1、真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华第2讲 数列的通项与求和问题真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华高考定位 从全国卷来看，由于三角和数列问题在解答题中轮换命题，若考查数列解答题，则以数列的通项与求和为核心地位来考查，题目难度不大.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真 题 感 悟(2015山东卷)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列1anan1 的前 n 项和为n2n1.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn(an1)2an，求数列bn的前 n 项和 Tn.解(1)设数列an的公差为 d，令 n1，得 1a1a213，所以 a1a23.真题感悟考点
2、整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华令 n2，得 1a1a2 1a2a325，所以 a2a315.解得 a11，d2，所以 an2n1.(2)由(1)知 bn2n22n1n4n，所以 Tn141242n4n，所以 4Tn142243n4n1，两式相减，得3Tn41424nn4n14（14n）14n4n113n34n143.所以 Tn3n194n1494（3n1）4n19.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华考 点 整 合 1.求通项公式的常见类型(1)观察法：利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察、归纳猜想出 an 的表达式.(2)利用前 n 项和与通项的关系 anS1 （n
3、1），SnSn1（n2）.(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(4)累加法：在已知数列an中，满足 an1anf(n)，把原递推公式转化为 an1anf(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解.(5)叠乘法：在已知数列an中，满足 an1f(n)an，把原递推公式转化为an1an f(n)，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(6)构造等比数列法：在已知数列an中，满足 an1panq(其中 p，q 均为常数，pq(p1)0)先用待定系数法把原递推公式转化为 an1tp(ant)，其中 t q1p，再利用换元法转化为等比数列求解.2.求和的常用
4、方法(1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解.(2)倒序相加法：适用于与首、末等距离的两项之和等于首、末两项之和，且和为常数的数列.等差数列前 n 项和公式的推导就使用了倒序相加法，利用倒序相加法求解数列前 n 项和时，要把握数列通项公式的基本特征，即通过倒序相加可以得到一个常数列，或者等差数列、等比数列，从而转化为常见数列的求和方法，这也是数学转化与化归思想的具体体现.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(3)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把 Sna1a2an 两边同乘以相应等比数列的公比 q，得到 qSna1qa2qan
5、q，两式错位相减即可求出 Sn.(4)裂相相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如canan1(其中an是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.(5)拆项分组法：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和.(6)并项求和法：与拆项分组相反，并项求和是把数列的两项(或多项)组合在一起，重新构成 一个数列再求和，一般适用于正负相间排列的数列求和，注意对数列项数奇偶性的讨论.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 11】(2015四川卷)设数列an(n1，2，3，)的前 n
6、项和Sn 满足 Sn2ana1，且 a1，a21，a3 成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列1an 的前 n 项和为 Tn，求 Tn.热点一 求数列的通项 微题型1 由Sn与an的关系式求an解(1)由已知Sn2ana1，有anSnSn12an2an1(n2)，即an2an1(n2)，从而a22a1，a32a24a1，真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华又因为a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)，所以a14a12(2a11)，解得a12，所以，数列an是首项为2，公比为2的等比数列，故an2n.(2)由(1)得 1an 12n，所以 Tn12 122
7、 12n12112n1121 12n.探究提高 给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 12】(1)(2015南阳模拟)已知数列an中，a11，an1an(1nan1)，则数列an的通项公式为()A.ann2n22B.ann2n12C.an2n2n1D.an2n2n2(2)已知正项数列an满足 a11，(n2)a2n1(n1)a2nanan10，则 an_.微题型2 已知an与an1的递推关系求an 真题感悟
8、考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)原数列递推公式可化为 1an1 1ann，令 bn 1an，则 bn1bnn，因此 bn(bnbn1)(bn1bn2)(b3b2)(b2b1)b1(n1)(n2)211n2n22.从而 an2n2n2.(2)由(n2)a2n1(n1)a2nanan10，得(n2)an1an2an1an n1，所以an1an n1n2.又 a11，则 an anan1an1an2a2a1a1 nn1n1n 231 2n1.故数列an的通项公式 an 2n1.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华答案(1)D(2)2n1探究提高 此题考查了通过构造新数列
9、求数列的通项，其过程是通过换元构造新的数列，得到bn1bnn，然后利用累加法求得数列的通项.事实上，形如bn1bnf(n)，其中f(n)k或多项式(一般不高于三次)的递推公式，用累加法即可求得数列的通项公式.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 1】设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a11，2Snn an113n2n23，nN*.(1)求 a2 的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有 1a1 1a2 1an74.(1)解 2S1a213123，又 S1a11，所以 a24.(2)解 当 n2 时，2Snnan113n3n223n，2Sn1(n
10、1)an13(n1)3(n1)223(n1)，真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华两式相减得 2annan1(n1)an13(3n23n1)(2n1)23，整理得(n1)annan1n(n1)，即 an1n1ann 1，又a22 a11 1，故数列ann 是首项为a11 1，公差为 1 的等差数列，所以ann 1(n1)1n，所以 ann2.所以数列an的通项公式为 ann2，nN*.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(3)证明 1a1 1a2 1a3 1an114 132 142 1n2114 123 1341n（n1）1141213 1314 1n11n54121
11、n741n74，所以对一切正整数 n，有 1a1 1a2 1an1 时，记 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn.解(1)由题意有10a145d100，a1d2，即2a19d20，a1d2，解得a11，d2或a19，d29.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华故an2n1，bn2n1或an19（2n79），bn929n1.(2)由 d1，知 an2n1，bn2n1，故 cn2n12n1，于是Tn132 522 723 9242n12n1，12Tn12 322 523 724 9252n32n1 2n12n.可得12Tn212 122 12n22n12n32n32n，故 Tn
12、62n32n1.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华1.在使用关系式 anS1，n1，SnSn1，n2，nN*时，一定要注意分 n1，n2 两种情况考虑，求出结果后，再分析这两种情况能否整合在一起.2.裂项后相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差.(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列an乘以等比数列bn对应项(anbn)型数列求和.(2)步骤：求和时先乘以数列bn的公比；把两个和的形式错位相减；整理结果形式.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华4.裂项求和的常见技巧(1)1n（n1）1n 1n1.(2)1n（nk）1k1n 1nk.(3)1n21121n1 1n1.(4)14n211212n112n1.
