1、专题五三角函数与解三角形命题观察高考定位(对应学生用书第15页)1(2017江苏高考)若tan，则tan _.法一tan，6tan 61tan (tan 1)，tan .法二tan tan.2(2016江苏高考)定义在区间0,3上的函数ysin 2x的图象与ycos x的图象的交点个数是_7法一函数ysin 2x的最小正周期为，ycos x的最小正周期为2，在同一坐标系内画出两个函数在0,3上的图象，如图所示通过观察图象可知，在区间0,3上两个函数图象的交点个数是7.法二联立两曲线方程，得两曲线交点个数即为方程组解的个数，也就是方程sin 2xcos x解的个数方程可化为2sin xcos x
2、cos x，即cos x(2sin x1)0，cos x0或sin x.当cos x0时，xk，kZ，x0,3，x，共3个；当sin x时，x0,3，x，共4个综上，方程组在0,3上有7个解，故两曲线在0,3上有7个交点3(2016江苏高考)在锐角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是_8在锐角三角形ABC中，sin A2sin Bsin C，sin(BC)2sin Bsin C，sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，等号两边同除以cos Bcos C，得tan Btan C2tan Btan C.tan Ata
3、n(BC)tan(BC).A，B，C均为锐角，tan Btan C10，tan Btan C1.由得tan Btan C.又由tan Btan C1得1，tan A2.tan Atan Btan C(tan A2)4248，当且仅当tan A2，即tan A4时取得等号故tan Atan Btan C的最小值为8.4(2015江苏高考)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_3tan tan()3.5(2016江苏高考)在ABC中，AC6，cos B，C.(1)求AB的长；(2)求cos的值. 【导学号：56394028】解(1)因为cos B，0B，所以sin B.由正弦定理知，所以A
4、B5.(2)在ABC中，ABC，所以A(BC)，于是cos Acos(BC)coscos Bcos sin Bsin .又cos B，sin B，故cos A.因为0A，所以sin A.因此，coscos Acos sin Asin .6(2017江苏高考)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f (x)ab，求f (x)的最大值和最小值以及对应的x的值解(1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，则sin x0，与sin2xcos2x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以
5、x.(2)f (x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因为x0，所以x，从而1cos.于是，当x，即x0时，f (x)取到最大值3；当x，即x时，f (x)取到最小值2.命题规律(1)高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面：一是用五点法作图，二是图象变换，三是已知图象求解析式或求解析式中的参数的值，常以填空题的形式考查(2)高考对三角函数性质的考查是重点，以解答题为主，考查yAsin(x)的周期性、单调性、对称性以及最值等，常与平面向量、三角形结合进行综合考查，试题难度属中低档(3)三角恒等变换包括三角函数的概念，诱导公式，同角三角函数间的关系，和、差角公
6、式和二倍角公式，要抓住这些公式间的内在联系，做到熟练应用，解三角形既是对三角函数的延伸又是三角函数的主要应用，因此，在一套高考试卷中，既有填空题，还有解答题，总分占20分左右预测2018年高考中，热点是解答题，可能是三角函数恒等变换与解三角形综合，平面向量、三角函数与解三角形综合主干整合归纳拓展(对应学生用书第16页)第1步 核心知识再整合1三角函数的定义设是一个任意大小的角，角的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)2同角三角函数的基本关系(1)sin2 cos21.(2)tan .3巧记六组诱导公式对于“，kZ的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按
7、下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限4辨明常用三种函数的易误性质函数ysin xycos xytan x图象单调性在(kZ)上单调递增；在(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在(kZ)上单调递增对称性对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：xk(kZ) 对称中心：(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：(kZ)5.识破三角函数的两种常见变换6“死记”两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan().(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin 22sin
8、 cos .cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.7“熟记”两个定理(1)正弦定理：2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C.(2)余弦定理：a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos A，cos B，cos C.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.第2步 高频考点细突破三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式的应用【例
9、1】(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知角的终边经过点P(x,6)，且cos ，则x的值为_. 【导学号：56394029】解析因为r，所以，解之得x8.答案8【例2】(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知3sin 4cos 5，则tan _.解析3sin 4cos 5，5sin()5，sin()1，2k(kZ)，tan tan.答案规律方法(1)利用三角函数定义将角的终边上点的坐标和三角函数值建立了联系，但是注意角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴(2)将齐次式用tan 表示注意角的变换举一反三(江苏省扬州市2017届高三上学期期末)已知cos，则sin()_.0，
10、又cos，sin，sin()sin sinsincos cossin .三角函数的图象与性质【例3】(泰州中学2017届高三上学期期中考试)已知函数f (x)Asin的部分图象如图51所示，P，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(2，A)，点R的坐标为(2,0)若PRQ，则yf (x)的最大值是_图51解析由题设可知T12，则P(2，A)，R(2,0)，Q(8，A)，所以PRA，PQ，RQ，由余弦定理可得4A236A2A2362Acos 120，解之得A2.答案2【例4】(泰州中学2017届高三上学期期中考试)函数f (x)sin xcos x (x0)的单调增区间是_解析因为f
11、(x)sin xcos x2sin，所以增区间为2kx2k(kZ)，即2kx2k，取k0可得x，又x0，故x0.答案【例5】(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知函数f (x)sin(0)，将函数yf (x)的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则的最小值等于_解析函数ysin的图象向右平移个单位后与原图象重合，n，nZ，3n，nZ，又0，故其最小值是3.答案3规律方法(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在其定义域内，先化简三角函数式，尽量化为yAsin(x)B的形式，然后再求解(2)对于形为yasin xbcos x型的三角函数，要通过引
12、入辅助角化为ysin(x)(cos ，sin )的形式来求(3)对于yAsin(x)函数求单调区间时，一般将化为大于0的值举一反三1(江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研)如图52所示为函数f (x)Asin(x)的部分图象，现将函数yf (x)的图象向右平移个单位后，得到函数yg(x)的图象，则函数g(x)的解析式为_. 【导学号：56394030】图52sin因为T，所以T，故2，又A1，sin1，即，也即，所以f (x)sin，向右平移个单位后得g(x)sinsin.2(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)将函数y3sin的图象向右平移个单位后，所得函数为偶函数
13、，则_.由题意得y3sin为偶函数，所以2k(kZ)，又0，所以.三角恒等变换和解三角形【例6】(江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试)在ABC中，BC1，B，ABC的面积S，则边AC等于_解析由三角形面积公式得BCBAsin B1BAsin BA4，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B16121413，AC.答案【例7】(20162017学年度江苏苏州市高三期中调研考试)已知函数 f (x)2sincos x.(1)若0x，求函数f (x)的值域；(2)设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f (A)，b2，c3，求cos(AB)的值解(1)f
14、 (x)cos xsin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin，由0x得，2x，sin1，0sin1，即函数f (x)的值域为.(2)由f (A)sin得sin0，又由0A，2A，2A，A，在ABC中，由余弦定理a2b2c22bccos A7，得a，由正弦定理，得sin B，ba，BA，cos B，cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.规律方法(1)在三角形中考查三角函数式的变换， 是近几年高考的热点这种题是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它的两重性：其一，作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，应及时进行边角
15、转化，有利于发现解决问题的思路；其二，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口(2)在解三角形时，三角形内角的余弦值为正，该角一定为锐角，且有唯一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量求余弦值举一反三(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bcos Cccos B2acos A.(1)求A的大小；(2)若，求ABC的面积解法一在ABC中，由正弦定理，及bcos Cccos B2acos A，得sin Bcos Csin Ccos B2sin Acos A，即sin A2sin Acos A，因为A
16、(0，)，所以sin A0，所以cos A，所以A.法二在ABC中，由余弦定理，及bcos Cccos B2acos A，得bc2a，所以a2b2c2bc，所以cos A，因为A(0，)，所以A.(2)由cbcos A，得bc2，所以ABC的面积为Sbcsin A2sin 60.解三角形在实际生活中的应用【例8】(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中ABCBAD90，ADDC2 km，BC1 km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分图53图54(1)如图53，若E为CD的中点，F在边界AB上，
17、求灌溉水管EF的长度；(2)如图54，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度. 【导学号：56394031】解(1)因为ADDC2，BC1，ABCBAD90，所以AB，取AB中点G，则四边形BCEF的面积为S梯形ABCDS梯形BCEGSEFG，即(12)GF，解得GF，所以EF(km)故灌溉水管EF的长度为km.(2)设DEa，DFb，在ABC中，CA2，所以在ADC中，ADDCCA2，所以ADC60，所以DEF的面积为SDEFabsin 60ab，又S梯形ABCD，所以ab，即ab3.在DEF中，由余弦定理，得EF，当且仅当ab时，取“”故灌溉水管EF的最短长度为 km.规律方法将实际问
18、题转化为三角函数模型，利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识求解举一反三 (江苏省扬州市2017届高三上学期期末)如图55，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，MPN为监控角，其中M、N在线段DE(含端点)上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD6米，AE6米，AP2米，MPN，记EPM(弧度)，监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米图55(1)求S关于的函数关系式，并写出的取值范围；(参考数据：tan 3)(2)求S的最小值解(1)在PME中，
19、EPM，PE4米，PEM，PME，由正弦定理可得PM，同理，在PNE中，PN，SPMNPMPNsinMPN，M与E重合时，0，N与D重合时，tanAPD3，即，0，综上所述，SPMN，0；(2)当2即时，S取得最小值8(1)平方米第3步 高考易错明辨析1忽视函数的定义域出错已知函数f (x)sin6sin xcos x2cos2x1，xR.(1)求f (x)的最小正周期；(2)求f (x)在区间上的最大值和最小值. 错解(1)f (x)sin 2xcos cos 2xsin 3sin 2xcos 2x f (x)2sin 2x2cos 2x2sin，所以f (x)的最小正周期为T.(2)因为正
20、弦函数ysin x(xR)的值域为1,1，所以f (x)2sin的值域为，故函数f (x)的最大值为2，最小值为2.正解(1)f (x)sin 2xcos cos 2xsin 3sin 2xcos 2xf (x)2sin 2x2cos 2x2sin，所以f (x)的最小正周期为T.(2)因为f (x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，又f (0)2，f 2，f 2，故函数f (x)在区间上的最大值为2，最小值为2.2忽视边长的固有范围在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C(cos Asin A)cos B0.(1)求角B的大小；(2)若ac1，求b的取值范围错解(1
21、)cos(AB)(cos Asin A)cos B0，sin Asin Bsin Acos B0，sin A(sin Bcos B)0，sin Bcos B0，即2sin0，B .(2)在三角形ABC中，由余弦定理得b2a2c22accos (ac)23ac(ac)232.b.正解(1)cos(AB)(cos Asin A)cos B0，sin Asin Bsin Acos B0，sin A(sin Bcos B)0，sin Bcos B0，即2sin0，B.(2)在三角形ABC中，由余弦定理得b2a2c22accos (ac)23ac(ac)232.b.bac1，b1.专家预测巩固提升(对应
22、学生用书第20页)1若函数f (x)3|cos x|cos xm, x(0, 2)有两个互异零点，则实数m的取值范围是_(4，20令g(x)3|cos x|cos x在坐标系中画出函数g(x)图象，如图所示：由其图象可知当直线ym，m(4，20，g(x)3|cos x|cos x，x(0,2)的图象与直线ym有且仅有两个不同的交点2已知函数f (x)2sin xcos x2sin2x，将yf (x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数yg(x)的图象，若函数yg(x)在a，b上至少含有1 012个零点，则ba的最小值为_ 由已知得，f (x)2sin xcos x2sin2xsi
23、n 2xcos 2x2sin，则g(x)2sin12sin 2x1，若函数yg(x)在a，b上至少含有1 012个零点，则ba的最小值为506.3已知三个向量m，n，p共线，其中a，b，c，A，B，C分别是ABC的三条边及相对的三个角，则ABC的形状是_等边三角形在三角形中，cos ，cos ，cos 均不为0，故由题意可得：.由正弦定理得：sin sin sin ，即ABC，所以ABC为等边三角形4如图56，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连接EC，ED则sinCED_. 【导学号：56394032】图56连接AC，四边形ABCD是正方形，BAC45，DAEDAB90，ADAE1，AEDADE45，即DEACAB45，ACED，CEDECA，作EFCA，交CA的延长线于点F，AE1，由勾股定理得：EFAF，在RtEBC中，由勾股定理得：CE21222 5，CE，sin CEDsinECF.
