1、模板6 圆锥曲线中的定值问题【例 6】(满分 12 分)(2015郑州模拟)已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 21，离心率为 e 22.(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点(1，0)作直线 l 交 E 于 P、Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在一个定点 M，使MP MQ 为定值？若存在，求出这个定点 M的坐标；若不存在，请说明理由.规范解答(1)设椭圆 E 的方程为x2a2y2b21(ab0)，由已知得ac 21，ca 22，解得a 2，c1.所以 b2a2c21.所以椭圆 E 的方程为x22y21.3 分(2)假设存在符合条件的点 M(m，0)
2、，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则MP(x1m，y1)，MQ(x2m，y2)，MP MQ(x1m)(x2m)y1y2x1x2m(x1x2)m2y1y2.5 分当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1)，由x22y21，yk（x1），得 x22k2(x1)220，即(2k21)x24k2x2k220，则 x1x2 4k22k21，x1x22k222k21，7 分y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1k22k21，8 分所以MP MQ 2k222k21m 4k22k21m2k22k21（2m24m1）k2（m22）2k21.9 分因为对于任意的 k
3、值，MP MQ 为定值，所以 2m24m12(m22)，得 m54.所以 M54，0，此时，MP MQ 716.10 分当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，则 x1x22，x1x21，y1y212，由 m54，得MP MQ 716.11 分综上，符合条件的点 M 存在，且坐标为54，0.12 分解题模板 第一步 引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；第二步 列出关系式，根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程；第三步 探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成yy0k(xx0)的形式，则k
4、R时直线恒过定点(x0，y0)；若是动态的曲线方程，将动态的曲线方程转化成f(x，y)g(x，y)0的形式，则R时曲线恒过的定点即是f(x，y)0与g(x，y)0的交点；第四步 下结论；第五步 回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.【训练 6】已知椭圆 C：x2a2y2b21 经过点(0，3)，离心率为12，直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 交椭圆于 A、B 两点.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l 交 y 轴于点 M，且MA AF，MB BF，当直线 l的倾斜角变化时，探求 的值是否为
5、定值？若是，求出 的值；否则，请说明理由.解(1)依题意得 b 3，eca12，a2b2c2，a2，c1，椭圆 C 的方程为x24y231.(2)因直线 l 与 y 轴相交于点 M，故斜率存在，又 F 坐标为(1，0)，设直线 l 方程为yk(x1)，求得 l 与 y 轴交于 M(0，k)，设 l 交椭圆 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由yk（x1），x24y231，消去 y 得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2 8k234k2，x1x24k21234k2，又由MA AF，(x1，y1k)(1x1，y1)，x11x1，同理 x21x2，x11x1 x21x2x1x22x1x21（x1x2）x1x28k234k22（4k212）34k21 8k234k24k21234k283.所以当直线 l 的倾斜角变化时，直线 的值为定值83.
