，直角的射影可能是0的角，可能是180的角，故正确；当角所在的平面与平面平行时，直角的射影可能是直角，故正确；当角所在的平面与平面不平
11、行也不垂直时，平面转到一定的角度，直角的射影可能是锐角或钝角，故正确；故选：D【点睛】本题主要考查了平行射影，解决问题的关键是根据平行射影的原理结合所给选项分析，属于基础题.16.一辆单向行驶的汽车，满载为25人，全程共设14个车站，途中每个车站均可上下乘客，由不同的起点到达不同的终点的乘客应购买不同的车票，在一次单程行驶中，车上最多卖出不同的车票的个数是（ ）A. 63B. 65C. 67D. 69【答案】C【解析】【分析】根据汽车要卖最多种票，车上应准备每个车站到达后它后面每一个车站的车票，然后再以前面个车站中的每一个作为起点，后面个车站作为终点，求出车票数，再根据满载为25人，即可得出答
12、案.【详解】上应准备每个车站到达后它后面每一个车站的车票，所以一共应准备（种），但不可能在一次单程行驶中都卖得出去，以前面个车站中的每一个作为起点，后面个车站作为终点，应当有（种），但持有这种票的乘客都要通过号车站与号车站之间，但由于汽车满员为25人，所以这种车票至少会有（种）卖不出去，所以车上最多卖出不同的车票的个数是（种）.故选：C【点睛】本题考查了分步乘法计数原理、分类加法计数原理，考查了考生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.三.解答题17.三个女生和五个男生排成一排.（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法；（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法.【答案】（1）432
13、0；（2）14400【解析】【分析】（1）利用捆绑法，先将女生捆绑，再和男生一起排列，计算即得解；（2）利用插空法，先排男生，再将女生插入男生空隙，即得解.【详解】（1）由题意，女生必须全排在一起，利用捆绑法有种不同的排法；（2）女生必须全分开，利用插空法有种不同的排法【点睛】本题考查了排列组合的实际应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题18.在长方体中，为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求异面直线和所成的角的大小.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）由题中长度关系，可以证明,即，由平面，可以证明，即得证；（2）取为中点，有，异面直线和所成的角的大小即
14、为，利用余弦定理可得解【详解】（1）由题意，为棱的中点.故 即： 又长方体，故平面 平面， 又 平面（2）取为中点，连接，故 且故四边形为平行四边形故，即异面直线和所成的角的大小即为连接， 因此异面直线和所成的角的大小为【点睛】本题考查了线面垂直的证明和异面直线的夹角的求解，考查了学生综合分析，逻辑推理，数学运算能力，属于基础题19.某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的.（1）若上午某一时段、三位教师需要使用电脑的概率分别是、，求这一时段、三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率；（2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是，求这一时段办公室电脑数无法满足
15、需求的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由题意可知、三位教师中恰有2位教师使用电脑包括三种情况，这三种情况是互斥的，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到概率；（2）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，每一种情况满足独立重复实验，代入公式得到结果.【详解】设甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为，因为各位教师是否使用电脑是相互独立， 甲、乙、丙三位教师中恰有2位使用电脑的概率是 ；（2）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，记有4位教师同时使用电脑的事件为，有5位教师同时需要使用电脑的实际为，所求的概率是，【点睛】本题考查
16、相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件，独立重复实验，重点考查读题能力，运用概率知识解决实际问题的能力，关键是判断概率类型.20.已知在的展开式中，第6项为常数项(1)求；(2)求含的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项【答案】（1）（2）（3），.【解析】【分析】（1）化简二项式展开式的通项公式，根据第项为常数项，求出的值.（2）根据（1）中二项式展开式的通项公式，求得含项的系数.（3）根据（1）中二项式展开式的通项公式，求得展开式中所有的有理项.【详解】解：(1).第6项为常数项，时有，.(2)令，得，所求的系数为.(3)根据通项公式，由题意得：，令，则，即.，应偶数，可取2，0，-2
17、，第3项、第6项与第9项为有理项它们分别为，.所以有理项为，.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式展开式指定项的系数的求法，属于基础题.21.设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.（1）求与平面所成角的大小；（2）在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值.【答案】（1）；（2）存在，；（3）、三点共线，【解析】【分析】（1）由题意可得:，所以平面，可得与平面所成角既为，再利用解三角形的有关知识即可求出答案.（2）假设边上存在一点G满足题设条件，作，则平面，可得，进而得
18、到，然后根据题意可得此点G符合题意.（3）作出点C关于面PAB的对称点，连接交面PAB的点H，点H就是所求的点，再运用平面几何知识可求得HB的长.【详解】(1)因为平面，平面，所以，又因为底面是矩形，所以，所以由线面垂直的判定定理可得:平面，所以与平面所成角既为，又由题意可得:，所以.所以与平面所成角的大小为.(2)假设边上存在一点G满足题设条件，作，则平面，所以.，故存在点G，当时，使点D到平面的距离为.（3）延长CB到，使，因为平面，平面，所以，又因为底面是矩形，所以，所以由线面垂直的判定定理可得:平面，则是点C关于面的对称点，连接，交面于H，则点H是使的值最小时，在面上的一点.作于M，则点M是AD的中点，连接交AB于N，连接HN，则，所以，又，所以，而，所以.所以【点睛】本题考查线面垂直的判定定理与空间中的线线角与线面角的有关知识，以及空间中的两线段和的最小值的求法，而空间角解决的关键是找出线面角的平面角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键，也可以根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系利用向量的有关知识解决空间角等问题；求解两线段和的最小值时，可利用平面几何中两点之间线段最短的知识，属于中档题.
