1、2.2.3 待定系数法5分钟训练1.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k、b的符号是( )A.k0,b0 B.k0,b0C.k0 D.k0,b0答案：D解析：观察图象可知k0,b0.2.弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数,图象如右图所示,则弹簧不挂物体时的长度是( )A.9 cm B.10 cm C.10.5 cm D.11 cm答案：B解析：设一次函数解析式为y=kx+b,则解得所以y=0.5x+10.当x=0时,y=10.3.f(x)是正比例函数,且f(-2)=-1,则f(x)=_;g(x)是反比例函数,且g(-2)=-1,则g(x)=_.答案：x 解析
2、：设f(x)=k1x(k10),g(x)=(k20),由题意可得-1=k1(-2),-1=.所以k1=,k2=2.故f(x)=x,g(x)=.4.用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即(1)一般式: _; (2)零点式: _;(3)顶点式:_.答案：(1)y=ax2+bx+c(a0)(2)y=a(x-x1)(x-x2)(a0)(3)y=a(x+k)2+h(a0)10分钟训练1.已知一次函数y=kx+b,当x增加3时,y减小2,则k的值是( )A. B. C. D.答案：A2.已知二次函数y=ax2+bx+c,如图所示,若a0,那么它的图象大致是( )答案：D解析：a0,图
3、象不过原点,排除C.3.如图所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则ABC的面积为( )A.6 B.4 C.3 D.1答案：C解析：由函数图象可知C点坐标为(0,3),再由x2-4x+3=0可得x1=1,x2=3.所以A、B两点之间的距离为2,那么ABC的面积为3.4.二次函数y=x2+bx+c的图象顶点是(-1,-3),则b=_,c=_.答案：2 -2解析：顶点横坐标x=-1,得b=2.纵坐标=-3,得c=-2.5.已知f(x)是一次函数,若ff(x)=9x+3,则f(x)= _.答案：3x+或-3x解析：设f(x)=ax+b.ff(x)=a2x+ab+b=
4、9x+3,比较系数a2=9,ab+b=3.解得所以f(x)=3x+或f(x)=-3x.6.二次函数图象经过A(0,2)和B(5,7)两点,且它的顶点在直线y=-x上.求该二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-k)2+h(a0).因函数的顶点在直线y=-x上,所以h=-k. 又图象经过A、B两点,所以 由,解得k1=,k2=2.当k1=时,h=,a=,y=(x+)2+;当k2=2时,h=-2,a=1,y=(x-2)2-2.所以二次函数的解析式为y=(x+)2+或y=(x-2)2-2.30分钟训练1.若(2,5),(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点,那么它的对称轴为直线
5、( )A.x= B.x=1C.x=2 D.x=3答案：D解析：(2,5)与(4,5)两点关于直线x=3对称.2.若抛物线y=x2-(m-2)x+m+3的顶点在y轴上,则m的值为( )A.-3 B.3 C.-2 D.2答案：D解析：由=0,得m=2.3.(探究题)已知反比例函数y=的图象如图所示,则二次函数y=2kx2-x+k2的图象大致为( )答案：D解析：由反比例函数图象,可知k0.所以二次函数的图象开口向下,对称轴为x=0,故选D.4.已知f(x)=则下列函数的图象错误的是( )答案：C解析：函数f(x)的图象如图所示.借助函数图象的平移、对称、翻折等知识求解.5.二次函数y=x2+bx+
6、c的图象如图所示,则对称轴是_,当函数值y0时,对应x的取值范围是_.答案：x=-1 -3x1解析：对称轴方程是x=-1,当x1时,y0;当-3x1时,yy2成立的x的取值范围是_.答案：x8解析：由条件可知,当x8时,y1的图象在y2的图象的上方,则使y1y2成立的x的取值范围是x8.7.(1)f(x)是一次函数,且其图象通过A(-2,0)、B(0,-4)两点,则f(x)= _.(2)f(x)是二次函数,方程f(x)=0的两根是x1=-2,x2=3,且f(0)=-3,则f(x)= _.答案：(1)-2x-4 (2)(x+2)(x-3)解析：(1)设f(x)=kx+b(k0),由题意得解得所以
7、f(x)=-2x-4.(2)设f(x)=a(x+2)(x-3)(a0),由f(0)=-3=a(0+2)(0-3),得a=.所以f(x)=(x+2)(x-3).8.已知二次函数满足f(3x+1)=9x2-6x+5,则f(x)= _.答案：x2-4x+8解析：设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5.比较系数,得f(x)=x2-4x+8.9.分解因式:3x2+5xy-2y2+x+9y-4.解：3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y),原式分解后的因式应为(3x-y+m)(x+2y+
8、n),即3x2+5xy-2y2+x+9y-4=(3x-y+m)(x+2y+n)=3x2+5xy-2y2+(m+3n)x+(2m-n)y+mn.比较系数,得3x2+5xy-2y2+x+9y-4=(3x-y+4)(x+2y-1).10.已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式.解法一：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a0),由条件,可得抛物线的顶点为(4,-3),且过点(1,0)与(7,0)两点,将三个点的坐标代入,得所求二次函数解析式为y=.解法二：抛物线与x轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0),设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-7),把顶点(4,-3)代入,得-3=a(4-1)(4-7).解得a=.二次函数解析式为y=(x-1)(x-7),即y=.解法三：抛物线的顶点为(4,-3),且过点(1,0).设二次函数解析式为y=a(x-4)2-3.将(1,0)代入,得0=a(1-4)2-3,解得a=.二次函数的解析式为y=(x-4)2-3,即y=.
