1、习题课万有引力定律及其应用 学生用书P80一、公式推论1万有引力公式：FGG6.671011 m3/(kgs2)2“黄金代换”公式：GMgR2.3万有引力充当向心力公式：mm2rmrma.4天体质量的估算(1)已知环绕天体的周期T、轨道半径r可得中心天体质量.mrM.(2)已知中心天体半径R及表面重力加速度g可得中心天体质量mgM.5天体密度的估算(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度由mgG和MR3，得，其中g为天体表面的重力加速度，R为天体半径(2)利用天体的卫星来求天体的自身密度设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程Gmr，MR3，得.(3)当天体
2、的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度.二、天体运动的分析技巧1建立模型：不论是自然天体(如地球、月球等)还是人造天体(如卫星、飞船等)，只要它们是在绕某一中心天体做圆周运动，就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型2列方程求解：根据中心天体对环绕天体的万有引力提供向心力，列出合适的向心力表达式进行求解F向F万maGmmr2mr. 学生用书P80卫星的运动规律及其应用如图所示，a、b、c是大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，a、b质量相同且小于c的质量，下列说法中正确的是()Ab、c的线速度大小相等且大于a的线速度Bb、c的向心加速度不相等且均小于a的向心加速度C
3、b、c的周期相等且大于a的周期Db、c的向心力相等且大于a的向心力解析a、b、c三颗人造地球卫星做圆周运动所需的向心力都是由地球对它们的万有引力提供由牛顿第二定律得Gmmrma(M为地球的质量，m为卫星的质量)，所以v ，与卫星质量无关，由题图知rbrcra，则vbvcra，得abacra得TbTcTa，C正确；F向G，与质量m和半径r有关，由mambra知，即F向aF向b，即F向bTBTCB三者向心加速度的大小关系为aAaBaCC三者角速度的大小关系为ACBD三者线速度的大小关系为vAvCvB解析：选D.卫星C为同步卫星，周期与A物体周期相等，故A错误；A、C比较，角速度相等，由a2r可知，
4、aAaC，故B错误；卫星C与A物体周期相等，角速度也相等，因而C错误；A、C比较，角速度相等，由vr，可知vAvC，B、C比较，同为卫星，由人造卫星的速度公式v ，可知vCvB，因而vAvCvB，故D正确卫星变轨问题(多选) 2013年12月2日1时30分，西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭成功将“嫦娥三号”探测器发射升空卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经过P点时变轨进入距离月球表面100千米的圆形轨道，在轨道上经过Q点时变轨进入椭圆轨道，轨道与月球相切于M点，“玉兔号”月球车将在M点着陆月球表面，如图所示下列的说法正确的是()A“嫦娥三号”在轨道上的运动速度比月球的第一宇宙速度小B
5、“嫦娥三号”在地月转移轨道上经过P点的速度比在轨道上经过P点时大C“嫦娥三号”在轨道上运动周期比在轨道上短D“嫦娥三号”在轨道上经过Q点时的加速度小于在轨道上经过Q点时的加速度解析月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面做匀速圆周运动的速度，“嫦娥三号”在轨道上的半径大于月球半径，根据Gm，得线速度v ，可知“嫦娥三号”在轨道上的运动速度比月球的第一宇宙速度小，故A正确；“嫦娥三号”在轨道上经过P点若要进入轨道需减速，故B正确；根据开普勒第三定律得卫星在轨道上运动轨道的半长轴比在轨道上的轨道半径小，所以卫星在轨道上的运动周期比在轨道上短，故C正确；“嫦娥三号”无论在哪个轨道上经过Q点时的加速度都为
6、该点的万有引力加速度，故万有引力在此点产生的加速度相等，故D错误答案ABC卫星变轨问题的几点注意(1)当卫星由于某种原因速度改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行当卫星的速度突然增加时，Gm，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，卫星的回收就是利用这一原理(2)卫星到达椭圆轨道与圆轨道的切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同(3)飞船对接问题：两飞船实现对接前应处于高低不同的两轨道上，目标船处于较高轨道，在较低轨道上运动的对接船通过合理地加速，做离心运动而追上目标船与其完成对接 3.如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道，然后在Q点通过改变卫星速
7、度，让卫星进入地球同步轨道，则()A该卫星的发射速度必定大于11.2 km/sB卫星在同步轨道上的运行速度大于7.9 km/sC在轨道上，卫星在P点的速度小于在Q点的速度D卫星在Q点通过加速实现由轨道进入轨道解析：选D.11.2 km/s是第二宇宙速度，若大于此值就会飞出地球引力范围了，故选项A错；7.9 km/s是最大环绕速度，在轨道上运动时的速度一定小于7.9 km/s，所以选项B错；从P到Q的运动中引力做负功，动能减小，所以选项C错；从椭圆轨道到同步轨道，卫星在Q点是做逐渐远离圆心的运动，要实现这个运动卫星所需向心力大于万有引力，所以应给卫星加速，增加所需的向心力，所以卫星在Q点通过加速
8、实现由轨道进入轨道，故选项D正确 学生用书P811(多选)如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的()A动能大B向心加速度大C运行周期长D角速度小解析：选CD.飞船绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即F引F向，所以ma向mr2，即a向，Ekmv2，T ， .因为r1Ek2，a向1a向2，T12，选项C、D正确2“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍下列说法正确的是(
9、)A静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍B静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍C静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的D静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的解析：选A.根据Gmr，可得T2，代入数据，A正确；根据Gm，可得v，代入数据，B错误；根据Gm2r，可得，代入数据，C错误；根据Gma，可得a，代入数据，D错误3(多选)“北斗”导航系统中两颗工作卫星均绕地球做匀速圆周运动，轨道半径均为r.如图所示，某时刻两颗工作卫星分别位于同一轨道上的A、B位置若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，则下列说法中正确的是()A这两颗卫星的加速度大小均为B卫星甲向
10、后喷气就一定能追上卫星乙C卫星甲由位置A运动到位置B所需的时间为D该时刻，这两颗卫星的线速度相同解析：选AC.设地球的质量为M，地球对卫星的万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，得Gma，在地球表面，物体所受的重力近似等于地球对物体的万有引力，则Gmg，由以上两式解得两卫星的加速度a，选项A正确；卫星甲向后喷气后，其速度变大，地球对卫星甲的万有引力不足以提供其做圆周运动的向心力，卫星甲将做离心运动，不可能追上卫星乙，选项B错误；由a2r，解得T，卫星甲由位置A运动到位置B所需时间tT，选项C正确；因两颗卫星在同一轨道上运行，线速度大小相等，但方向不同，选项D错误4两颗人造地球卫星都绕地球做匀速圆
11、周运动，已知它们的轨道半径之比r1r241，求这两颗卫星的(1)线速度大小之比；(2)角速度之比；(3)向心加速度大小之比解析：(1)地球对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，设地球的质量为M，两卫星的质量分别为m1、m2，线速度大小分别为v1、v2，由牛顿第二定律得可得 .(2)由角速度与线速度的关系，得两卫星的角速度分别为可得.(3)由向心加速度的公式ar2，得两卫星的向心加速度大小分别为可得4.答案：(1)12(2)18(3)1165某载人航天飞船在探月过程中，(1)若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为T，求月球绕地球运动的轨道半
12、径r；(2)若航天员在登月飞船到达月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点，已知月球半径为R月，引力常量为G，请求出月球的质量M月；(3)若飞船开始在离月球表面高h处绕月球做匀速圆周运动，试求该飞船绕月球运行的周期T.解析：(1)根据万有引力定律和牛顿第二定律得：GM月r质量为m的物体在地球表面时有mgG联立得r .(2)设月球表面处的重力加速度为g月，根据竖直上抛运动的规律有：v0.根据万有引力等于重力得GM月g月R，联立得M月.(3)飞船绕月球运行的轨道半径为r1R月h，由万有引力提供向心力得Gmr1所以该飞船绕月球运行的周期T2.答案：(1) (2)(3)2
