1、2017年湖南省三湘名校联盟高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合A=x|3x+31，B=x|x24x120，则（RA）B=（）A3，2）B（，3C3，2）（6，+）D（3，2）（6，+）2已知命题p：ABC中，若AB，则cosAcosB，则下列命题为真命题的是（）Ap的逆命题Bp的否命题Cp的逆否命题Dp的否定3已知函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0x2时，f（x）=log2x，则f（2）+f（）=（）A1B1C0D24执行如图所示的程序框图，若输入x的值为1，输出n的值为N，则在区间1，4上随机选取一个数M，MN1的概率为（）AB
2、CD5欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6函数的图象大致是（）ABCD7在（x24）（x+）9的展开式中x5的系数为（）A36B144C60D608如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为（）AB4CD89体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3
3、次为止设学生一次发球成功的概率为p （p0），发球次数为X，若X的数学期望EX1.75，则p的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（0，）D（，1）10一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）A13项B12项C11项D10项11如图，抛物线y2=2px（p0）和圆x2+y2px=0，直线l经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于A，B，C，D四点，|AB|CD|=2则p的值为（）AB1CD212已知函数f（x）=ax3+（3a）x在1，1上的最大值为3，则实数a的取值范围是（）A，3B，12C3，3D3，12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
4、13已知正项等差数列an的前n项和为Sn，S10=40，则a3a8的最大值为14已知实数x，y满足，则z=ax+y的最小值为1，则a=15以40km/h向北偏东30航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3min后气球上升到1km处，从探测船上观察气球，仰角为30，求气球的水平飘移速度是km/h16已知平面向量，满足|=|=2，存在单位向量，使得（）（）=0，则|的取值范围是三、解答题（本大题共5小题，共70分）17（12分）已知函数f（x）=sinxsin（x+）（0）（1）若f（x）在0，上的值域为，1，求的取值范围；（2）若f（x）在0，上单调，且f（0）+f（）=0，
5、求的值18（12分）为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型：y=C1x2+C2与模型：y=e作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系温度x/20222426283032产卵数y/个610212464113322t=x24004845766767849001024Z=lny1.792.303.043.184.164.735.77 26 692 80 3.57 1157.54 0.43 0.32 0.00012其中ti=xi2， =，zi=lnyi， =
6、，附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归直线v=u+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=（1）分别画出y关于t的散点图、z关于x的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30时的产卵数（C1，C2，C3，C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e4.65104.58，e4.85127.74，e5.05156.02）（3）若模型、的相关指数计算分别为R12=0.82，R22=0.96，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果
7、更好19（12分）已知三棱台ABCA1B1C1中，AB=BC=4，AC=2A1C1=2，AA1=CC1=1，平面AA1B1B平面AA1C1C（1）求证：BB1平面AA1C1C；（2）点D为AB上一点，二面角DCC1B的大小为30，求BC与平面DCC1所成角的正弦值20（12分）一张半径为4的圆形纸片的圆心为F1，F2是圆内一个定点，且F1F2=2，P是圆上一个动点，把纸片折叠使得F2与P重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与半径PF1的交点为Q，当P在圆上运动时，则Q点的轨迹为曲线E，以F1F2所在直线x为轴，F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图（1）求曲线E的方程；（2）曲线E与
8、x轴的交点为A1，A2（A1在A2左侧），与x轴不重合的动直线l过点F2且与E交于M、N两点（其中M在x轴上方），设直线A1M、A2N交于点T，求证：动点T恒在定直线l上，并求l的方程21（12分）已知函数f（x）=2xlnx（xa）2（1）若f（x）在定义域上为单调递减函数，求函数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得f（x）0恒成立且f（x）有唯一零点，若存在，求出满足a（n，n+1），nZ的n的值；若不存在，请说明理由四、选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，已知曲线（为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线C3：=2sin（l）求曲线
9、C1与C2的交点M的直角坐标；（2）设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值五、选修4-5：不等式选讲23（10分）已知函数f（x）=|2xa|x1|（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）存在x0，2时，使得不等式f（x）0成立，求实数a的取值范围2017年湖南省三湘名校联盟高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合A=x|3x+31，B=x|x24x120，则（RA）B=（）A3，2）B（，3C3，2）（6，+）D（3，2）（6，+）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先分别求出集合A，B，从而求出CRA
10、，由此能求出（RA）B【解答】解：集合A=x|3x+31=x|x3，B=x|x24x120=x|x2或x6，CRA=x|x3，（RA）B=3，2）（6，+）故选：C【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用2已知命题p：ABC中，若AB，则cosAcosB，则下列命题为真命题的是（）Ap的逆命题Bp的否命题Cp的逆否命题Dp的否定【考点】四种命题间的逆否关系【分析】判断命题p是假命题，得出它的否定是真命题【解答】解：命题p：ABC中，若AB，则cosAcosB，是假命题，所以它的否定是真命题，逆否命题是假命题，D正确、C错误；命题p的否命题是：ABC中
11、，若AB，则cosAcosB，是假命题，所以它的逆命题也是假命题，A、B错误故选：D【点评】本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，是基础题3已知函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0x2时，f（x）=log2x，则f（2）+f（）=（）A1B1C0D2【考点】函数的值【分析】利用函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0x2时，f（x）=log2x，求出相应函数值，即可得出结论【解答】解：函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0x2时，f（x）=log2x，f（2）=f（2）=f（2），f（2）=0，f（）=f（）=f（）=log22=1，f（2）+f（）=1，故选：A【点
12、评】本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性，比较基础4执行如图所示的程序框图，若输入x的值为1，输出n的值为N，则在区间1，4上随机选取一个数M，MN1的概率为（）ABCD【考点】程序框图【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果N，再以长度为测度求概率即可【解答】解：第一次循环，14+3=00，x=2，n=1；第二次循环，10，x=3，n=2；第三次循环，00，x=4，n=3；第四次循环，30，不满足条件，输出n=3，故N=3，则M2，故满足条件的概率p=，故选：B【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力，考查概率的计
13、算，确定N的值是关键5欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算【分析】e2i=cos2+isin2，根据2，即可判断出【解答】解：e2i=cos2+isin2，2，cos2（1，0），sin2（0，1），e2i表示的复数在复平面中位于第二象限故选：B【点评】本题考查了复数的欧拉公式、三角
14、函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6函数的图象大致是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】先判断函数的奇偶性，再判断当1x1时，得到y0，即可判断【解答】解：y=f（x）=f（x），且定义域为x|x1f（x）为偶函数，当1x1时，cosx0，ln|x|0，y0，故选：D【点评】本题考查了函数的图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题7在（x24）（x+）9的展开式中x5的系数为（）A36B144C60D60【考点】二项式定理的应用【分析】把（x+）9 按照二项式定理展开，即可求得（x24）（x+）9的展开式中x5的系数【解答】解：（x24）（x+）9
15、 =（x24）（x9+x7+x5+x3+x9），故展开式中x5的系数为4=84144=60，故选：D【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题8如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为（）AB4CD8【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据题意可得它的外接球与原正方体是同一个，由此算出外接球的半径R，结合球的体积公式即可算出该几何体外接球的体积，得到答案【解答】解：三视图中的三个四边形都是边长为2的正方形题中的几何体与正方体有相同的外接球该外接球的直径2R=2，得R=，因此，该几何体外接球的体积为V=4，故选B【点评】本题给出由正方
16、体切出的多面体，在已知它的三视图的情况求其外接球的体积着重考查了三视图的理解、正方体的外接球和球体积公式等知识，属于中档题9体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止设学生一次发球成功的概率为p （p0），发球次数为X，若X的数学期望EX1.75，则p的取值范围是（）A（0，）B（，1）C（0，）D（，1）【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差【分析】根据题意，首先求出X=1、2、3时的概率，进而可得EX的表达式，由题意EX1.75，可得p23p+31.75，解可得p的范围，结合p的实际意义，对求得的范围可得
17、答案【解答】解：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p，即P（X=1）=p，发球次数为2即二次发球成功的概率P（X=2）=p（1p），发球次数为3的概率P（X=3）=（1p）2，则Ex=p+2p（1p）+3（1p）2=p23p+3，依题意有EX1.75，则p23p+31.75，解可得，p或p，结合p的实际意义，可得0p，即p（0，）故选C【点评】本题考查期望的计算，注意解题的最后要结合概率的意义对求出的答案范围进行取舍10一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）A13项B12项C11项D10项【考点】等比数列的性质【分析】先设数列的通项公式为
18、a1qn1，则前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n6=4两式相乘得即a12qn1=2，又根据所有项的积为64，进而求出n【解答】解析：设数列的通项公式为a1qn1则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn3，a1qn2，a1qn1前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n6=4两式相乘得：a16q3（n1）=8，即a12qn1=2又a1a1qa1q2a1qn1=64，=64，即（a12qn1）n=642，2n=642，n=12故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质属基础题11如图，抛物线y2=2px（p0）和圆x2+y2px=0，直线l经过抛物线的
19、焦点，依次交抛物线与圆于A，B，C，D四点，|AB|CD|=2则p的值为（）AB1CD2【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，设A（x1，y1），D（x2，y2），讨论若直线的斜率不存在，则直线方程为x=，求出A，B，C，D的坐标，求得AB，CD的长，解方程可得p；若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x），代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义和圆的定义，可得p的方程，即可得到所求值【解答】解：抛物线y2=2px焦点F（，0），准线方程为x=，圆（x）2+y2=p2的圆心是（，0）半径r=，设A（x1，y1），D（x2，y2），过抛物
20、线y2=4px的焦点F的直线依次交抛物线及圆（x）2+y2=p2于点A，B，C，D，A，D在抛物线上，B，C在圆上若直线的斜率不存在，则直线方程为x=，代入抛物线方程和圆的方程，可直接得到ABCD四个点的坐标为（，p），（，），（，）（，p），所以|AB|CD|=pp=2，解得p=2；若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x），因为直线过抛物线的焦点（，0），不妨设A（x1，y1），D（x2，y2），由抛物线的定义，|AF|=x1+，|DF|=x2+，把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得k2x2（pk2+2p）x+p2k2=0，由韦达定理有x1x2=p2，而抛物线的焦点F同时是已知圆
21、的圆心，所以|BF|=|CF|=r=p，从而有|AB|=|AF|BF|=x1，|CD|=|DF|CF|=x2，由|AB|CD|=2，即有x1x2=2，由p2=2，解得p=2故选：D【点评】本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的简单性质等基础知识考查运算求解能力，属于中档题12已知函数f（x）=ax3+（3a）x在1，1上的最大值为3，则实数a的取值范围是（）A，3B，12C3，3D3，12【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义【分析】分析四个选项，可发现C，D选项中a可以取3，故代入a=3，可排除选项；再注意A、C选项，故将a=12代入验证
22、即可；从而得到答案【解答】解：当a=3时，f（x）=3x3+6x，x1，1，y=9x2+6=0，可得x=，x1，），（，1，y0，函数是减函数，x=1时，f（1）=3，f（x）极大值为：f（）=3，a=3，不满足条件，故排除C，D当a=12时，f（x）=12x39x，x1，1，y=36x29=0，可得x=，x1，），（，1，y0，函数是增函数，x=时，极大值为： =63，排除B故选：A【点评】本题考查了函数的最值的求法及排除法的应用，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知正项等差数列an的前n项和为Sn，S10=40，则a3a8的最大值为16【考点】等差数列的前n
23、项和【分析】利用等差数列的前n项和公式求出a3+a8=8，由此利用基本不等式的性质能求出a3a8的最大值【解答】解：正项等差数列an的前n项和为Sn，S10=40，=16当且仅当a3=a8时，a3a8的最大值为64故答案为：16【点评】本题考查等差数列中两项积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质及基本等式的合理运用14已知实数x，y满足，则z=ax+y的最小值为1，则a=1【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围【解答】解：作出不等式，对应的平面区域，由z=ax+y得y=ax+z，若a=0，
24、则y=z，此时z=ax+y的最小值为0，不满足条件若a0，则y=ax+z的斜率a0此时直线经过点B（1，0）时取得最小值1，此时a+0=1，解得a=1，满足条件若a0，则y=ax+z的斜率a0要是目标函数取得最小值1，则满足，此时不等式无解，不满足条件综上：a=1，故答案为：1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法根据条件目标函数z=ax+y的最小值为2，确定直线的位置是解决本题的关键15以40km/h向北偏东30航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3min后气球上升到1km处，从探测船上观察气球，仰角为30，求气球的水平飘移速度是2
25、0km/h【考点】解三角形的实际应用【分析】如图，船从A航行到C处，气球飘到D处由题知，BD=1千米，AC=2千米，利用余弦定理求出AB，即可求气球的水平飘移速度【解答】解：如图，船从A航行到C处，气球飘到D处由题知，BD=1千米，AC=2千米，BCD=30，BC=千米，设AB=x千米，BAC=9030=60，由余弦定理得22+x222xcos60=（）2，x22x+1=0，x=1气球水平飘移速度为=20（千米/时）故答案为20【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题16已知平面向量，满足|=|=2，存在单位向量，使得（）（）=0，则|的取值范围是1， +1【考
26、点】平面向量数量积的运算【分析】利用已知条件求出向量+1=（+），两边取模，再由|（+）|+|，再两边平方，求得的范围，再求|的平方的范围，即可得到所求范围【解答】解：（）（）=0，+1=（+），两边取模可得|+1|=|（+）|，而|（+）|+|，即有|+1|+|，两边平方可得，（ +1）2（+）2，即为（）22+21=4+41=7，即，则|2=2+22，82=（1）2|28+2=（+1）2，即有1|+1，故答案为：1， +1【点评】本题考查向量数量积的性质，向量的平方即为模的平方，考查转化思想和不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分）17（12分
27、）（2017湖南三模）已知函数f（x）=sinxsin（x+）（0）（1）若f（x）在0，上的值域为，1，求的取值范围；（2）若f（x）在0，上单调，且f（0）+f（）=0，求的值【考点】三角函数的最值【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域、值域、单调性、周期性求得的取值范围（2）利用正弦函数的单调性、周期性求得的取值范围，根据函数的一个对称中心为（，0），故有=k，kZ，由此的值【解答】解：（1）函数f（x）=sinxsin（x+）=sinxsinxcoscosxsin=sinxcosx=sin（x），在0，上，x，sin（x），1，（2）f（x）在0，上单调
28、，0=，03f（0）+f（）=0，f（）=0，故函数的一个对称中心为（，0），故有=k，kZ，=2k+2，=2【点评】本题主要考查正弦函数的定义域、值域、单调性、周期性以及图象的对称性，属于中档题18（12分）（2017湖南三模）为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型：y=C1x2+C2与模型：y=e作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系温度x/20222426283032产卵数y/个610212464113322t=x24004845766767
29、849001024Z=lny1.792.303.043.184.164.735.77 26 692 80 3.57 1157.54 0.43 0.32 0.00012其中ti=xi2， =，zi=lnyi， =，附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归直线v=u+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=（1）分别画出y关于t的散点图、z关于x的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30时的产卵数（C1，C2，C3，C4与估计值均
30、精确到小数点后两位）（参考数据：e4.65104.58，e4.85127.74，e5.05156.02）（3）若模型、的相关指数计算分别为R12=0.82，R22=0.96，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好【考点】变量间的相关关系；用样本的频率分布估计总体分布【分析】（1）画出y关于t的散点图和z关于x的散点图，结合图形判断模型更适宜作为回归方程类型；（2）计算模型的回归系数，写出回归方程，求出x=30时的值；计算模型的回归系数，写出回归方程，求出x=30时的值即可；（3）根据判断模型的拟合效果更好【解答】解：（1）画出y关于t的散点图如图1，画出z关于x的散点图如图2；根据散点图可以
31、判断模型更适宜作为回归方程类型；（2）对于模型，设t=x2，则y=C1x2+C2=C1t+C2，计算C1=0.43，C2=C1=800.43692=217.56，所求回归方程为=0.43x2217.56，当x=30时，估计温度为=0.43302217.56=169.44；对于模型，设y=，则z=lny=C3x+C4，计算C3=0.32，C4=C3=3.570.3226=4.75，所求回归方程为=0.32x4.75，即=e0.32x4.75；当x=30时，估计温度为=e0.32304.75127.74；（3）R12=0.82，R22=0.96，模型的拟合效果更好【点评】本题考查了散点图以及回归方
32、程和相关指数的应用问题，也考查了分析与判断能力的应用问题，是综合性题目19（12分）（2017湖南三模）已知三棱台ABCA1B1C1中，AB=BC=4，AC=2A1C1=2，AA1=CC1=1，平面AA1B1B平面AA1C1C（1）求证：BB1平面AA1C1C；（2）点D为AB上一点，二面角DCC1B的大小为30，求BC与平面DCC1所成角的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）延长AA1，BB1，CC1交于点O，证明OBCO，OBAO，即可证明BB1平面AA1C1C（2）以O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建立坐标系Oxyz，求出平面ODC、OBC的法向
33、量，利用二面角DCC1B的大小为30确定点D的位置，再利用向量求BC与平面DCC1所成角的正弦值【解答】解：（1）延长AA1，BB1，CC1交于点O，AC=2A1C1=2，AA1=CC1=1，OA=OC=2，OAOC；平面AA1B1B平面AA1C1C平面AA1B1B平面AA1C1C=OAOC平面AA1C1C，OC平面AA1B1B，OB平面AA1B1B，OBOC，又AOBBOC，OBOA，OAOC=O，BB1平面AA1C1C；（2）AB=BC=4，由（1）知OA，OB，OC相互垂直，OB=2OB1=2，以O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建立坐标系OxyzA1（1，0，0），A（2，0，0
34、），B1（0，0），B（0，2，0），C1（0，0，1），C（0，0，2）设，则，设平面ODC的法向量为，可取是平面OBC的法向量，二面角DCC1B的大小为30，|cos|=所以点D为AB的中点，BC与平面DCC1所成角的正弦值sin=|cos|=，【点评】本题考查了线面垂直的判定，向量法处理动点问题、线面角问题、面面角问题，属于中档题20（12分）（2017湖南三模）一张半径为4的圆形纸片的圆心为F1，F2是圆内一个定点，且F1F2=2，P是圆上一个动点，把纸片折叠使得F2与P重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与半径PF1的交点为Q，当P在圆上运动时，则Q点的轨迹为曲线E，以F1F2所在
35、直线x为轴，F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图（1）求曲线E的方程；（2）曲线E与x轴的交点为A1，A2（A1在A2左侧），与x轴不重合的动直线l过点F2且与E交于M、N两点（其中M在x轴上方），设直线A1M、A2N交于点T，求证：动点T恒在定直线l上，并求l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由题意可知：丨QF1丨+丨QF2丨=丨PF1丨R丨F1F2丨，由椭圆的定义及性质，即可求得曲线E的方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得xT，即可求得l的方程【解答】解：（1）由题意CD垂直平分PF2，则丨QF1丨+丨QF2丨=丨QF1丨
36、+丨QP丨=丨PF1丨R丨F1F2丨，Q的轨迹为以F1，F2为焦点，长轴长2a=4的椭圆，焦距2c=2，c=1，b2=a2c2=3，动点Q的轨迹方程为：；（2）由A1（2，0），A2（2，0），设直线l方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），T（xT，yT），由，整理得：（3m2+4）y2+6my9=0，则y1+y2=，y1y2=，由M在x轴上方，y10y2，则y1y2=，则A1M，A2N的方程是y=（x+2），y=（x+2），xT=，=，=4，动点T恒在定直线l上，直线l的方程为：x=4【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查转化思
37、想，属于中档题21（12分）（2017湖南三模）已知函数f（x）=2xlnx（xa）2（1）若f（x）在定义域上为单调递减函数，求函数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得f（x）0恒成立且f（x）有唯一零点，若存在，求出满足a（n，n+1），nZ的n的值；若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题【分析】（1）求导，由题意可知：f（x）0恒成立，构造辅助函数，求导，利用函数的单调性与导数的关系，即可求得函数a的取值范围；（2）求导，当a0时，f（x）在1，+）单调递减，则f（1）f（1）=（xa）20无零点，当a0时，构造辅助函数，求导，利用导数与函数单调性的关系
38、及函数零点的判断，即可求得存在n=0即a（0，1），使得f（x）0恒成立且f（x）有唯一零点【解答】解：（1）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+），求导f（x）=2（lnxx+1+a），则f（x）在定义域上单调递减，则f（x）0恒成立，则g（x）=f（x）=2（lnxx+1+a），则g（x）=2=，当x（0，1），g（x）0，g（x）单调递增，当x（1，+），g（x）0，g（x）单调递减，即f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+）单调递减，f（x）f（1）0，则a0，函数a的取值范围（，0；（2）当x（0，1），xlnx0，f（x）=2xlnx（xa）20恒成立，当x（1，+），由（1
39、）可知，f（x）在1，+）单调递减，当a0时，由（1）可知，f（x）在1，+）单调递减，则f（1）f（1）=（xa）20，f（x）无零点，不符合题意；当a0时，设p（x）=ex2x，（x0），p（x）=ex2，则p（x）p（ln2）=2lnx20，f（ea+1）=2（a+1）ea+10，由f（1）0，存在x0（1，ea+1），使得f（x0）=0，即a=x01lnx0，故当且仅当x（1，x0）时，f（x0）0，当x（x0，+），f（x0）0，f（x）在（1，x0）内单调递增，在（x0，+）内单调递减，由f（x）0恒成立，且f（x）有唯一的零点，f（x0）=2x0lnx0（x0a）2=0，由可知：
40、，联立2x0lnx0（x0a）2=2x0lnx0x0（x01lnx0）2=2x0lnx0（1+lnx0）2，设（x）=2xlnx（1+lnx）2，则（1）=10，（e）=2（2e）0，当且x1时，（x）=2（lnx+1）（1）0，则（x）在（1，e）上有唯一零点x0，即满足方程组的x0唯一，且x0（1，e），设u（x）=x1lnx（x1），则u（x）=10，则u（x）在（1，+）上单调递增，则0=u（1）a=u（x0）u（e）=e21，即满足方程组的a（0，1），则n=0，综上所述，存在n=0即a（0，1），使得f（x）0恒成立且f（x）有唯一零点【点评】本题考查导数的综合应用，导数与函数的单
41、调性的关系，函数零点的判断，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题四、选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）（2017湖南三模）在直角坐标系xOy中，已知曲线（为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线C3：=2sin（l）求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；（2）设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（l）求出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程，联立方程组能求出曲线C1与C2的交点M的直角坐标（2）曲线C3是以C（0，1）为圆心，半径r=1的圆，求出圆心C，点B到直线x+y+1=
42、0的距离d，d，由此能求出|AB|的最小值【解答】解：（l）曲线，消去参数，得：y+x2=1，x1，1，曲线，cos+sin+1=0，曲线C2：x+y+1=0，联立，消去y可得：x2x2=0，解得x=1或x=2（舍去），M（1，0）（2）曲线C3：=2sin，即2=2sin，曲线C3：x2+（y1）2=1，是以C（0，1）为圆心，半径r=1的圆设圆心C，点B到直线x+y+1=0的距离分别为d，d，则：，|AB|的最小值为（10分）【点评】本题考查曲线的交点的直角坐标的求法，考查线段的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用五、选修4-5：不等式选讲23（10分
43、）（2017湖南三模）已知函数f（x）=|2xa|x1|（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）存在x0，2时，使得不等式f（x）0成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（1）当a=1时，f（x）=|2x1|x1|=，利用函数的单调性，即可求f（x）的最小值；（2）不等式f（x）0，可化为（3xa1）（xa+1）0，分类讨论，即可求实数a的取值范围【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|2x1|x1|=f（x）在（，上单调递减，在，+）上单调递增，x=时，f（x）取得最小值；（2）不等式f（x）0，可化为（3xa1）（xa+1）0a=2时，f（x）0，即x=10，2，符合题意；a2时，a1，f（x）0的解集为a1，a1，0，2，a12且0，1a2；a2时，a1，f（x）0的解集为，a1，a10，2，a10且2，2a5；综上所述1a5【点评】本题考查绝对值不等式，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题
