1、模板8 导数与不等式恒成立问题【例 8】(满分 12 分)设 f(x)（xa）ln xx1，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线 2xy10 垂直.(1)求 a 的值；(2)若对x1，)，f(x)m(x1)恒成立，求 m 的范围.规范解答(1)f(x)ln xxax（x1）（xa）ln x（x1）2，2 分由 f(1)12，即2（1a）412，解得 a0.4 分(2)由(1)知 f(x)xln xx1，当 x1 时，f(x)m(x1)，即xln xx1m(x1)，可化为 ln xmxmx0，6 分设 g(x)ln xmxmx，g(x)1xmmx2mx2xmx2.8 分设(x)mx2
2、xm，当 m0 时，g(x)0，g(x)g(1)0，不合题意.9 分当 m0 时，10 时，即 m12，g(x)0，g(x)g(1)0，符合题意.10 分20 时，0m12，(1)12m0，不合题意.11 分综上，m 的取值范围是12，.12 分解题模板 第一步 求f(x)的导数；第二步 求参数a，确定函数f(x)的解析式；第三步 将不等式进行转化；第四步 构造函数g(x)；第五步 求g(x)，转化为一元二次函数再进行求解；第六步 规范结论，查看关键点.【训练 8】(2015天津卷)已知函数 f(x)4xx4，xR.(1)求 f(x)的单调区间；(2)设曲线 yf(x)与 x 轴正半轴的交点为
3、 P，曲线在点 P 处的切线方程为 yg(x)，求证：对于任意的实数 x，都有 f(x)g(x)；(3)若方程 f(x)a(a 为实数)有两个实数根 x1，x2，且 x1x2，求证：x2x1a3134.(1)解 由f(x)4xx4，可得f(x)44x3.当f(x)0，即x1时，函数f(x)单调递增；当f(x)0，即x1时，函数f(x)单调递减.所以，f(x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，).(2)证明 设点 P 的坐标为(x0，0)，则 x0134，f(x0)12.曲线 yf(x)在点 P 处的切线方程为 yf(x0)(xx0)，即 g(x)f(x0)(xx0).令函数 F(x
4、)f(x)g(x)，即 F(x)f(x)f(x0)(xx0)，则 F(x)f(x)f(x0).由于 f(x)4x34 在(，)上单调递减，故 F(x)在(，)上单调递减，又因为 F(x0)0，所以当 x(，x0)时，F(x)0，当 x(x0，)时，F(x)0，所以 F(x)在(，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减，所以对于任意的实数 x，F(x)F(x0)0，即对于任意的实数 x，都有 f(x)g(x).(3)证明 由(2)知 g(x)13124x.设方程 g(x)a 的根为 x2，可得 x2 a12134.因为 g(x)在(，)上单调递减，又由(2)知 g(x2)f(x2)ag(x2)，因此 x2x2.类似地，设曲线 yf(x)在原点处的切线方程为 yh(x)，可得 h(x)4x.对于任意的 x(，)，有 f(x)h(x)x40，即 f(x)h(x).设方程 h(x)a 的根为 x1，可得 x1a4.因为 h(x)4x 在(，)上单调递增，且 h(x1)af(x1)h(x1)，因此 x1x1，由此可得 x2x1x2x1a3134.
