1、21.2椭圆的几何性质(二)学习目标1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识知识链接已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？答案直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的根的判别式来判断0直线和椭圆相交；0直线和椭圆相切；b0)的位置关系：点P在椭圆上1；点P在椭圆内1.2直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系判断方法：联立消y得到一个关于x的一元二次方程，再依据下表判断位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解b0)或1(ab0)，直线与椭
2、圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|，|AB|，或|AB|.其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到的关于x(或y)的一元二次方程求得要点一直线与椭圆的位置关系例1在椭圆1上求一点P，使它到直线l：3x2y160的距离最短，并求出最短距离解设与椭圆相切并与l平行的直线方程为yxm，代入1，并整理得4x23mxm270，9m216(m27)0m216m4，故两切线方程为yx4和yx4，由图可知yx4距l最近，故最短距离d，P点为切点，即P.规律方法本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关
3、系问题解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交0；(2)直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离b0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程解(1)由题设知解得椭圆的方程为1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d，由d1得|m|.|CD|22.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2mxm230，由根与系数的关系可得x1x2m，x
4、1x2m23.|AB|.由得1，解得m，且|0.这时直线的方程为y2(x4)，即x2y80.方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得0，整理得kAB，由于P(4,2)是AB的中点，x1x28，y1y24，于是kAB，于是直线AB的方程为y2(x4)，即x2y80.要点三椭圆中的最值(或范围)问题例3已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由
5、(1)知：5x22mxm210，x1x2，x1x2(m21)，所以|AB|.当m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.规律方法解析几何中的综合性问题很多而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值等解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件跟踪演练3如图，点A是椭圆C：1(ab0)的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BPx轴，9.(1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程；(2)若点
6、P的坐标为(0，t)，求t的取值范围解直线AB的斜率为1，BAP45，即BAP是等腰直角三角形，|.9，|cos45|2cos459，|3.(1)P(0,1)，|1，|2，即b2，且B(3,1)B在椭圆上，1，得a212，椭圆C的标准方程为1.(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，得点A的坐标为(0，t3)，t3b，即b3t.显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：1，解得a2.a2b20，(3t)20.1，即10，所求t的取值范围是0tb0)中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则AFB面积的最大值为()Ab2BabCacDbc答案D解析当直线AB为y轴时面积最大，|AB
7、|2b，AFB的高为c，此时SAFB2bcbc.2直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()A(1，) B(1,3)(3，)C(3，) D(0,3)(3，)答案B解析由(3m)x24mxm0，0，即16m24m(m3)0，m1或m0，m1且m3.3若椭圆1的离心率为，则k的值为()A.B3C.或3D3或答案C解析若焦点在x轴上，则12，k；若焦点在y轴上，则，k3，故选C.4椭圆1的左焦点为F1，点P在椭圆上如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是()ABCD答案A解析由条件可得F1(3,0)，PF1的中点在y轴上，P坐标(3，y0)，又P在1的椭圆上得y0，M的坐标(0，)，故选A.解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系求出x1x2，x1x2或y1y2，y1y2；(5)把待求量用x1x2，x1x2或y1y2，y1y2表示出，进而求解
