1、高考资源网（） 您身边的高考专家2016-2017学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考（三）数学（理）一、选择题：共12题1已知集合,则A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查集合的基本运算、指数函数与对数函数的性质.由指数函数与对数函数的性质可得,则2将直线绕原点逆时针旋转,再向右平移1个单位,所得到的直线为A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查函数的图象的变换. 将直线绕原点逆时针旋转,得到图像的解析式为,再向右平移1个单位,所得到的直线为3已知命题;命题,则下列命题为真命题的是A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的真假判断、逻辑联结词、指数函数
2、与三角函数、导数与函数的性质,考查了转化思想与逻辑推理能力.因为函数在上是减函数,所以命题是假命题,则是真命题;令,所以函数在上是减函数,又x=0时,y=0,所以,则命题是真命题,故答案为C.4某工厂生产某种产品的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)有如下几组样本数据:据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得其回归直线的斜率为0.7,则这组样本数据的回归直线方程是A.B.C.D.【答案】C【解析】本题主要考查回归分析及其回归直线方程.由题意,设回归直线方程为,又,代入回归方程可得,则5已知,则的值为A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查三角函数的诱导公式、二
3、倍角公式的应用.由可得,则=6等比数列中,则数列的前8项和等于A.6B.5C.4D.3【答案】C【解析】本题主要考查等比数列的应用、对数的运算性质,考查了运算能力.由题意可得=,所以=7已知,则的最小值为A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查基本不等式的应用,考查了转化思想与逻辑思维能力.因为,所以=,当且仅当,即时,等号成立.【备注】将化为是解决本题的关键8已知与为单位向量,且,向量满足,则的范围为A.B.C.D.【答案】B【解析】本题主要考查平面向量的坐标表示与模,考查了逻辑推理能力与计算能力.根据题意,设,则,所以=可化为,即向量终点在以(1,1)圆心、以2为半径的圆上,又圆心到
4、原点的距离为,又原点在圆内,所以的范围为9已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查椭圆的定义与性质、两条直线的位置关系、中点坐标公式与对称性质,考查了转化思想与计算能力.由题意可知,c=1,2a=|PA|+|PB|,要使椭圆的离心率最大,即可求出a的最小值,设点B关于直线l的对称点为C(x,y),则|PB|=|PC|,所以当A、P、C三点共线时,2a=|PA|+|PB|取得最小值,由题意可得,求解可得C(-3,4),所以2a最小值等于, 则椭圆的离心率的最大值为10已知偶函数对于任意的满足(其中是函数的导函数)
5、,则下列不等式中成立的是A.B.C.D.【答案】D【解析】本题主要考查导数、函数的性质,考查了转化思想与计算能力.设,即函数在上是增函数,因为,所以,所以,化简可得.11定义,已知实数满足,设,则的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】本题主要考查函数的解析式、线性规划的应用,考查了数形结合思想与逻辑推理能力.由题意可知,=,且,胜出可行域,如图所示,易知目标函数在点B(2,2)处取得最大值10,在点C(-2,1)处取得最小值-7;目标函数在点D(2,-2)处取得最大值8,在点F(-2,1)处取得最小值-7,所以的取值范围是12将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色,从任意一点开始,按逆时针
6、方向依次记录)个点的颜色,称为该圆的一个“阶色序”,当且仅当两个阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时,称为不同的阶色序若某圆的任意两个“阶色序”均不相同,则称该圆为“阶魅力圆”“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】本题主要考查自定义问题、分类加法计数原理与分步乘法计数原理,考查了逻辑推理能力.如图所示“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为8二、填空题：共4题13如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.【答案】【解析】本题考查几何概型、定积分等基础知识,意
7、在考查考生的转化与化归能力、运算求解能力.依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S=14=4,阴影部分的面积S阴影=4-=4-x3|=4-,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P=.14若=,则=【答案】122【解析】本题主要考查二项式定理、赋值法求值,考查了计算能力.令x=1可得=,令x=-1可得=,两式相减可得15对于数列,若对任意,都有成立,则称数列为“减差数列”设,若数列,)是“减差数列”,则实数的取值范围是【答案】【解析】本题主要考查自定义问题、等差数列与等比数列的统合应用、函数的性质,考查了逻辑推理能力与计算能力.由题意可得2,由于,化简可得,令,易知函数在是增
8、函数,当x=3时,取得最小值,所以最大值是,由题意可得实数的取值范围是16如图,一块均匀的正三角形的钢板的质量为kg,在它的顶点处分别受力,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是,且要提起这块钢板,均要大于kg,则的最小值为【答案】10【解析】本题主要考查线面所成的角,考查了空间想象能力、分析问题与解决问题的能力.因为每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是,所以每个与三角形所在平面所成的角的正弦值为,因为钢板的质量为kg,所以,所以,由题意可得,则x的最小值为10.三、解答题：共7题17在中,角所对的边分别为,且(1)求的值;(2)若,求的面积【答案】(1)由正弦定理可得:,所以,=.
9、(2) 由余弦定理得,即,又,所以,解得或(舍去).所以【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式,考查了转化思想与计算能力.(1)根据题意,利用正弦定理不解即可;(2) 由余弦定理得,结合条件,求出的值,再利用三角形的面积公式求解即可.18为了参加师大附中第30届田径运动会的开幕式,高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿,作为班级的旗杆之用,它们的长度分别为3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1(单位:米)(1)若从中随机抽取两根竹竿,求长度之差不超过0.5米的概率;(2)若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元,长度小于4米的竹竿价格为每根元从这6根竹竿中随机抽取两根
10、,若期望这两根竹竿的价格之和为18元,求的值【答案】(1)因为6根竹竿的长度从小到大依次为3.6,3.8,4.0,4.1,4.3,4.5,其中长度之差超过0.5米的两根竹竿长可能是3.6和4.3,3.6和4.5,3.8和4.5,所以,故所求的概率为(2)设任取两根竹竿的价格之和为,则的可能取值为,20,其中,所以令,得【解析】本题主要考查对立事件的概率、古典概型、离散型随机变量的分布列与期望,考查了分析问题与解决问题的能力.(1)求出抽取两根竹竿的所有结果,再从中找出所有的可能值,利用古典概型的概率公式求出长度之差超过0.5米的概率,再由对立事件的概率公式求解即可;(2) 设任取两根竹竿的价格
11、之和为,则的可能取值为,20,求出每一个变量的概率,由期望值为18元求解可得结果.19已知正三棱柱中,点为的中点,点在线段上(1)当时,求证:;(2)是否存在点,使二面角等于?若存在,求的长;若不存在,请说明理由【答案】(1)证明:连接,因为为正三棱柱,所以为正三角形,又因为为的中点,所以,又平面平面,平面平面,所以平面,所以因为,所以,所以在中,在中,所以,即,又,所以平面平面,所以(2)假设存在点满足条件,设,取的中点,连接,则平面,所以,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,则,所以,设平面的一个法向量为,则即令,得,同理,平面的一个法向量为,则即取,得,所以=,解得,故存在点,当时,二
12、面角等于【解析】本题主要考查线面、面面垂直的判定与性质、二面角、空间向量的应用,考查了空间想象能力与计算能力.(1)连接,利用线面与面面垂直的性质定理可得, 再证明,即可得到结论;(2) 假设存在点满足条件,设,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,分别求出平面的一个法向量,平面的一个法向量,再利用向量的夹角公式求解即可.20如图,抛物线与双曲线)有公共焦点,点是曲线在在第一象限的交点,且(1)求双曲线的方程;(2)以为圆心的圆与双曲线的一条渐进线相切,圆已知点,过点作互相垂直分别与圆、圆相交的直线和,设被圆截得的弦长为被圆截得的弦长为试探索是否为定值?请说明理由【答案】(1)抛物线的焦点为,
13、双曲线的焦点为,设在抛物线上,且,由抛物线的定义得,又点在双曲线上,由双曲线定义得,所以,双曲线的方程为:(2)为定值.下面给出说明:设圆的方程为,双曲线的渐近线方程为圆与渐近线相切,圆的半径为,故圆依题意的斜率存在且均不为零,所以设的方程为,即,设的方程为,即,点到直线的距离,点到直线的距离,直线被圆截得的弦长,直线被圆截得的弦长,故为定值【解析】本题主要考查双曲线、抛物线的定义、方程与性质、直线方程、点到直线的距离公式与弦长公式、直线与圆的位置关系,考查了转化思想与方程思想、逻辑推理能力与计算能力.(1)由已知可得c=2,再由,利用抛物线的定义,求出点A的坐标,代入双曲线方程,求解即可;(
14、2)由以为圆心的圆与双曲线的一条渐进线相切,即可求出圆SM的方程,依题意的斜率存在且均不为零,根据题意,设出两条直线的方程,利用点到直线的距离公式与圆的性质,求出s、t的表达式,再化简即可.21设函数)的图象在点处的切线的斜率为,且函数为偶函数若函数满足下列条件:;对一切实数,不等式恒成立(1)求函数的表达式;(2)设函数)的两个极值点)恰为的零点当时,求的最小值【答案】(1)由已知可得,函数为偶函数,即恒成立,所以又,又对一切实数,不等式恒成立,恒成立,(2)由(1)得,),由题意得又,解得,)为的零点,两式相减得,又,从而,设),则)记为,在上单调递减,故的最小值为【解析】本题主要考查导数
15、与导数的几何意义、函数的性质与极值,考查了恒成立问题、转化思想与方程思想、逻辑推理能力与计算能力.(1) 由已知可得,求出b的值,再由,得,易得对一切实数,不等式恒成立,得再求解即可;(2),根据题意,可得再由求出的取值范围,由题意可得,相减,化简,以为自变量,利用导数求出最小值即可.22已知曲线的参数方程为为参数),曲线的极坐标方程为(1)将曲线的参数方程化为普通方程,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)在同一坐标系下,曲线是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由【答案】(1)由为参数)得,曲线的普通方程为,有,即为所求曲线的直角坐标方程(2)圆的圆心坐标,圆的圆心坐标
16、为,所以两圆相交设相交弦长为,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段,即所求公共弦的长为【解析】本题主要考查参数方程与极坐标,考查了参直与极直互化、两个圆的位置关系.(1)消去参数可得曲线的普通方程;由已知可得,再由公式,化简可得曲线的直角坐标方程;(2)求出两个圆的圆心与半径,判断圆心之间的距离与两个半径之和的大小关系可得两个圆的位置关系,进而可得结论.23设对于任意实数,不等式恒成立(1)求实数的取值范围;(2)当取最大值时,解关于的不等式:【答案】(1)可以看做数轴上的点到点和点的距离之和,(2)由(1)得的最大值为8,原不等式等价于,有或从而或,原不等式的解集为【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式的应用,考查了分类讨论思想与计算能力.(1)利用绝对值三角不等式求出最小值即可;(2)可得,再去绝对值求解即可.高考资源网版权所有，侵权必究！
