1、第2章 点、直线、平面之间的位置关系一、平面知识要点：1点在直线上，记作；点在平面内，记作；直线在平面内，记作2平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号语言3公理2的三条推论：推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面例1空间四边形ABCD中，E、F、G、H
2、分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点证明：PEF，EF面ABC，P面ABC同理P面ADCP在面ABC与面ADC的交线上，又面ABC面ADC=AC，PAC，即EF、HG、AC三线共点例2求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线AB，BC，CA两两相交，交点分别为A，B，C，求证：直线AB，BC，CA共面证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面因为A，B，所以AB同理BC，AC所以AB，BC，CA三直线共面例3在正方体中，（1）与是否在同一平面内？（2）点是否在同一平面内？（3）画出平面与平
3、面的交线解：（1）在正方体中，由公理2的推论可知，与可确定平面，与在同一平面内（2）点不共线，由公理3可知，点可确定平面， 点在同一平面内（3），点平面，平面，又平面，平面，平面平面二、 空间中直线与直线之间的位置关系知识要点：1空间两条直线的位置关系：2已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算例1已知异面直线a和b所成的角为50，P为空
4、间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30的直线有且仅有（ ）A1条 B2条 C3条 D4条答案：B解析：过P作a，b，若Pa，则取a为，若Pb，则取b为这时，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50和130记，所确定的平面为，那么在平面内，不存在与，都成30的直线过点P与，都成30角的直线必在平面外，这直线在平面的射影是，所成对顶角的平分线其中射影是50对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130对顶角平分线的直线不存在故答案选B例2如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点（1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点
5、R，求证：P、Q、R三点共线证明：（1）正方体中，又中，E、F为中点， ，即D、B、F、E四点共面（2），又，即P、Q、R三点共线例3已知直线a/b/c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面证明：因为a/b，由公理2的推论，存在平面，使得又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，假设，则，在平面内过点C作，因为b/c，则，此与矛盾故直线综上所述，a、b、c、d四线共面例4如图中，正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小解：（1）如图，连结DC1，D
6、C1AB1，DC1和CC1所成的锐角CC1D就是AB1和CC1所成的角CC1D=45，AB1和CC1所成的角是45（2）如图，连结DA1、A1C1， EFA1D，AB1DC1，A1DC1是直线AB1和EF所成的角A1DC1是等边三角形，A1DC1=60，即直线AB1和EF所成的角是60三、直线与平面、平面与平面位置关系知识要点：1直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）分别记作：；2两平面的位置关系：平行（没有公共点），相交（有一条公共直线）分别记作；例1已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等
7、，求异面直线AB和CD所成的角的大小ABCDEFGH解：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PNAB，PMCD，于是MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示），连结MN、DN，设AB=2，PM=PN=1，而AN=DN=，由MNAD，AM=1，得MN=，MN2=MP2+NP2，MPN=90异面直线AB、CD成90角例2已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且求证：E、F、G、H四点共面证明：在ABD和CBD中，E、H分别是AB和AD的中点，EHBD又，FGBDEHFG所以，E、F、G、H四点共面四、直线与
8、平面平行的判定知识要点：1直线与平面平行的定义：直线与平面无任何公共点2判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）证明两直线平行的主要方法是：三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；平行线的传递性：面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；垂直于同一平面的两直线平行 例1已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB
9、、PD的中点，求证：AF平面PEC证明：设PC的中点为G，连接EG、FG，F为PD中点，GFCD且GF=CDABCD，AB=CD，E为AB中点，AECD且AE =CDGFAE，GF=AE，四边形AEGF为平行四边形EGAF，又AF平面PEC，EG平面PEC，AF平面PEC例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点， 求证：EF平面BB1D1D证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OEDC，OE=DCDCD1C1，DC=D1C1，F为D1C1的中点，OED1F，OE=D1F，四边形D1FEO为平行四边形，EFD1OABC D E F GM O 又EF平面BB1D
10、1D，D1O平面BB1D1D，EF平面BB1D1D例3如图，已知、分别是四面体 的棱、的中点，求证：平 面证明：如右图，连结，交于点，连结，在中，、分别是、中点，为中点，为中点，在中，、为、中点，又平面，平面，平面点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了， 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用例4如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：MN/平面PAD；（2）若，求异面直线PA与MN所成的角的大小解：（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点，NH由M是AB的中点， NHAM，即AMNH为平行四边形
11、由，（2）连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，OMBC，ONPA，所以就是异面直线PA与MN所成的角由，得OM=2，ON=，MONO，即异面直线PA与MN成30的角点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行， 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得五、平面与平面平行的判定知识要点：A1AB1BC1CD1DGEF面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行用符号表示为：例1正方体ABCDA1B1C1D1中（1）求证：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E、F分别是AA
12、1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD 证明：（1）由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD，又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD（2）由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中点G，AEB1G从而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFNMPDCQBADF平面EB1D1又BDDF=D，平面EB1D1平面FBD例2已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形点M、N、Q分别在PA、BD、PD上， 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD求证：平面MNQ平面PB
13、C证明：PM：MA=BN：ND=PQ：QD，MQ/AD，NQ/BP，而BP平面PBC，NQ 平面PBC，NQ/平面PBC，又ABCD为平行四边形，BC/AD，MQ/BC，而BC平面PBC，MQ 平面PBC， MQ/平面PBC由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理，平面MNQ平面PBC点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行一般证“面面平行”问题最终转化为证线与线的平行六、直线与平面平行的性质知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行即：例1经过正方
14、体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1EB1B证明：，又，则例2如图，求证：证明：连结，ABCD，直线和可以确定一个平面，记为，又，四边形为平行四边形，七、平面与平面平行的性质知识要点：1面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行用符号语言表示为：2其它性质：；夹在平行平面间的平行线段相等例1如图，设平面平面，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D求证：MN证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE，则MEAC，ME，又NEBD，NE，NE，又MENE=E，平面MEN，MN平面M
15、EN，MN八、直线与平面垂直的判定知识要点：1定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作， 即平面的垂线，即直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足（线线垂直线面垂直）2判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直符号语言表示为：若，B，则3斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和斜线在平面内的射影的夹角求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）证（证所作为所求）求（解直角三角形）”通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键
16、4证明两直线垂直和主要方法：利用勾股定理证明两相交直线垂直；利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）；利用圆中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论例1四面体中，分别为的中点，且，求证：平面证明：取的中点，连结，分别为的中点，又，在中，又，即，平面例2已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值解：取CD的中点F，连接EF交平面于O，连AO由已知正方体，易知平面，所以为所求
17、，在中，所以直线AE与平面所成的角的正弦值为例3三棱锥中，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面ABC的垂心，证明：连接OA、OB、OC，平面ABC，又，得，O为底面ABC的垂心点评：此例可以变式为“已知，求证”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到后进行证明三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出九、平面与平面垂直的判定知识要点：1定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面记作二面角（简记）2二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角范围：3定义：两个平面相交
18、，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直记作4判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（线面垂直面面垂直）例1已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P（1）求证：APEF；（2）求证：平面APE平面APF证明：（1）如右图，APE=APF=90，PEPF=P，PA平面PEFEF平面PEF，PAEF（2）APE=EPF=90，APPF=P，PE平面APF又PE平面APE，平面APE平面APF例2如图，在空间四边形ABCD中，分别是的中点，求证：平面平面证明：为AC中点，所
19、以同理可证， 面BGD又易知EF/AC，则面BGD又因为面BEF，所以平面平面十、线面、面面垂直的性质知识要点：1线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行（线面垂直线线平行）2面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直用符号语言表示为：若，则（面面垂直线面垂直）ACBa例1把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？解：注：若BC与a垂直，同理可得AB与a也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法：“线线垂直线面垂直线线垂直”例2如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC （1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面解：（1）证明：C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径，BCAC又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，从而BC平面PACBC平面PBC，平面PAC平面PBC（2）平面PAC平面ABCD；平面PAC平面PBC；平面PAD平面PBD；平面PAB平面ABCD；平面PAD平面ABCD本章总结
