1、2018年江苏高考预测试题(二)(对应学生用书第133页)(限时：120分钟)参考公式样本数据x1，x2，xn的方差s2 (xi)2，其中xi.棱柱的体积VSh，其中S是棱柱的底面积，h是高棱锥的体积VSh，其中S是棱锥的底面积，h是高数学试题一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在题中横线上)1已知集合Ax|x2x20，集合Bx|1x3，则AB_.x|1x3由x2x20，解得1x2.Ax|1x2，又集合Bx|1x3，ABx|1x32设复数z满足(zi)i34i(i为虚数单位)，则z的模为_2zi3i4i42i，则|z|42i|2.3表中是一个容量为10的样本数据分组后
2、的频率分布，若利用组中值近似计算本组数据的平均数，则的值为_.数据12.5,15.5)15.5,18.5)18.5,21.5)21.5,24.5频数213419.7根据题意，样本容量为10，利用组中值近似计算本组数据的平均数，则(142171203234)19.7.4若双曲线x2my21过点(，2)，则该双曲线的虚轴长为_. 【导学号：56394121】4双曲线x2my21过点(，2)，24m1，即4m1，m，则双曲线的标准方程为x21，则b2，即双曲线的虚轴长2b4.5根据如下所示的伪代码，可知输出的结果S是_17执行程序，有i1；满足条件i6，i3，S9；满足条件i6，i5，S13；满足条
3、件i6，i7，S17，不满足条件i6，输出S的值为17.6在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为_设一、二等奖各用A，B表示，另1张无奖用C表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB，AC，BA，BC，CA，CB共6个，其中两人都中奖的有AB，BA，共2个，故所求的概率P.7已知函数yAsin(x)(A0，0，|)的图象如图1所示，则该函数的解析式是_图1y2sin由图知A2，y2sin(x)，点(0,1)在函数的图象上，2sin 1，解得sin ，利用五点作图法可得.点在函数的图象上，2sin0，k，kZ，解得，kZ.0，当k0时，y2s
4、in.8如图2，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点若AA14，AB2，则四棱锥BACC1D的体积为_图22取AC的中点O，连接BO，则BOAC，BO平面ACC1D，AB2，BO，D为棱AA1的中点，AA14，SACC1D(24)26，四棱锥BACC1D的体积为2.9已知实数x，y满足则的取值范围是_作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到定点D(0，1)的斜率，由图象知，AD的斜率最大，BD的斜率最小，此时最小值为1，由得即A，此时AD的斜率k，即1，故的取值范围是.10已知an，bn均为等比数列，其前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的nN*，总有，则_.9设an，
5、bn的公比分别为q，q，n1时，a1b1.n2时，.n3时，7.2q5q3,7q27qq2q60，解得q9，q3，9.11已知平行四边形ABCD中，BAD120，AB1，AD2，点P是线段BC上的一个动点，则的取值范围是_以B为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，作AEBC，垂足为E，BAD120，AB1，AD2，ABC60，AE，BE，A，D.点P是线段BC上的一个动点，设点P(x,0)，0x2，2，当x时，有最小值，最小值为.当x0时，有最大值，最大值为2，则的取值范围为.12如图3，已知椭圆1(ab0)上有一个点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满
6、足AFBF，当ABF时，椭圆的离心率为_图3设椭圆的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性及AFBF可知，四边形AFBF1是矩形，所以|AB|F1F|2c，所以在RtABF中，|AF|2csin，|BF|2ccos，由椭圆定义得2c2a，即e.13已知ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C，c2.当取得最大值时，的值为_. 【导学号：56394122】2C，BA，由正弦定理得，bsin2cos Asin A，bccos A2bcos A4cos2Asin 2A22cos 2Asin 2A2sin2，AB，0A，当2A即A时，取得最大值，此时，B，sin Asinsin，si
7、n Bsin.2.14对于实数a，b，定义运算“”：ab设f (x)(x4)，若关于x的方程|f (x)m|1(mR)恰有四个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是_(1,1)(2,4)由题意得，f (x)(x4)画出函数f (x)的大致图象如图所示因为关于x的方程|f (x)m|1(mR)，即f (x)m1(mR)恰有四个互不相等的实数根，所以两直线ym1(mR)与曲线yf (x)共有四个不同的交点，则或或得2m4或1m1.二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)如图4，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角，其终边与
8、单位圆交于点A.以OA为始边作锐角，其终边与单位圆交于点B，AB.图4(1)求cos 的值；(2)若点A的横坐标为，求点B的坐标解(1)在AOB中，由余弦定理得：AB2OA2OB22OAOBcosAOB，所以，cosAOB，即cos . 6分(2)因为cos ，sin .因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，cos ，因为为锐角，所以sin .所以cos()cos cos sin sin ，sin()sin cos cos sin ，即点B.14分16(本小题满分14分)在平面四边形ABCD(图5)中，ABC与ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB2，BAD30，BAC45，将ABC沿
9、AB折起，构成如图5所示的三棱锥CABD. 图5(1)当CD时，求证：平面CAB平面DAB；(2)当ACBD时，求三棱锥CABD的高解 (1)证明：当CD时，取AB的中点O，连接CO，DO，在RtABC，RtADB中，AB2，则CODO1，CD，CO2DO2CD2，即COOD，由BAC45得ABC为等腰直角三角形，COAB，又ABODO，AB，OD平面ABD，CO平面ABD，CO平面ABC，平面CAB平面DAB.6分(2)由已知可求得AD，ACBC，BD1，当ACBD时，由已知ACBC，得AC平面BDC，CD平面BDC，ACCD，由勾股定理，得CD1，而BDC中，BD1，BC，CD2BD2BC
10、2，CDBD.SBDC11.三棱锥CABD的体积VSBDCAC.SABD1，设三棱锥CABD的高为h，则由h，解得h. 14分17(本小题满分14分)如图6，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图7，半径OA的长为1百米为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路CDEF，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形，设DEt百米，记修建每1百米参观线路的费用为f (t)万元，经测算f (t)图6 图7(1)用t表示线段EF的长；(2)求修建参观线路的最低费用解(1)设DQ与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQDE，以CF所在直线为x轴，O
11、Q所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.设EF与圆切于G点，连接OG，过点E作EHOF，垂足为H.EHOG，OFGEFH，GOFHEF，RtEHFRtOGF，HFFGEFt.EF21HF212，解得EF(0t2).6分(2)设修建该参观线路的费用为y万元当0t，由y55.y50，可得y在上单调递减，t时，y取得最小值为32.5.当t2时，y12t.y12.t2，3t23t10.t时，y0，函数y此时单调递减；t(1,2)时，y0，函数y此时单调递增t1时，函数y取得最小值24.5.由知，t1时，函数y取得最小值为24.5.即修建该参观线路的最低费用为24.5万元.14分18(本小题满分16
12、分)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆1(ab0)的离心率是e，定义直线y为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y2，长轴长为4.(1)求椭圆C的方程；(2)点P在椭圆C的“类准线”上(但不在y轴上)，过点P作圆O：x2y23的切线l，过点O且垂直于OP的直线与l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论. 【导学号：56394123】解(1)由题意知又a2b2c2，解得b，c1，所以椭圆C的方程为1.4分(2)点A在椭圆C上证明如下：设切点为Q(x0，y0)，x00，则xy3，切线l的方程为x0xy0y30，当yP2时，xP，即P，即kOP，所以kOA，直线OA的方程为yx.联立解
13、得即A.10分因为1，所以点A的坐标满足椭圆C的方程当yP2时，同理可得点A的坐标满足椭圆C的方程，所以点A在椭圆C上.16分19(本小题满分16分)已知数列an满足2an1anan2k(nN*，kR)，且a12，a3a54.(1)若k0，求数列an的前n项和Sn；(2)若a41，求数列an的通项公式an.解(1)当k0时，2an1anan2，即an2an1an1an，所以数列an是等差数列设数列an的公差为d，则解得所以Snna1d2nn2n.6分(2)由题意，2a4a3a5k，即24k，所以k2.又a42a3a223a22a16，所以a23.由2an1anan22，得(an2an1)(an
14、1an)2，所以，数列an1an是以a2a11为首项，2为公差的等差数列，所以an1an2n3，当n2时，有anan12(n1)3.于是，an1an22(n2)3，an2an32(n3)3，a3a2223，a2a1213，叠加得，ana12(12(n1)3(n1)(n2)，所以an23(n1)2n24n1(n2)又当n1时，a12也适合所以数列an的通项公式为ann24n1，nN*.16分20(本小题满分16分)已知函数f (x)ex，其中aR，e为自然对数的底数(1)关于x的不等式f (x)ex在(，2)上恒成立，求a的取值范围；(2)讨论函数f (x)极值点的个数解(1)由f (x)ex，
15、得exex，即x36x2(3a12)x6a80对任意x(，2)恒成立，即(63x)ax36x212x8对任意x(，2)恒成立，因为x2，所以a(x2)2，记g(x)(x2)2，因为g(x)在(，2)上单调递增，且g(2)0，所以a0，即a的取值范围为0，).6分(2)由题意，可得f (x)ex，可知f (x)只有一个极值点或有三个极值点令g(x)x3x2axa，若f (x)有且仅有一个极值点，则函数g(x)的图象必穿过x轴且只穿过一次，即g(x)为单调递增函数或者g(x)极值同号.10分()当g(x)为单调递增函数时，g(x)x22xa0在R上恒成立，得a1.()当g(x)极值同号时，设x1，
16、x2为极值点，则g(x1)g(x2)0，由g(x)x22xa0有解，得a1，且x2x1a0，x2x2a0，所以x1x22，x1x2a，所以g(x1)xxax1ax1(2x1a)xax1a(2x1a)ax1ax1a(a1)x1a，同理，g(x2)(a1)x2a，所以g(x1)g(x2)(a1)x1a(a1)x2a0，化简得(a1)2x1x2a(a1)(x1x2)a20，所以(a1)2a2a(a1)a20，即a0，所以0a1.所以，当a0时，f (x)有且仅有一个极值点；若f (x)有三个极值点，则函数g(x)的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a0.综上，当a0时，f (x)有且仅有一个极值点，
17、当a0时，f (x)有三个极值点.16分数学(附加题)21选做题(本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)图8A选修41：几何证明选讲(本小题满分10分)如图8，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C.若DADC，求证：AB2BC.证明连接OD，BD.因为AB是圆O的直径，所以ADB90，AB2OB.因为DC是圆O的切线，所以CDO90.又因为DADC，所以AC，于是ADBCDO，从而ABCO，即2OBOBBC，得OBBC.故AB2BC.10分B选修42：矩阵
18、与变换(本小题满分10分)已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成(2,4)(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值解(1)设矩阵A，这里a，b，c，dR，则8，故由于矩阵M对应的变换将点(1,2)换成(2,4)则，故联立以上两方程组解得a6，b2，c4，d4，故M.(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f ()(6)(4)821016，故矩阵M的另一个特征值为2.10分C选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cos
19、sin )40，求曲线C上的点到直线l的最大距离解将l转化为直角坐标方程为xy40.在C上任取一点A(cos ，sin ) ，0,2)，则点A到直线l的距离为d.当时，d取得最大值，最大值为2.10分D选修45：不等式选讲(本小题满分10分)已知实数a，b是非负实数，求证：a3b3(a2b2)证明由a，b是非负实数，作差得a3b3(a2b2)a2()b2() ()()5()5当ab时，从而()5()5，得()()5()50；当ab时，从而()5()5，得()()5()50.所以a3b3(a2b2).10分必做题(第22题、第23题，每题10分，共20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
20、)22(本小题满分10分)如图9，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD底面ABCD，且PAD是边长为2的等边三角形，PC，M在PC上，且PA平面BDM.图9(1)求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；(2)求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小解平面PAD平面ABCD，PAD为正三角形，作AD边上的高PO，平面PAD平面ABCDAD，由面面垂直的性质定理，得PO平面ABCD，又ABCD是矩形，同理可得CD平面PAD，知CDPD，PC，PD2，CD3.以AD中点O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，AD的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，则P(0,0，)，
21、A(1,0,0)，B(1,3,0)，C(1,3,0)，D(1,0,0)，(1,3，)，连接AC交BD于点N，由PA平面MBD，平面APC平面MBDMN，MNPA，又N是AC的中点，M是PC的中点，则M，5分设平面BDM的法向量为n(x，y，z)，(2，3,0)，则，令x1，解得y，z，得n.(1)设PC与平面BDM所成的角为，则sin ，直线PC与平面BDM所成角的正弦值为.(2)平面PAD的法向量为向量(0，3,0)，设平面BDM与平面PAD所成的锐二面角为，则cos ，故平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小为.10分23(本小题满分10分)已知Fn(x)(1)kCf k(x)(nN*)(1)若f k(x)xk，求F2 015(2)的值；(2)若f k(x)(x0，1，n)，求证：Fn(x). 【导学号：56394124】解(1)Fn(x)(1)kCf k(x)(x)kC(1x)n，F2 015(2)1.2分(2)证明：n1时，左边1右边假设nm时，对一切实数x(x0，1，m)，有 (1)kC，那么，当nm1时，对一切实数x(x0，1，(m1)，有 (1)kC1 (1)kCC(1)m1 (1)kC (1)kC (1)kC.即nm1时，等式成立故对一切正整数n及一切实数x(x0，1，n)，有 (1)kC.10分
