1、高考资源网（） 您身边的高考专家2020-2021学年甘肃省天水一中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题）.1. 已知等差数列中，则等于（ ）A. 15B. 30C. 31D. 64【答案】A【解析】【分析】根据条件求出等差数列的首项和公差，即可得答案；【详解】，故选：A.【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量运算，考查运算求解能力，属于基础题.2. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念，结合一元二次不等式的解法，即可得出结果.【详解】由得或，所以由“”可得
2、到“”，但由“”得不到是“”；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】结论点睛：判定命题的充分条件和必要条件时，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含3. 已知椭圆的左右焦点为，是椭圆上的点，且，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的定义，由即可求解.【详解】由椭圆，则，所以，所以.故选：D4. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ）A. 3
3、2B. 34C. 36D. 38【答案】A【解析】【分析】由题中条件，得到，展开后，利用基本不等式，即可求出结果.【详解】由，且，得，当且仅当，即时，取等号，此时，则的最小值为32故选：A.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地.5. 如图，在正三棱柱中，、分别是和
4、的中点，则直线与所成角的余弦值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】过点作交BC于Q，过点M作交BC于P，则点P为边BC靠近点B的四等分点且，为异面直线与的所成角，由勾股定理与余弦定理求得，再三角形AMP中，由余弦定理求得的值.【详解】过点作交BC于Q，过点M作交BC于P，则点P为边BC靠近点B的四等分点且，为异面直线与的所成角在正三棱柱中，、分别是和的中点，则,，则在三角形AMP中，故选：D【点睛】本题考查通过平移直线求空间中异面直线所成角的余弦值，属于中档题.6. 已知双曲线C：的离心率e，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为（ ）A. B. C. D. 【
5、答案】C【解析】【分析】根据焦点坐标，可求得c的值，根据离心率，可求得a的值，根据b2c2a2，可求得b的值，即可求得答案.【详解】根据右焦点为F2(5，0)，可得c5，又离心率为，所以a4，所以b2c2a29，所以双曲线方程为，故选：C.7. 已知抛物线的焦点为F，是C上一点，则=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出【详解】由抛物线可得，准线方程，是上一点，解得故选：8. 在三棱锥中，平面，分别是棱，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求解平面的法
6、向量，利用公式可求.【详解】以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，则,;,设为平面的一个法向量，则, 令，可得；设直线与平面所成角为，则.故选：C.【点睛】线面角的常用求法：定义法：作出平面的垂线，找到直线在平面内的射影，利用直角三角形求解线面角；法向量法：建立坐标系，求出平面的法向量，利用公式可得直线与平面的夹角.9. 函数在区间的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数值的符号可排除，由函数的极值点可排除，从而得到正确结果.【详解】因为当时，所以，图象落在第三象限，所以排除，因为，分析其单调性，可知其极大值点应为，在的右侧，故排除C，故选：D.【点
7、睛】方法点睛：该题考查函数图象的识别，通常采用排除法来进行判断；排除的依据通常为：（1）函数的定义域、奇偶性；（2）特殊位置的符号、单调性；（3）利用导数研究其单调性和极值点.10. 过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，所以，所以.故选：C【点睛】本题考查抛物线的几何性质
8、，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题二、填空题（共4小题）.11. 已知实数，满足，则的最大值为_.【答案】4【解析】【分析】根据线性规划画图,平移,求点,代值即可求出结果.【详解】解:作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)；观察可知，当直线过点时，有最大值；联立，解得，故的最大值为故答案为:4【点睛】用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：首先，要根据线性约束条件画出可行域 (即画出不等式组所表示的公共区域)设z0，画出直线l0观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解最后求得目标函数的最大值或最小值12. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围为_【答
9、案】【解析】【分析】根据全称命题是真命题可知判别式小于零，即得结果.【详解】全称命题是真命题，即在R上恒成立，则判别式，解得或，故答案为：.13. 数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】由递推关系可以得到数列是以3为周期的周期数列，进而得解.【详解】解：由已知，故，,数列是以3为周期周期数列，,故答案为：.【点睛】本题考查根据数列的对推关系求数列的特定项，关键是利用递推关系得到数列的周期性，进而求解.14. 已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据题意，得到和有四个交点，结合函数图象，分别讨论，两种情况，结合导函数的方法，利用数形结合的方法求解即可.【详
10、解】若函数有四个零点，需和有四个交点，作出函数和的图象如下图所示，当时，由图象可得，显然不满足题意；当时，因直线恒过点，设与相切于点，则，由，得，所以，解得，即当时，函数和有两个交点.当时，若与有两个交点，需方程有两个不相等的实根，即方程有两个不相等的实根，所以只需，解得或，所以；综上时，函数有四个零点.故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系
11、中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题（共44分）15. 已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据与的关系进行求解即可；（2）由（1）得出数列的通项公式，再由裂项相消求和法得出【详解】（1）当时，；当时，若时，故，（2）依题意，故16. 如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得平面，从而得，再由即可得出平面，即得证；（2）取中点，连接，以，为，轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求出.【详解】
12、（1）证明：在四棱锥中，因为平面平面，平面平面，又因为，平面，所以平面.因为平面，所以.因为，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：取中点，连接，因为，所以因为平面平面，平面平面，因为平面，所以平面，所以，.因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以.以，所在的直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则.设平面的法向量为，则，即，令，则.所以.易判断二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】利用法向量求解空间线面角关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求
13、法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.17. 已知函数，其中，是自然对数的底数.（1）当时，求函数在区间的零点个数；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1个；（2）.【解析】【分析】（1）求导得到函数的单调性，再利用零点存在性定理得解（2）分离参变量，不等式恒成立转化为求函数的最值得解【详解】（1），故在递增，又，故在上存在唯一零点因此在区间的零点个数是1个；（2），恒成立，即，恒成立令，则，令，时，时，故在递减，递增，因此所以，故在递增故，因此.【点睛】不等式恒成立问题解决思路：一般参变分离、转化为最值问题.18. 已知点，椭圆的离心率为，F是椭圆E的右焦点
14、，直线的斜率为，O是坐标原点.（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设，由已知得，求得c，再由离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，当轴时，不合题意，设，联立直线方程与椭圆方程，求出P、Q的横坐标，代入弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求得O到的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求最值，同时求得当的面积最大时直线l的方程.【详解】解：（1）设，由条件知，得，又，故E的方程为：；（2）当轴时，不合题意，故设，联立，得.当，即时，.从而.又点O到直线的距离.的面积为，设，则，当且仅当，即时取“=”.，即时等号成立，且满足，当的面积最大时，l的方程为或.【点睛】关键点睛：求出，运用换元法、基本不等式是解题的关键.- 17 - 版权所有高考资源网
