1、1.3 全称量词与存在量词课标要求考情分析核心素养1.理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定；2.能够对全称量词命题和存在量词命题的真假进行判断 该专题一般不单独命题，但与其它知识结合考查数学抽象数学运算逻辑推理1全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“”表示，含有全称量词的命题叫做全称量词命题.（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“”表示，含有存在量词的命题叫做存在量词命题.2全称量词命题与存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命
2、题.（2）含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM,pxx0M,px0x0M, px0xM,px3常见的否定形式原语句是都是至少有一个至多有一个对任意xA使px真p或qp且q否定形式不是不都是一个也没有至少有两个存在x0A使px0假非p且非q非p或非q1一个全称量词命题可以包含多个变量，如xR,yR,x2+y20，在全称量词命题中，有些量词可以省略2一个存在量词命题可以包含多个变量,如a,bR,a-b2=a+b2，有些存在量词命题的存在量词是省略的3含有一个量词的命题的否定规律是“先改量词，后否结论”4注意命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；5注意命题所含的量词，
3、对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定1.【P28 T2】命题p：xR，x2+2x+5=0是(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是命题(填“真”或“假”)2.【P35 T6】用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假：（1）实数都能写成小数形式 （2）有的有理数没有倒数（3）不论m取什么实数，方程x2+x-m=0必有实根 （4）存在一个实数x，使x2+x+40考点一全称量词与存在量词【方法储备】1.判断一个语句是全称量词命题还是特称量词命题的步骤:2. 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法：命题名称真假判断方法一判断方法二全称量词命题真限定的集合M中的每一个
4、元素x，证明px成立否定为假假举出集合M中的一个特殊值x=x0，使px0不成立否定为真存在量词命题真在限定的集合M中，找到一个x=x0，使px0成立否定为假假限定的集合M中的每一个元素x，证明px不成立否定为真【典例精讲】例1.(2021湖南模拟)已知a0，函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是()A.xR，f(x)f(x0) B.xR，f(x)f(x0) C.xR，f(x)f(x0) D.xR，f(x)f(x0)【名师点睛】本题考查二次函数的最值问题，全称量词命题和存在量词命题真假的判断，注意对符号和的区分和理解.【靶向训练】 练
5、1-1(2021云南省模拟.多选)下列存在量词命题是真命题的有()A.存在xQ,使2x-x3=0 B.存在xR，使得x2+x+1=0C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数练1-2(2022福建省泉州市模拟.多选)下列四个命题中是真命题的有( )A.任意xR,3x0 B.存在xR,x2+x+10C.任意xR,sinxx2+x+1考点二含有量词的命题的否定【方法储备】1.全称(存在)量词命题的否定是存在（全称）量词命题;2.全称(存在)量词命题否定是改变其量词,否定其结论,对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定；3. 全称(存在)量词命题与该命题的否定的真假性相反4.全称命题与特称命
6、题的否定方法：【典例精讲】例2.(2022江西省南昌市期中)命题“x0,+)，x3+x0”的否定是()A.x(-,0)，x3+x0B.x(-,0)，x3+x0C.x00,+)，x03+x00，xx-1”的否定为_练2-2(2022湖北省武汉市模拟.多选)下列说法中正确的有()A.“ab”是“ab”的充分不必要条件B.命题“xR,x2-x-2=0”的否定“xR,x2-x-20”C.若命题“xR,x2+1m”是真命题，则实数m的取值范围是-,1D.设a,bR，则“ab+1a+b”的充要条件是“a,b都不为1”考点三结合命题真假求参数的取值范围【方法储备】1.结合命题真假求参数的取值范围问题解题策略
7、：【典例精讲】例3.(2022江西省模拟)若“x1,2，使2x2-x+10”为真命题，则实数a的取值范围是()A. a4 B. a172 C. a5练3-2(2022河北省保定市期末)设p:x2-4ax+3a20，q:x2-11x+180()若命题“x1,2，p”是真命题，求a的取值范围；()若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围核心素养系列 逻辑推理恒成立与存在性问题【方法储备】逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。其关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达解决“任意性或存在性”问题关键在于将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域（或最值）之间
8、的关系通过此类问题的研究有助于提升学生的逻辑推理素养和形成良好的数学思维品质常见转化题型：1.恒成立问题的转化：afx恒成立afxmax; afx恒成立afxmin;2.存在性问题的转化：a,使得afxafxmin; a,使得afxafxmax;3.设函数fx, gx,对x1a,b, x2c,d,使得fx1gx2,则fx1mingx2min;4.设函数fx, gx,对x1a,b, x2c,d,使得fx1gx2,则fx1max gx2max;5.设函数fx, gx,x1a,b, x2c,d,使得fx1gx2,则fx1maxgx2min;6.设函数fx, gx,x1a,b, x2c,d,使得fx1
9、gx2,则fx1min gx2max.【典例精讲】例4.( 2022.湖北省模拟)设命题p：对任意x1,4，不等式x2-4x+2m2-3m恒成立；命题q：存在x0,12，使得不等式x2-x+m-540成立(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围【名师点睛】当题中含有“任意”“存在”时，“存在”需构造，“任意”需严格论证，本题考查命题真假的判定，恒成立问题的应用，不等式组的解，及学生的运算能力和数学思维能力.【靶向训练】练4-1(2022安徽省合肥市模拟)已知关于x的不等式ax2-3x+20的解集为x|xb()求a，b的值；()当x0，y
10、0且满足ax+by=1时，有2x+yk2+k+2恒成立，求k的取值范围练4-2(2022浙江省宁波市期末)已知函数f(x)=log2x-1x+1()证明：函数f(x)在(1,+)上为增函数;()若对于区间3,4上的每一个x值，不等式f(x)+x(12)x+m恒成立，求实数m的取值范围易错点1对量词否定不完全例5.(2022江西省模拟)命题“x1，都有ln x+x-10”的否定是()A. x1，都有lnx+x-10B. x01，使得lnx0+x0-10C. x01，使得lnx0+x0-10D. x01，使得lnx0+x0-10答案解析【教材改编】1.【解析】命题中含有量词“”，故为存在量词命题
11、又=22-45=-160恒成立，所以为假命题【考点探究】例1.【解析】x0 满足关于x的方程 2ax+b=0，x0=-b2a， a0,函数f(x)在x=x0处取到最小值是f(-b2a)=f(x0)， 等价于xR,f(x)f(x0),所以命题B,D正确，C错误 x=x0使得fxfx0，故命题A正确； 故选：C练1-1.【解析】A. 存在 x=0Q,使 2x-x3=0成立,故A正确； B.对应方程 x2+x+1=0,=-30恒成立,A是真命题 ; 又x2+x+1=x+122+340，B是假命题;由sin-32=12-32，知C是假命题;取x=-12时，cos-12cos-6=32，但x2+x+1=
12、3432，则D为真命题故选：AD例2.【解析】 命题“ x0,+),x3+x0”是一个全称量词命题 其否定命题为:x00,+),x03+x00，xx-1故答案为x0，xx-1练2-2.【解析】对于A,例如a=0,b=-1 满足ab,但|a|m”是真命题，则实数mx2+1min=1，所以C正确;对于D,设a，bR，则“ab+1a+b”(a-1)(b-1)0的充要条件是“a，b都不为1”,所以D正确故选BCD 例3.【解析】若“ x1,2 ，使得2x2-x+12x+1x成立”是假命题，故x1,2，2x+1x恒成立，令f(x)=2x+1x，x1,2，根据对勾函数的性质知：f(x)在1,2递增，所以f
13、(x)min=f(1)=3，3，故选：C练3-1.【解析】 “ x12,4,x2-ax+40 ”为真命题， 则x12,4时，a(x+4x)max ， 根据对勾函数单调性可知，当x=12 时，y=x+4x取得最大值172.所以a0，由x2-4ax+3a20可得ax3a因为“x(1,2)，x2-4ax+3a20”为真命题，所以(1,2)(a,3a)，即a1,3a2,解得23a1，即a的取值范围是23,1;()x2-4ax+3a20ax3a，x2-11x+1802x9，因为p是q的充分不必要条件，所以(a,3a)2，9，所以a2,3a9,解得2a3， 经验证符合(a,3a)2，9，即a的取值范围是2
14、,3.【素养提升】例4.【解析】 (1)命题p：对任意x1,4，不等式x2-4x+2m2-3m恒成立，即(x2-4x+2)minm2-3mx2-4x+2=(x-2)2-2，当x=2时，x2-4x+2取到最小值-2，-2m2-3m，1m2，所以p为真命题时，实数m的取值范围是1,2(2)由(1)可知，p为真命题时，实数m的取值范围是1,2命题q：存在x0,12，使得不等式x2-x+m-540成立，只需(x2-x+m-54)max0，而x2-x+m-54=(x-12)2+m-32，所以当x=0时，x2-x+m-54取到最大值为m-54，m-540,m54，即命题q为真命题时，实数m的取值范围是m5
15、4，依题意命题p，q一真一假，若p为假命题，q为真命题，则m2m54，得m2； 若q为假命题，p为真命题，则1m2m54，得1m0的解集为x|xb，所以1和b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根且a0，所以1+b=3a1b=2a，解得a=1b=2，解二：因为不等式ax2-3x+20的解集为x|xb，所以1和b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根且a0，由1是ax2-3x+2=0的根，有a-3+2=0a=1，将a=1代入ax2-3x+20，得x2-3x+20x2，所以b=2;()由()知a=1b=2，于是有1x+2y=1，故2x+y=(2x+y)(1x+2y)=4+yx+4xy8，当且仅当x
16、=2y=4时，等号成立，依题意有(2x+y)mink2+k+2，即8k2+k+2，得k2+k-60-3k2，所以k的取值范围为-3,2练4-2.【解析】()设x1，x2(1,+)且x1x2，则x1-1x1+1-x2-1x2+1=x1x2+x1-x2-1-(x1x2-x1+x2-1)(x1+1)(x2+1)=2(x1-x2)(x1+1)(x2+1)0，所以0x1-1x1+1x2-1x2+1，所以log2x1-1x1+1log2x2-1x2+1，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(1,+)上单调递增()由题意，mf(x)+x-12x恒成立，令g(x)=f(x)+x-(12)x，x1，x23,4且x1x2，则g(x1)-g(x2)=f(x1)+x1-(12)x1-f(x2)+x2-(12)x2=f(x1)-f(x2)+x1-x2+(12)x2-(12)x1，由()得f(x1)-f(x2)0，又x1-x20，(12)x2-(12)x10，所以g(x1)-g(x2)0，即g(x1)g(x2)，所以g(x)是3,4上的增函数，则g(x)min=g(3)=158，所以m158【易错点归纳】例5.【解析】命题“x1，都有lnx+x-10”的否定是：x01，使得lnx0+x0-10，故选D
