1、2.5 椭圆及其方程2.5.1 椭圆的标准方程课标解读课标要求素养要求1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义，标准方程.1.数学抽象、逻辑推理能借助实验引入椭圆的概念并推导出椭圆的方程.数学运算能根据具体的题目条件求解椭圆的标准方程并能够应用.自主学习必备知识见学用75页教材研习教材原句要点一椭圆的定义如果F1，F2，是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a|F1F2|，则平面内满足 |PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭
2、圆的 焦距 .要点二椭圆的标准方程1.焦点在x轴上的椭圆的标准方程： x2a2+y2b2=1(ab0)，其中b2=a2-c2 .此时椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0) .2. 焦点在y轴上的椭圆的标准方程： y2a2+x2b2=1(ab0)，其中b2=a2-c2 .此时椭圆的焦点为F1(0,-c)，F2(0,c) .自主思考1.已知F1(-4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2，两点的距离之和等于8和等于6的点的轨迹是椭圆吗？答案：提示因为2a=|F1F2|=8，所以动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆；因为2a=6b，ac，且a2=b2+c2 .（如图所示）互动探究关键能力见学
3、用76页探究点一椭圆的定义精讲精练例（1）如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.线段D.射线（2）若动点P(x,y)满足(x-3)2+y2+(x+3)2+y2=6，则动点P的轨迹是( )A.线段B.圆C.椭圆D.直线答案：（1）B（2）A解析：（1）连接EA（图略），CD垂直平分AB，|EB|=|EA|，设圆的半径为r，则|EO|+|EA|=|EO|+|EB|=r|OA，故点E的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，故选B.（2）动点P(x,y)满足(x-3)2+y2+(x+3)2+y2=6，设F1(-3,0)，F2(3
4、,0)，可得|PF1|+|PF2|=2a=6=2c，a=c，动点P的轨迹为线段.解题感悟椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|），则动点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a .迁移应用1.点P(-3,0)是圆C：x2+y2-6x-55=0内一定点，动圆M与已知圆内切且过P点，判断圆心M的轨迹.答案：方程x2+y2-6x-55=0化成标准形式为(x-3)2+y2=64，则C(3,0)，半径r=8 .因为动圆M与已知圆内切且过P点，所以|MC|+|MP|=r=8，根据椭圆的定义知，圆心M到两定点C，P的距离之和为定值8，且86=|CP
5、|，所以圆心M的轨迹是以C，P为焦点的椭圆.探究点二用待定系数法求椭圆的方程精讲精练例（1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-4,0)(4,0)，并且经过点(3,15)，求椭圆的标准方程；（2）若椭圆经过(2,0)和(0,1)两点，求椭圆的标准方程.答案：（1）椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0) .依题意得9a2+15b2=1,a2-b2=16,解得a2=36,b2=20.所求椭圆的标准方程为x236+y220=1 .（2）设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn) .椭圆过(2,0)和(1,0)两点，4m=1,n=1,m=14,n=1.所求椭圆的标准
6、方程为x24+y2=1 .解题感悟求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.（1）当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件.（2）当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m0,n0,mn)的形式，有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.迁移应用1.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0)，点(0,-3)在椭圆上，则椭圆的方程为( )A.x245+
7、y236=1 B.x236+y227=1C.x227+y218=1 D.x218+y29=1答案：D解析：由题意可得a2-b2=9,0+9b2=1,解得a2=18,b2=9,故椭圆的方程为x218+y29=1 .2.与椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )A.x24+y23=1 B.y26+x2=1C.x26+y2=1 D.y28+x25=1答案：B解析：9x2+4y2=36化为标准方程为x24+y29=1，可知椭圆x24+y29=1的焦点在y轴上，焦点坐标为(0,5)，故可设所求椭圆的方程为y2a2+x2b2=1(ab0)，又2b=2，即b=1，c=5，所
8、以a2=b2+c2=6，故所求椭圆的标准方程为y26+x2=1 .探究点三椭圆的定义及方程的应用精讲精练例（1）（多选）（2021山东聊城高二期中）已知P是椭圆x29+y24=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cosF1PF2=13，则( )A.PF1F2的周长为12B.SPF1F2=22C.点P到x轴的距离为2105D.PF1PF2=2（2）已知F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，过F2的直线与椭圆交于P、Q两点，PQPF1，且|QF1|=2|PF1|，则PF1F2与QF1F2的面积之比为( )A.2-3 B.2-1C.2+1 D.2+3答案：（1）
9、B ; C ; D（2）D解析：（1）由椭圆方程知a=3，b=2，所以c=5，|PF1|+|PF2|=6，所以PF1F2的周长为2a+2c=6+25，故A选项错误；在PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|-2|PF1|PF2|cosF1PF2，所以20=36-2|PF1|PF2|-23|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|=6，故SPF1F2=12|PF1|PF2|sinF1PF2=126223=22，故B选项正确；设点P到x轴的距离为d，则SPF1F2=12|F1F2
10、|d=1225d=22，所以d=2105，故C选项正确；PF1PF2=|PF1|PF2|cosF1PF2=613=2，故D选项正确.（2）设|PF1|=t，则|QF1|=2|PF1|=2t，PQPF1，PQF1=30，由椭圆的定义可得|PF2|=2a-t，|QF2|=2a-2t，则|PQ|=4a-3t，|PQ|2+|PF1|2=|QF1|2，(4a-3t)2+t2=4t2，即4a-3t=3t，解得t=43+3a，则PF1F2与QF1F2的面积之比SPF1F2SQF1F2=|PF2|QF2|=2a-t2a-2t=2a-43+3a2a-83+3a=2(3+1)2(3-1)=2+3 .解题感悟（1）
11、在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于2a .（2）在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a及三角形中的有关定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等）来求解.迁移应用1.设M为椭圆x225+y29=1上的一个点，F1，F2为椭圆的焦点，F1MF2=60，则MF1F2的面积为( )A.3B.3C.2D.33答案：D解析：因为椭圆的方程为x225+y29=1，所以a=5，b=3，c=4，设|MF1|=m，|MF2|=n，则m
12、+n=10，由余弦定理得4c2=m2+n2-2mncosF1MF2，又F1MF2=60，所以64=m2+n2-mn，又(m+n)2=m2+n2+2mn，所以mn=12，即|MF1|MF2|=12，所以SMF1F2=12|MF1|MF2|sin60=33 .评价检测素养提升见学用77页课堂检测1.（2020山东潍坊高二月考）若点M到两定点F1(0,-1)，F2(0,1)的距离之和为2，则点M的轨迹是( )A.椭圆B.直线C.线段D.不存在答案：C2.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是( )A.x225+y216=1 B.y225+x216=1C.x2
13、25+y24=1 D.x225+y216=1或y225+x216=1答案：D3.已知椭圆x225+y29=1，F1、F2分别是其左、右焦点，过点F1作一条斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为( )A.5B.10C.20D.40答案：C素养演练逻辑推理利用椭圆的定义求解最值问题1.（2020山东临沂高二期中）点P在椭圆C1:x24+y23=1上，C1的右焦点为F，点Q在圆C2:x2+y2+6x-8y+21=0上，则|PQ|-|PF|的最小值为 .解析：审：已知椭圆的方程，求椭圆上的动点P到圆上的动点Q与定点F距离差的最小值.联：记椭圆C1:x24+y23=1的左焦点为E，则|P
14、E|+|PF|=2a，由圆的方程，得到圆C2的圆心和半径，画出图形，结合图形，得到|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4|PC2|+|PE|-6|EC2|-6，即可求出结果.答案：解：记椭圆C1:x24+y23=1的左焦点为E(-1,0)，则|PE|+|PF|=2a=4，所以|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4，x2+y2+6x-8y+21=0可化为(x+3)2+(y-4)2=4，即圆C2的圆心为(-3,4)，半径r=2，作出图形如下：由圆的性质可得，|PQ|PC2|-r=|PC2|-2，所以|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4|PC2|+|PE|-6|EC2|-6=(-3+1)2+42-6=25-6（当且仅当C2，Q，P，E四点共线时，等号成立），所以|PQ|-|PF|的最小值为25-6 .解析：思：求一动点到两点的距离差的最小值时，一般根据动点的轨迹方程，结合定义，将差转化为距离和的问题，结合图形，即可求出结果.
