1、东北三省东北师大附中、哈师大附中、辽宁省实验中学2021届高三数学第二次联考试题 文（含解析）一、选择题（每小题5分）.1定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB，设A1，2，B1，2，3，则集合A*B的所有元素之和为（）A16B18C14D82设复数z（其中i为虚数单位），则z（）A1B3C5D63命题p：xR，x3+3x0，则p是（）AxR，x3+3x0BxR，x3+3x0CxR，x3+3x0DxR，x3+3x04已知，则（）AabcBcbaCbcaDcab5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD86等差数列an的公差为d，前n项的和为Sn，当首项a1和d变化时，a2+
2、a8+a17是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）AS7BS8CS13DS177一枚骰子连续掷两次分别得到的点数为m，n，则mn的概率为（）ABCD8已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）的图象如图，若x1，x2（1，4），且f（x1）+f（x2）0（x1x2），则（）A1B0CD9A，B是椭圆C长轴的两个端点，M是椭圆C上一点，tanMAB1，tanMBA，则C的离心率为（）ABCD10已知三棱雉ABCD的各条棱都相等，M为BC的中点则AM与BD所成的角的余弦值为（）ABCD11割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在
3、几何上的体现如图，揭示了刘微推导三角形积公式的方法，在三角形ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（）ABCD12已知函数f（x）ex3，g（x）+ln，若f（m）g（n）成立，则mn的最大值为（）A1ln2Bln2C2ln2Dln21二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上。13sin20cos10cos160sin10 14已知向量（x1，2），（y，4），若，则9x+3y的最小值为 15三棱锥ABCD中，ABCD，ADACBDBC，则三棱锥ABCD外接球的体积为 16在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程C1：1；C2：x4+y41
4、，老师问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答：甲：曲线C1关于yx对称；乙：曲线C2关于原点对称；丙：曲线C1与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1；丁：曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2四位同学回答正确的有 （选填“甲、乙、丙、丁”）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分.17Sn为等差数列an的前n项和，a11，S39（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足bn，求b8+b9+b10018如图，半圆柱O1O中，平面ABB1A1过上、下底面的圆心O1，O，且ABAA12，点C为半圆弧的中点，N是CO的中点（）在线段B
5、B1上是否存在点M使MN平面CO1B1，若存在，给出证明；若不存在，说明理由；（）求三棱锥CO1B1N的体积19新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分100分随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如下：100位男性居民评分频数分布表分组频数50，60）560，70）1570，80）6480，90）790，1009合计100100位女性居民评分频数分布表分组频数50，60）360，70）1270，80）7280，90）890，1005合计100（）根据100位男性居民评分的频率分布表估计男性居民评分的均值
6、；（）若规定评分小于70分为不满意、评分大于等于70分为满意，请完成下列22列联表，并判断能否有99%的把握认为居民是否满意与性别有关满意不满意合计男性女性合计参考公式：K2，na+b+c+dp（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82820椭圆离心率为，过点（）求椭圆C的方程；（）过H（1，0）的直线交椭圆于A，B两点，A关于x轴对称点为E，求证：直线BE过定点21已知函数f（x）lnxax+1（aR）（）若f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（）求证：（x+1）ex（二）选考题：共10分请考生在第2
7、2、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分10分.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（为极角），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|x+2|x1|（）解不等式f（x）x；（）设f（x）的最大值为t，如果正实数m，n满足m+2nt，求的
8、最小值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB，设A1，2，B1，2，3，则集合A*B的所有元素之和为（）A16B18C14D8解：由xA1，2，yB1，2，3，可得：zxy1，2，3，4，6，集合A*B1，2，3，4，6，可得：所有元素之和1+2+3+4+616，故选：A2设复数z（其中i为虚数单位），则z（）A1B3C5D6解：复数z2+i，则z（2+i）（2i）5，故选：C3命题p：xR，x3+3x0，则p是（）AxR，x3+3x0BxR，x3+3x0CxR，x3+3x0Dx
9、R，x3+3x0解：命题p：“xR，x3+3x0，”是全称命题p为：xR，x3+3x0故选：B4已知，则（）AabcBcbaCbcaDcab解：0，log310，cab，故选：D5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD8解：由题意，几何体的直观图如图：是正方体去掉一个三棱锥的几何体，几何体的体积为：222故选：C6等差数列an的公差为d，前n项的和为Sn，当首项a1和d变化时，a2+a8+a17是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）AS7BS8CS13DS17解：当首项a1和d变化时，a2+a8+a17a1+a9+a17（a1+a17）是一个定值，S17是一个定值故选：D7
10、一枚骰子连续掷两次分别得到的点数为m，n，则mn的概率为（）ABCD解：一枚骰子连续掷两次分别得到的点数为m，n，基本事件总数N6636，mn包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共15个，则mn的概率为P故选：A8已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，0）的图象如图，若x1，x2（1，4），且f（x1）+f（x2）0（x1x2），则（）A1B0CD解：由图象可知A2，T2（41）6，所以，由五点作图法可知1+，所以，所以f（x）
11、2sin（x+），因为x1，x2（1，4），且f（x1）+f（x2）0，所以在区间（1，4）上，f（x）关于（，0）中心对称，所以x1+x25，所以f（）0故选：B9A，B是椭圆C长轴的两个端点，M是椭圆C上一点，tanMAB1，tanMBA，则C的离心率为（）ABCD解：设点M的坐标为（x，y），如图所示：因为tanMAB1，所以|MN|AN|y|，又因为tanMBA，所以，所以|BN|4|MN|4|y|，因为|AB|2a，所以|AN|+|BN|5|y|2a，则|y|x|ON|a|AN|设椭圆方程为，代入可得：，化简可得a24b2，即，所以椭圆的离心率为e，故选：B10已知三棱雉ABCD的各
12、条棱都相等，M为BC的中点则AM与BD所成的角的余弦值为（）ABCD解：取CD的中点N，连结MN，AN，如图所示，设正四面体ABCD的棱长为2，在正三角形ABC中，AMACsin60，同理可得AN，因为M，N分别为BC，CD的中点，所以MNBD且MN，所以AMN即为AM与BD所成的角，在AMN中，由余弦定理可得，所以AM与BD所成的角的余弦值为故选：D11割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现如图，揭示了刘微推导三角形积公式的方法，在三角形ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率（）ABCD解：根据题意可得长
13、方形的长为三角形的底，长方形的宽为三角形的高的一半，故该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的区域的概率为，故选：A12已知函数f（x）ex3，g（x）+ln，若f（m）g（n）成立，则mn的最大值为（）A1ln2Bln2C2ln2Dln21解：不妨设f（m）g（n）t，em3+lnt，（t0），m3lnt，即m3+lnt，n2，故mn3+lnt2（t0），令h（t）3+lnt2（t0），h（t）2（t0），h（t）20，故h（t）在（0，+）上是减函数，且h（）0，当t时，h（t）0，当0t时，h（t）0，即当t时，h（t）取得极大值同时也是最大值，此时h
14、（）3+ln21ln2，即mn的最大值为1ln2，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上。13sin20cos10cos160sin10解：sin20cos10cos160sin10sin20cos10+cos20sin10sin（20+10），故答案为：14已知向量（x1，2），（y，4），若，则9x+3y的最小值为6解：向量（x1，2），（y，4），由，得4（x1）2y0，所以2x+y2，所以9x+3y32x+3y2226，当且仅当2xy1，即x，y1时取“”，所以9x+3y的最小值为6故答案为：615三棱锥ABCD中，ABCD，ADACBDB
15、C，则三棱锥ABCD外接球的体积为解：三棱锥ABCD中，ABCD，ADACBDBC，如图，三棱锥扩展为长方体，设长方体的三度为x，y，z，由题意可得x2+y25，y2+z22，x2+z25，3式相加可得：y2+x2+z26，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，所以外接球的半径为：，所以外接球的体积为：R3故答案为：16在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程C1：1；C2：x4+y41，老师问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答：甲：曲线C1关于yx对称；乙：曲线C2关于原点对称；丙：曲线C1与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1；丁：曲线C2与坐标轴在第一象限围成的
16、图形面积S2四位同学回答正确的有甲、乙、丙（选填“甲、乙、丙、丁”）解：甲说法：对曲线1，交换x，y得，方程不变，所以C1关于yx对称，故甲说法正确，乙说法：若（x，y）在曲线C2上，即x4+y41，所以（x）4+（y）41，即点（x，y）在曲线C2上，所以曲线C2关于原点对称，故乙说法正确，丙说法：选择x+y1作参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为，对1，第一象限均有0x1，0y1，此时，等号不能同时取得，所以1x+y，所以1时，x+y1，且x+y1时，所以曲线C1与坐标轴在第一象限围成的图形面积S1，故丙说法正确，丁说法：选择x2+y21作为参考，其与坐标轴在第一象限围成的面积为，若x2
17、+y21，则（x2+y2）21，即x4+y4+2x2y21，所以x4+y41，即曲线C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2，故丁说法错误，故答案为：甲、乙、丙三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分.17Sn为等差数列an的前n项和，a11，S39（）求数列an的通项公式；（）设数列bn满足bn，求b8+b9+b100解：（）等差数列an中，a11，S33a29，解得a23，所以da2a12，所以数列an的通项公式为an1+2（n1）2n1；（）数列bn中，bn2n，所以数列bn是以首项为2，公比为2的等比数列，所以b8+b9+b10028+29+21
18、0021012818如图，半圆柱O1O中，平面ABB1A1过上、下底面的圆心O1，O，且ABAA12，点C为半圆弧的中点，N是CO的中点（）在线段BB1上是否存在点M使MN平面CO1B1，若存在，给出证明；若不存在，说明理由；（）求三棱锥CO1B1N的体积解：（）在线段BB1上存在点M使MN平面CO1B1，M是BB1的中点.证明如下：取CO1的中点P，连接NP，B1P，N是CO的中点，NPOO1MB1，M是BB1的中点，NPMB1，四边形MB1PN是平行四边形，则MNPB1，PB1平面CO1B1，MN平面CO1B1，MN平面CO1B1；（）19新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员
19、做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，设计了一份调查问卷，满分100分随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如下：100位男性居民评分频数分布表分组频数50，60）560，70）1570，80）6480，90）790，1009合计100100位女性居民评分频数分布表分组频数50，60）360，70）1270，80）7280，90）890，1005合计100（）根据100位男性居民评分的频率分布表估计男性居民评分的均值；（）若规定评分小于70分为不满意、评分大于等于70分为满意，请完成下列22列联表，并判断能否有99%的把握认为居民是否满意与性别有关满意不满意合计男性女性合计参
20、考公式：K2，na+b+c+dp（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（）根据100位男性居民评分的频率分布表，计算平均值为（555+6515+7564+857+959）75；（）根据题意，填写22列联表如下：满意不满意合计男性8020100女性8515100合计16535200计算K20.8666.635，所以没有99%的把握认为居民是否满意与性别有关20椭圆离心率为，过点（）求椭圆C的方程；（）过H（1，0）的直线交椭圆于A，B两点，A关于x轴对称点为E，求证：直线BE过定点解：（）由题意可
21、得，解得a24，b21，所以椭圆C的方程为；（）证明：设直线AB的方程为：xty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），则E（x1，y1），联立方程，消去x整理可得：（4+t2）y2+2ty30，所以y，y，k，所以直线BE的方程为：y，令y0，则x3+14，所以直线BE过定点（4，0）21已知函数f（x）lnxax+1（aR）（）若f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（）求证：（x+1）ex解：（）f（x）a，a0，f（x）0，yf（x）为增函数，f（1）a+10，f（x）0不恒成立，a0，0x，f（x）0，x，f（x）0，f（x）在（0，）递增，在（，+）递减，f（x）maxf（）ln
22、0，a1；（）证明：（x+1）ex，f（x）lnxax+1，（x+1）ex，即，设g（x），h（x），g（x），令g（x）0，解得：0xe，令g（x）0，解得：xe，故g（x）在（0，e）递增，在（e，+）递减，故g（x）maxg（e），而h（x）0，故h（x）在（0，+）递增，故h（x）h（0）1，故，（x+1）ex（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。本题满分10分.选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的参数方程为（为极角），以该
23、直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为（）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求|AB|的长解：（）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为：，所以直线的倾斜角为所以：，曲线C1的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：（x2）2+y24转换为极坐标方程为：4cos，曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标的方程为：，整理得：，线l交曲线C1于O，A两点，则：，解得：A（2，），直线和曲线C2于O，B两点则：，解得：B（4，），所以：|AB|12|42选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|x+2|x1|（）解不等式f（x）x；（）设f（x）的最大值为t，如果正实数m，n满足m+2nt，求的最小值解：（）当x2时，f（x）（x+2）+（x1）3x，3x2，当2x1时，f（x）（x+2）+（x1）2x+1x，2x1，当x1时，f（x）（x+2）（x1）3x，x3，不等式f（x）x的解集为3，13，+）（）由（）得，当x2时，f（x）3当2x1时，f（x）2x+1（3，3），当x1时，f（x）3，f（x）的最大值为3，即t3，m+2n3，+（+）（m+2n）（+4）（2+4），当且仅当，即 m2n时取等号，+的最小值为- 19 -
