1、真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华第2讲 不等式及线性规划 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华高考定位 不等式的性质、求解及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划求最值；(2)不等式相关的知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档；在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围或在解决实际问题时经常利用不等式进行求解，但难度偏高.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真 题 感 悟 1.(2015福建卷)若直线xa
2、yb1(a0，b0)过点(1，1)，则ab 的最小值等于()A.2B.3C.4D.5解析 由题意1a1b1，ab(ab)1a1b 2baab4，当且仅当 ab2 时，取等号.故选 C.C真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华2.(2015陕西卷)设 f(x)ln x，0ab，若 pf(ab)，qfab2，r12(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()A.qrpB.qrpC.prqD.prq解析 0ab，ab2 ab，又f(x)ln x 在(0，)上为增函数，故 fab2f(ab)，即 qp.又 r12(f(a)f(b)12(ln aln b)12ln a12ln bln(ab)
3、12f(ab)p.故 prq.选 C.C真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.(2015全国卷)若 x，y 满足约束条件xy20，x2y10，2xy20，则 z3xy 的最大值为_.解析 作出不等式组所表示的可行域(如图中阴影部分所示)，作直线l0：3xy0，平移直线l0，当直线3xyz过点(1，1)时，zmax314.答案 4真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华4.(2015浙江卷)已知函数 f(x)x2，x1，x6x6，x1，则 f(f(2)_，f(x)的最小值是_.解析 因为 f(x)x2，x1，x6x6，x1，f(2)(2)24，f(f(2)f(4)12.当
4、x1 时，f(x)minf(0)0.当 x1 时，f(x)x6x62 66，当且仅当 x 6时“”成立.2 660，f(x)的最小值为 2 66.答案 12 2 66真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华考 点 整 合 1.解一元二次不等式需熟悉一元二次方程、二次函数和一元二次不等式三者之间的关系，其中二次函数的零点是联系这三个“二次”的枢纽.(1)若给出了一元二次不等式的解集，则可知二次项系数a的符号和方程ax2bxc0的两个根，再由根与系数的关系就可知a，b，c之间的关系.(2)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：对二次项系数与0的大小进行讨论；在转化为标准形
5、式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；当判别式大于0，但两根的大小不确定时，对两根的大小进行讨论.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华2.基本不等式的常用变形(1)ab2 ab(a0，b0)，当且仅当 ab 时，等号成立；(2)a2b22ab，abab22(a，bR)，当且仅当 ab 时，等号成立；(3)baab2(a，b 同号且均不为零)，当且仅当 ab 时，等号成立；(4)a1a2(a0)，当且仅当 a1 时，等号成立；a1a2(a0)，当且仅当 a1 时，等号成立.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.利用基本不等式求最值已知 x，y(0，)，则(1
6、)若 xyS(和为定值)，则当 xy 时，积 xy 取得最大值S24 xyxy22S24；(2)若 xyP(积为定值)，则当 xy 时，和 xy 取得最小值 2 P(xy2 xy2 P).真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华4.平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集.线性目标函数 zaxby 中的 z 不是直线 axbyz 在 y 轴上的截距，把目标函数化为 yabxzb，可知zb是直线 axbyz 在y 轴上的截距，要根据 b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.真题感悟考点整合热
7、点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 11】(2015湖南卷)若实数 a，b 满足1a2b ab，则 ab的最小值为()A.2B.2C.2 2D.4 解析 由1a2b ab，知 a0，b0，由于1a2b22ab，当且仅当 b2a 时取等号.ab2 2ab，ab2 2.故选 C.C热点一 利用基本不等式求最值 微题型1 基本不等式的简单应用真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 12】(1)(2015天津卷)已知 a0，b0，ab8，则当 a 的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值.微题型2 带有约束条件的基本不等式问题(2)(2015青岛一模)当a0且a1时，函数f(x)
8、loga(x1)1的图象恒过点A，若点A在直线mxyn0上，则4m2n的最小值为_.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)log2alog2(2b)log2a(1log2b)log2a1log2b22log2ab122log281224，当且仅当 log2a1log2b，即 a2b 时，等号成立，此时 a4，b2.(2)函数 f(x)的图象恒过点 A(2，1)，2m1n0，即 2mn1，4m2n2 4m2n2 22mn2 2，当且仅当 2mn12时等号成立.答案(1)4(2)2 2真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意
9、“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 1】(1)(2015广州模拟)若正实数 x，y 满足 xy1xy，则 x2y 的最小值是()A.3 B.5C.7D.8(2)(2015山东卷)定义运算“”：xyx2y2xy(x，yR，xy0)，当 x0，y0 时，xy(2y)x 的最小值为_.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)由 xy1xy，得 yx1x1，又 y0，x0，x1.x2yx2x1x1x
10、21 2x1x2 4x13(x1)4x1347，当且仅当 x3 时取“”.(2)由题意，得 xy(2y)xx2y2xy（2y）2x22yxx22y22xy2 x22y22xy 2，当且仅当 x 2y 时取等号.答案(1)C(2)2 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华热点二 含参不等式恒成立问题 微题型1 运用分离变量解决恒成立问题【例 21】关于 x 的不等式 x4x1a22a0 对 x(0，)恒成立，则实数 a 的取值范围为_.解析 设 f(x)x4x，因为 x0，所以 f(x)x4x2x4x4.又关于x的不等式x4x1a22a0对x(0，)恒成立，所以 a22a14，解得1a
11、3，所以实数 a 的取值范围为(1，3).答案(1，3)真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 一是转化关，即通过分离参数法，先转化为f(a)g(x)(或 f(a)g(x)对 x D 恒 成 立，再 转 化 为f(a)g(x)max(或f(a)g(x)min)；二是求最值关，即求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华微题型2 构造函数(主辅元转换)解决恒成立问题【例 22】已知 f(t)log2t，t 2，8，对于 f(t)值域内的所有实数m，不等式 x2mx42m4x 恒成立，求 x 的取值范围.解 易知 f(t)1
12、2，3，由题意，令 g(m)(x2)mx24x4(x2)m(x2)20 对m12，3 恒成立.所以只需g12 0，g（3）0即可，即12（x2）（x2）20，3（x2）（x2）20 x2 或 x1.故 x 的取值范围是(，1)(2，).真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 主、辅元互换可以实现对问题的有效转化，由繁到简，应用这种方法的过程中关键还是把握恒成立的本质，巧用转化思想，灵活处理，从而顺利解决问题.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 2】(1)(2015潍坊模拟)已知 a0，b0，若不等式m3ab3a1b0 恒成立，则 m 的最大值为()A.4B
13、.16C.9D.3(2)若不等式x2ax10对于一切a2，2恒成立，则x的取值范围是_.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)因为 a0，b0，所以由m3ab3a1b0 恒成立得m3a1b(3ab)103ba 3ab 恒成立.因为3ba 3ab 23ba 3ab 6，当且仅当 ab 时等号成立，所以 103ba 3ab 16，所以 m16，即 m 的最大值为 16，故选 B.(2)因为 a2，2，可把原式看作关于 a 的函数，即 g(a)xax210，由题意可知g（2）x22x10，g（2）x22x10，解之得 xR.答案(1)B(2)R 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归
14、纳总结思维升华热点三 简单的线性规划问题 微题型1 已知约束条件，求目标函数最值【例 31】(2015全国卷)若 x，y 满足约束条件xy50，2xy10，x2y10，则z2xy 的最大值为_.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析 画出约束条件xy50，2xy10，x2y10表示的可行域为如图所示的阴影三角形 ABC.作直线 l0：2xy0，平移 l0 到过点 A 的直线 l 时，可使直线 z2xy 在 y 轴上的截距最大，即 z 最大，解xy50，x2y10 得x3，y2即 A(3，2)，故 z 最大2328.答案 8 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高
15、 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华微题型2 求参数问题【例 32】(2015福建卷)变量 x，y 满足约束条件xy0，x2y20，mxy0.若 z2xy 的最大值为 2，则实数 m 等于()A.2B.1C.1D.2解析 由图形知 A23，23，B22m1，2m2m1，O(0，0).只有在 B 点处取最大值 2，242m1 2m2m1.m1.C
16、真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【例 33】已知动点 P(x，y)在过点32，2 且与圆 M：(x1)2(y2)25 相切的两条直线和 xy10 所围成的区域内，则 z|x2y3|的最小值为()A.55B.1C.5
17、D.5微题型3 非线性规划问题真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析 由题意知，圆 M：(x1)2(y2)25 的圆心坐标为(1，2).过点32，2 的直线方程可设为 ykx32 2，即 kxy32k20.因为直线kxy32k20和圆M相切，所以k1232k21k2 5，解得 k2，所以两条切线方程分别为l1：2xy10，l2：2xy50.由直线l1，l2和xy10所围成的区域如图所示.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华z|x2y3|5|x2y3|5的几何意义为可行域内的点到直线x2y30 的距离的 5倍.由图知，可行域内的点 B 到直线 x2y30 的距离最小，则
18、 zmin|0213|1，故选 B.答案 B 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 线性规划求最值问题要明确目标函数的几何意义：(1)目标函数为一次函数，几何意义可等价为横、纵截距，平移直线即可求出最值；(2)目标函数为二次函数，可等价距离的平方，但要注意求距离最值时，若利用垂线段，需考虑垂足是否在可行域内，所以此时更要注意数形结合的重要性；(3)目标函数为一次函数绝对值，可构造点到直线的距离，但莫忘等价变形(即莫忘除以系数)；(4)目标函数为一次分式，可等价直线的斜率.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 3】(1)x，y 满足约束条件xy20，x2y2
19、0，2xy20.若 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为()A.12或1B.2 或12C.2 或 1D.2 或1(2)(2015重庆卷)若不等式组xy20，x2y20，xy2m0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则 m 的值为()A.3B.1C.43D.3真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)如图(1)，由yaxz知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2；当a0时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a1.图(1)图(2)真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)不等式组表示的区域
20、如图(2)，则图中 A 点纵坐标 yA1m，B 点纵坐标 yB2m23，C 点横坐标 xC2m，SSACDSBCD12(22m)(1m)12(22m)2m23（m1）2343，m12 或2(舍)，m1.答案(1)D(2)B 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华1.应用不等式的性质时应注意的两点(1)两个不等式相加的前提是两个不等式同向；两个不等式相乘的前提是两个不等式同向，且不等式两边均大于0；不等式原则上不能相减或相除.(2)在应用传递性时，要正确处理带等号的情况，如由ab，bc或ab，bc均可得出ac，即等号是传递不过去的.2.多次使用基本不等式的注意事项 当多次使用基本不等式
21、时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.不等式实际应用问题中的易错点：(1)忽视变量的取值要求，生搬硬套基本不等式，特别是变量取值为正整数(如人数、楼层数作为变量)时，不检验等号成立的条件；(2)忽视变量的单位换算导致代数式求解出错；(3)漏掉实际问题中的一些定量导致最值求错.4.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.
