1、1两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，bR)；(2)作商法 (aR，b0)2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbc可乘性acbc注意c的符号acbd同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同为正数可开方性ab0(nN，n2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab0.a0bb0,0c.0axb或axb0b0，m0，则(bm0)；0)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)abac2bc2.()(2)ab，cdacbd.()(4)若|b|.()(5)若a3b3且ab.()1若xy，ab，则在a
2、xby，axby，axby，xbya，这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是_答案解析令x2，y3，a3，b2，符合题设条件xy，ab.ax3(2)5，by2(3)5，axby.因此不恒成立又ax6，by6，axby.因此也不恒成立又1，1，.因此不恒成立由不等式的性质可推出恒成立2下列四个结论，正确的是_ab，cbd；ab0，cdbd；ab0；ab0.答案3若a，bR，若a|b|0 a3b30a2b20 ab0答案解析由a|b|0知，a|b|，当b0时，ab0成立，当b0时，ab0成立，ab0成立4下列各组代数式的关系正确的是_x25x62x25x9；(x3)21时，x3x2x1；x2y2
3、12(xy1)答案解析2x25x9(x25x6)x230，即x25x62x25x9.(x2)(x4)(x3)2x26x8(x26x9)10，即(x2)(x4)1时，x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)0，即x3x2x1.x2y212(xy1)(x22x1)(y22y1)1(x1)2(y1)210，即x2y212(xy1)5若0ab，且ab1，则将a，b，2ab，a2b2从小到大排列为_答案a2aba2b2b解析0ab且ab1，ab1且2a1，a2ba2a(1a)2a22a22.即a2ab1，即a2b2，a2b2b(1b)2b2b(2b1)(b1)，又2b10，b10，a2b2b0
4、，a2b2b，综上，a2aba2b2a(2)cb0，ba，cba.(2)方法一易知a，b，c都是正数，log8164b；log6251 0241，所以bc.即cbe时，函数f(x)单调递减因为e34f(4)f(5)，即cbn(2)a0.则有xR时，mn恒成立(2)()16()16()16()16，(0,1)，()160,16180，18161618.即ab.题型二不等式的性质例2已知a，b，c满足cba，且acac c(ba)0cb20答案解析由cba且ac0知c0.由bc得abac一定成立思维升华解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除利用不等式的性质
5、判断不等式是否成立时要特别注意前提条件若a0ba，cdbc；bd；a(dc)b(dc)中成立的个数是_答案3解析方法一a0b，cd0，ad0，ad0ba，ab0，cdd0，a(c)(b)(d)，acbd0，0，故正确cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故正确ab，dc0，a(dc)b(dc)，故正确方法二取特殊值题型三不等式性质的应用例3已知ab0，给出下列四个不等式：a2b2；2a2b1；a3b32a2b.其中一定成立的不等式为_答案解析方法一由ab0可得a2b2，成立；由ab0可得ab1，而函数f(x)2x在R上是增函数，f(a)f(b1)，即2a2b1，成立；ab0，()2()222
6、b2()0，成立；若a3，b2，则a3b335,2a2b36，a3b3b2，2a2b1，均成立，而a3b32a2b不成立思维升华(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等(1)若ab a2abbn(2)设ab1，c；acloga(bc)其中所有正确结论的序号是_答案(1)(2)解析(1)(特值法)取a2，b1，逐个检验，可知，均不正确；中，|b|(|a|1)|
7、a|(|b|1)|a|b|b|a|b|a|b|a|，ab0，|b|b1知，又c，知正确；构造函数yxc，cb1，acb1，cbc1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，知正确7不等式变形中扩大变量范围致误典例设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_易错分析解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a，b的范围，再求f(2)4a2b的范围，导致变量范围扩大解析方法一设f(2)mf(1)nf(1) (m、n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b，于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，5
8、3f(1)f(1)10，即5f(2)10.方法二由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.方法三由确定的平面区域如图阴影部分，当f(2)4a2b过点A(，)时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值432110，5f(2)10.答案5,10温馨提醒(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围 方法与技巧1用同向不等式求差的范围adxybc.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用
9、到2倒数关系在不等式中的作用.3比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一比差法的主要步骤：作差变形判断正负在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商4求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法失误与防范1abacbc或abacb或a，当ab0时不成立3abanbn对于正数a、b才成立4.1ab，对于正数a、b才成立5注意不等式性质中“”与“”的区别，如：ab，bcac，其中ac不能推出6比商法比较大小时，要注意两式的符号A组专项基础训练(时间：40分钟)1若xyz1，则，从大到小依次排列为_答案解析取特殊值法，由xyz1，可取x4，y3，z2，分别代入得2，2，2.故
10、.2设a2，A，B，则A，B的大小关系是_答案AB解析A22a12，B22a，显然A2B2，即AB.3若0，则下列结论正确的是_a2b2 abb2ab|ab|答案解析0，ba0.a2b2，abb2，ab0，|a|b|ab|.4设a，b是非零实数，若ab，则下列不等式成立的是_a2b2 ab2a2b 答案解析当a0时，a20，ab符号不确定，所以ab2与a2b的大小不能确定，故错因为0，所以，故正确中与的大小不能确定5设(0，)，0，那么2的取值范围是_答案(，)解析由题设得02，0，0，2N解析MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0
11、,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN0.MN.7设abc0，x，y，z，则x，y，z的大小关系是_(用“”连接)答案zyx解析方法一y2x22c(ab)0，yx.同理，zy，zyx.方法二令a3，b2，c1，则x，y，z，故zyx.8已知a，b，c，d均为实数，有下列命题若ab0，bcad0，则0；若ab0，0，则bcad0；若bcad0，0，则ab0.其中正确的命题是_答案解析ab0，bcad0，0，正确；ab0，又0，即0，bcad0，正确；bcad0，又0，即0，ab0，正确故都正确9设xy0，试比较(x2y2)(xy)与(x2y2)(xy)的大小解(x2y2)(xy)(x
12、2y2)(xy)(xy)(x2y2)(xy)22xy(xy)xy0，xy0，(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)10甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？解设路程为s，跑步速度为v1，步行速度为v2，t甲，sv1v2t乙，1.t甲t乙，当且仅当v1v2时“”成立由实际情况知v1v2，t甲t乙乙先到教室B组专项能力提升(时间：20分钟)11已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是_若ab，则ac2bc2；若，则ab；若a3b3且ab；若a2b2且ab0，则.答案解析当c0时，可知不正确；当cb3且ab
13、0且b成立，正确；当a0且ba1不成立，则实数a的取值范围是_答案(，0)(0，)解析不妨将命题否定，转化为：若对任意的x，有axa1恒成立，则a(x1)1.当x1时有a，则a0；当x1时有a，则a0；当x1时，则aR.因此对任意的x，a0，再对a的取值进行否定，可得实数a的取值范围为a0.13设x表示不超过x的最大整数，x，y满足方程组如果x不是整数，那么xy的取值范围是_答案(93,94)解析化为：解得x20，y73.x不是整数，20x21.93xy94.14已知0ab ()a()b(lg a)2答案解析因为0ab1，所以0.可得()b，(lg a)2(lg b)2，lg alg b0.由lg alg b，因此只有正确15某单位组织职工去某地参观学习需包车前往甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠解设该单位职工有n人(nN*)，全票价为x元/人，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1xx(n1)xnx，y2nx.所以y1y2xnxnxxnxx(1)当n5时，y1y2；当n5时，y1y2；当ny2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠
