1、河北省石家庄市第二中学、唐山市第一中学等“五个一联盟”2019-2020学年高一数学上学期联考试题（含解析）（满分：150 分，测试时间：120 分钟）第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知|05,UxxxZ，1,4,5M，0,3,5N，则()UNM（）A.5 B.0,3 C.0,2,3,5 D.0,1,3,4,5【答案】B【解析】【分析】根据集合交集补集运算，即可求解.【详解】由题意0,1,2,3,4,5U 0,2,3UM 0,3UNM 故选：B 【点睛】本题考查集合交集补集运算，
2、属于基础题.2.下列四组函数，表示同一函数的是（）A.0()1,()f xg xx B.()1f xx，21()1xg xx C.()2lgf xx，2()lgg xx D.2()log 2xf x，33()g xx【答案】D【解析】【分析】根据相等函数概念，逐一分析定义域和对应法则，即可求解.【详解】A 中，()1f x 定义域 R，0()g xx定义域为0 x x，则不是同一函数；B 中，()1f xx 定义域 R，21()11xg xxx定义域为1x x，则不是同一函数；C 中，()2lgf xx定义域0,，2()l2 gglg xxx定义域为0 x x，则不是同一函数；D 中，2()l
3、og 2xxf x 定义域 R，33()g xxx定义域 R，则是同一函数；故选：D 【点睛】本题考查相等函数的概念，属于基础题.3.若55cos123，则sin12（）A.53 B.23 C.23 D.55 【答案】A【解析】【分析】根据题意，可知512122，运用诱导公式，即可求解.【详解】55cos123，5sinsin122125cos1253 故选：A 【点睛】本题考查三角函数组合角的诱导公式，属于基础题.4.函数12019log(32)yx的定义域为（）A.31,2 B.(,1 C.2,13 D.2,13【答案】D【解析】【分析】根据根式和对数式的限定条件，列出不等式，即可求解.【
4、详解】由题意，则有12019log(32)0320 xx 即 321320 xx，解得 213x 则定义域为 2,13 故选：D 【点睛】本题考查定义域求法，属于基础题.5.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sinsin，则 与 的终边相同；若cos0，是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.【详解】对于，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，错误；对于，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量
5、一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，正确；对于，若sinsin，则 与 的终边相同，或关于 y 轴对称，错误；对于，若cos0，则 是第二或第三象限的角，或终边在 x 负半轴上，错误；综上，其中正确命题是，只有1个.故选：A 【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.6.若1ln 2a，12be，c 满足lncec，则,a b c 的大小关系为（）A.abc B.acb C.cba D.bac【答案】C【解析】【分析】根据题意，构造函数xye与lnyx的图象交点问题，c 为交点纵坐标，可得1c，再将,a b 与0,1比较，即可求解.【详解】由题意，构造函数xye与lnyx
6、交点，由图象知1c 1lnln102a，则0a，10201bee，则01b，则cba 故选：C 【点睛】本题考查指数式，对数式比较大小，考查数形结合，属于中等题.7.若236abc，则 111abc（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根据题意令236abck，导出2lgloglg2kak，3lgloglg3kbk，6lgloglg6kck，代入即可求解.【详解】由题意，令236abck 则有2lgloglg2kak，3lgloglg3kbk，6lgloglg6kck 则 111lg2lg3lg6lg2lg3lg60lglglglgabckkkk 故选：A 【点睛】本题考
7、查对数换底公式及运算，属于基础题.8.函数()yf x的图象如图所示，则()f x 可能是（）A.sinxx B.cosxx C.sin xx D.cos xx【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象确定函数的定义域，奇偶性进行判断即可.【详解】由图象知函数的定义域为0 x x，故排除,A B，函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数，()sin xf xx=是偶函数，不满足条件，()cos xf xx=是奇函数，满足条件.故选：D 【点睛】本题考查函数图象判断奇偶性和定义域，考查数形结合思想，属于中等题型.9.已知0,4，则2sin12sin()cos（）A.sincos B.sincos C
8、.3sincos D.3sincos【答案】A【解析】【分析】根据题意可判断cossin，再根据诱导公式和同角三角函数关系可化简.【详解】由题意，2sin1 2sin()cos 22sinsincos 2sincossin sincos 故选：A 【点睛】本题考查诱导公式化简三角函数，属于基础题.10.已知函数()sin()f xAx0,0,|2A的最小正周期为，且对任意的x R，恒有()6f xf 成立，则()f x 图象的一条对称轴是（）A.2x B.3x C.4x D.23x【答案】D【解析】【分析】根据题意对任意的 x R，()6f xf 恒成立，则可知6f为函数最大值，再根据周期性可
9、求对称轴.【详解】由题意，对任意的 x R，()6f xf 恒成立，又 minf xA，则6fA，故6x为最大值点，6x为函数对称轴，且已知周期为，则函数 f x 的对称轴方程为62kxk ，则当1k 时，对称轴方程为23x.故选：D 【点睛】本题考查三角函数的对称性和最值，属于中等题型.11.已知函数()42xxf xaa，在(0,)x 的图像恒在 x 轴上方，则实数a 的取值范围是（）A.3a B.2a C.04a D.4a 【答案】D【解析】【分析】根据题意令2xt，由(0,)x 则1,t ，则函数2ytata，则问题转化成20tata在1,t 上恒成立，化简不等式211111tattt
10、t 恒成立，根据基本不等式可求21tt 的范围，再根据恒成立思想，可求参数取值范围.【详解】令2xt，(0,)x 则1,t ，函数化成2ytata 则函数()42xxf xaa，在(0,)x 图象恒在 x 轴上方，可转化成20tata在1,t 恒成立，故21tat 在1,t 恒成立，则有221 1111121111tttttttttt 且10t 则22241tt，又21tat 在1,t 恒成立，则2min41tat 故 a 的范围4a 故选：D 【点睛】本题考查换元法转化函数恒成立问题，考查计算能力，有一定难度.12.已知函数3log,03()sin,3156xxf xxx，若存在实数a，使得
11、()f xa有四个零点1234,x xx x，且1234xxxx，则 341211xxxx的取值范围是（）A.(28,55)B.(27,54)C.(21,45)D.(27,45)【答案】A【解析】【分析】根 据 题 意 作 出 函 数 图 象，确 定1 21x x，3418xx，34315xx由 此 可 得 341211xxxx的取值范围.【详解】函数3log,03()sin,3156xxf xxx 的图象如图所示 函数 yf x与 ya交于4 个交点，则01a 12f xf x，3132loglogxx 31 2log0 x x，1 21x x 34f xf xa则3436,1215xx 3
12、418xx 343434341211117xxx xxxx xx x 3436,1215xx，且3418xx 23433331818x xxxxx 3445,72x x 34121128,55xxx x 故选：A 【点睛】本题考查分段函数的零点问题，考查数形结合，考查计算能力，有一定难度.第卷（非选择题，共 90 分）二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确答案填在答题卡上.13.化简31log 23611216lg1003 _.【答案】2 【解析】【分析】根据指数运算法则，化简为同底指数幂的运算，再根据对数运算法则及对数恒等式，即可求解.【详解】由题意，31log
13、 23611216lg1003 3141log236222lg103 1222 2 故答案为：2 【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属于基础题.14.已知 3cossin13cossin5xxxx，则22sin3sin cos2cosxxxx _.【答案】45【解析】【分析】根据商数关系，sintancosxxx 求解 tan x 值，再根据平方关系22sincos1xx，化简三角函数值，【详解】由题意 3cossin3tan13cossin3tan5xxxxxx 解得 tan2x 则22sin3sin cos2cosxxxx 2222sin3sin cos2cossincosxxxxxx
14、22tan3tan2tan1xxx45 故答案为：45【点睛】本题考查齐次式运算，属于基础题.15.已知函数21log(3),3()111,23ax xf xxaxx 是定义在 R 上的增函数，则实数a 的取值范围是_.【答案】4 20,33【解析】【分析】根据分段函数单调性，则13x 时对数函数单调递增，13x 时二次函数单调递增，当13x 时，二次函数取值小于等于对数函数值，即可求解.【详解】由题意，函数2log(3)()112axf xxax 1313xx，在 R 上增函数，则有2111224311111log303233aaaaa 解得 42033a 则实数 a 的取值范围 4 20,
15、33 故答案为：4 20,33【点睛】本题考查复合函数单调性问题，考查计算能力，属于中等题型.16.下列四个命题：函数tanyx是奇函数且在定义域上是单调递增函数；函数|13xym有两个零点，则01m；函数()|f xx x，则(23)(6)0fxf x的解集为|3x x；函数2log sinyx的单调递减区间为32,2()22kkkZ.其中正确命题的序号为_.【答案】【解析】【分析】根据正切函数性质，判断错误；根据指数函数翻折变换画图，根据图像即可求解参数取值范围，知错；根据函数解析式判断函数单调性及奇偶性，即可求解集，知正确；根据复合函数单调性法则，求解单调区间，知错误.【详解】对于，正切
16、函数tanyx是奇函数，定义域为2,2x xkkZ，单调区间为2,2()22kkkZ，在每一个区间内单调递增，但不是在其定义域内单调递增，故错误；对于，函数|13xym有两个零点，转化成|13xy 与直线 ym有两个交点，作两个函数图象，如下图所示：根据图像，可知01m，故错误；对于，函数()|f xx x，()|()fxxxx xf x 是奇函数，22()=xf xx xx 00 xx，则函数()f x 在 R 上单调递增，由(23)(6)0fxf x，则(23)(6)(6)fxf xfx 236xx，解得3x 则解集为3x x，故正确；对于，函数2log sinyx复合函数，令sin0tx
17、是内层函数，2logyt是外层函数，根据复合函数单调性同增异减，2logyt在0t 是增函数，则sintx为减函数，又sin0 x，则减区间为 2,2()2kkkZ，故错误；故答案为：【点睛】本题考查真假命题的判断，考查函数单调性及零点问题，综合性较强，属于中等题型.三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.请将解答过程书写在答题卡上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数coscos()2()3sintan()2xxf xxx.（1）若角 x 的终边经过点(3,4)，求()f x 的值；（2）若1()28f xfx.且角 x 为第三象限角，求()2fxf x的值.【答案】（1
18、）35-（2）52【解析】【分析】（1）根据诱导公式化简解析式，再根据三角函数定义求解3cos5x，即可求解.（2）由（1）可化简1()cossin28f xfxxx 和()cossin2fxf xxx，根据同角三角函数关系式，即可求解.【详解】解：（1）coscos()2()cos3sintan()2xxf xxxx；角 x 的终边经过点(3,4)，2233cos53(4)x；3()5f x.（2）由1()cossin28f xfxxx ，1sincos8xx()cossin2fxf xxx.由22215(cossin)cossin2cossin144xxxxxx 又角 x 为第三象限角，c
19、ossin0 xx 5cossin2xx 【点睛】本题考查（1）诱导公式（2）sincosxx与cossinxx关系的常用公式；考查计算能力，属于基础题.18.设集合22|log232Ax yxxx，集合|223Bx axa.（1）若3a，求 AB；（2）若 ABA，求实数 a 的取值范围.【答案】（1）|12ABxx（2）5,2【解析】【分析】（1）根据对数式中真数大于零和根号下被开方数大于等于零，求解函数定义域从而表达集合A，代入3a，求集合 B，再求交集.（2）根据题意，ABA推出 BA，讨论空集情况，根据子集关系即可求解参数取值范围.【详解】解：（1）由223020 xxx，得132x
20、x ，|12Axx 当3a 时，|13Bxx，|12ABxx.（2）若 ABA，则 BA.若 B ，即223aa，1a 时，满足条件；若 B ，需满足：121232aaa ，解得，512a；综上可知，满足条件的实数a 的取值范围是5,2【点睛】本题考查（1）具体函数定义域求法和集合交集运算（2）根据子集关系求解参数范围，考查分类讨论思想，属于基础题.19.已知定义在 R 上的函数()sin()f xAx（其中0A，0，02）的图象相邻两条对称轴之间的距离为 2，且图象上一个最低点的坐标为,23.（1）求函数()yf x的解析式，并求其单调递增区间；（2）若0,2x 时，()2()1g xa f
21、 xa的最大值为 4，求实数a 的值.【答案】（1）()2sin 26f xx；单调递增区间是,36kk()kZ（2）当0a 时，1a ；当0a 时，1a 【解析】【分析】（1）根据题意，相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，确定参数，再根据最低点坐标可确定 A 和，即可求解函数解析式，（2）根据题意写出()g x 解析式，由0,2x 确定1sin 2,162x，再讨论a 的正负情况，列出最大值，求解参数.【详解】解：（1）由题意，相邻两条对称轴之间的距离为 2，则 1=22T，T，2 又一个最低点的坐标为,23，2A，22()32kkZ ，则2()6kkZ，又02，6 故函数解析式为()2si
22、n 26f xx.由 222262kxk，kZ，得，36kxk，kZ，函数()yf x的单调递增区间是,36kk()k Z.（2）()2()14sin 216g xa f xaaxa，由已知0a；1sin 2,162x.当0a 时，max()414g xaa ，解得1a ；当0a 时，max()214g xaa ，解得1a .【点睛】本题考查（1）利用函数性质求三角函数解析式（2）sin()yAx型函数值域问题，考查分类讨论思想，属于中等题型 20.某银行推出一款短期理财产品，约定如下：（1）购买金额固定；（2）购买天数可自由选择，但最短 3 天，最长不超过 10 天；（3）购买天数*x xN
23、与利息 y 的关系，可选择下述三种方案中的一种：方案一：314yx；方案二：214yx；方案三：(2)xy.请你根据以上材料，研究下面两个问题：（1）结合所学数学知识和方法，用其它方式刻画上述三种方案的函数特征；（2）依据你的分析，给出一个最佳理财方案.【答案】（1）详见解析（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）由题意，运用函数模型解决实际问题，由自变量是天数取正整数，用列表法或者图像法（散点图）刻画三种函数的函数特征.（2）根据题意，按照天数的不同取值范围，选出利息最高的方案.【详解】（1）方法一：列表，得出三种方案所有天数的利息，可以精确得出任意一天三种方案对应利息的大小关系，
24、为选择最佳方案提供数据支持.方法二：列表，得出三种方案部分天数利息（或所有天数利息）；作出函数图象（散点图），并用虚线连接，对比三个函数图象可以更直观看到三种方案的利息随天数变化趋势的特征，以及三个图像相互间的位置关系，从而为选择最佳方案提供图像支持.（注：列表得出部分天数利息，描点做函数图象时，至少要标出第 3 天、第 4 天、第 8 天对应的三个点，以及第 48 天和 910 天中的任意一天对应的点，即描出 5 个点；如果描点不全，酌情扣掉 2-3 分；方案一和方案二之间比较，也可通过作差构造函数，依据函数零点和单调性等知识得出结论.）附：参考列表和图象：（2）当购买天数为 3 天时，选择
25、方案一最佳；当购买天数为 4 天时，选择方案一或方案二或方案三最佳；当购买天数为 5-7 天时，选择方案二最佳：当购买天数8 天时，选择方案二或方案三最佳；当购买天数为 9-10 天时，选择方案三最佳；【点睛】本题属于开放性探究试题，重点考查利用函数模型解决实际问题的能力，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中等题型.21.已知定义在 R 上的函数()xxf xa ee为奇函数.（1）求 a 的值；（2）用定义证明函数()yf x的单调性，并解不等式1(1)f xee；（3）设()()2()xf xg xef x，当(,ln 2x 时，2()2xmg xe恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】
26、（1）1a （2）证明见解析，不等式的解集为|2x x （3）(0,2 【解析】【分析】（1）根据奇函数定义，由(0)0f，即可求解；（2）根据函数单调性定义，设12,x x 是 R 上任意两个实数，且12xx，比较 12f xf x，的大小关系，即可证明函数单调性，再由1(1)(1)(1)f xef xfe，利用单调性解不等式.（3）由（1）中()f x 解析式，写出()g x 解析式，运用换元法，设2xte，则2()2xmg xe恒成立，可转化成121tmtt，(0,2t 恒成立，根据恒成立思想，转化不等式，即可求解.【详解】解：（1）由()xxf xa ee为定义域为 R 的奇函数，(0
27、)0f，得1a ；经检验适合题意（2）由（1）知，()xxf xee.设12,x x 是 R 上任意两个实数，且12xx，则 112221121211xxxxxxxxfxfxeeeeeeee 2112212112121xxxxxxxxxxxxeeeeeeeeeeee 由xye是定义在 R 上增函数，又12xx，210 xxee；由指数函数性质可知，0 xe，210 xxee，2110 xxee；于是 120f xf x，即 12f xf x.所以，函数()xxf xee是定义在 R 上的减函数.1(1)(1)(1)f xef xfe；()f x 是定义在 R 上的减函数，上式等价于11x ，即
28、2x；不等式的解集为|2x x .（3）22()1()(,ln 22()1xxxxxxxf xeeeg xxef xeee .设2xte，则(0,2t，2()2xmg xe恒成立，即121tmtt，(0,2t 恒成立，整理得，2(1)20tmtm，(0,2t 恒成立.设2()(1)20h ttmtm，(0,2t，则，若满足题意需(0)20(2)0hmhm，即02m；所以，实数 m 的取值范围是(0,2.【点睛】本题考查（1）函数奇偶性（2）定义法证明单调性（3）不等式恒成立问题；考查转化与化归思想，考查计算能力，综合性较强，有一定难度.22.已知奇函数()yf x和偶函数()yg x满足2()
29、()2log(1)f xg xx.（1）求函数()yf x和函数()yg x的解析式；（2）设函数()()()(1)22f xg xF xxm，若()yF x在10,2内有且只有一个零点，求实数 m 的取值范围.【答案】（1）21()log 1xf xx-=+，22()log 1g xx.（2）2,13【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性，令 xx 代入，可列关于()()f xg x，的方程组，运用加减消元法可解方程组；（2）根据题意，写出解析式2()1(11)F xmxxmx ，讨论m 是否等于零，运用零点存在性定理，判断()yF x在10,2内有且只有一个零点，即可求解.【详解】解：（1）
30、由已知，2()()2log(1)f xg xx 得：2()()2log(1)fxgxx，又()yf x奇函数，()yg x偶函数；即2()()2log(1)f xg xx 由联立，解得：21()log 1xf xx-=+，22()log 1g xx.（2）2221loglog1()()1()(1)22(1)22xxf xg xxF xxmxm 21(11)mxxmx 当0m 时，()10F xx ，得，1x，不符合题意；当0m 时，由(1)0F得：若满足题意，需1(0)02FF，即31(1)042mm，解得 213m.综上，满足题意的实数m 的取值范围是 2,13.【点睛】本题考查（1）函数奇偶性（2）零点存在性定理，考查函数与方程思想，考查分类讨论思想，属于中等题型.
