1、第5讲直线、平面垂直的判定与性质考纲解读掌握线线、线面、面面垂直的判定定理和性质定理，并能应用它们证明有关空间图形的垂直关系的简单命题(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容预测2021年将会以以下两种方式进行考查：以几何体为载体考查线面垂直的判定和性质；根据垂直关系的性质进行转化试题以解答题第一问直接考查，难度不大，属中档题型1.直线与平面垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.平面与平面垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个
2、平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l3.直线和平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角(2)范围：(0，904.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(2)范围：0，1805.必记结论(1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线(3)过空
3、间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直(5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直(6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面1.概念辨析(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()答案(1)(2)(3)(4)2.小题热身(1)下列命题中不正确的是()A.如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面B.如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C
4、.如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D.如果平面平面，平面平面，l，那么l答案A解析A错误，如图1所示，在长方体中，l，但l；B正确，设l，则内与l平行的直线都与平行；C正确，由面面垂直的判定可知；D正确，如图2所示，在平面内，作与交线的垂线m，在平面内作与的交线的垂线n，由得m，由得n，所以mn.可推出m，进而推出ml，所以l.(2)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A.AG平面EFH BAH平面EFHC.HF平
5、面AEF DHG平面AEF答案B解析根据折叠前、后AHHE，AHHF不变，AH平面EFH，B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，A不正确；AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAG平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C不正确；已证平面HAG平面AEF，若证HG平面AEF，只需证HGAG，已证AHHG，故HGAG不成立，所以HG与平面AEF不垂直，D不正确故选B.(3)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为_答案解析连接A1C1，则AC1A1为AC1与平面A1B1
6、C1D1所成的角因为ABBC2，所以A1C1AC2，又AA11，所以AC13，所以sinAC1A1.(4)已知PD垂直于菱形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_对答案4解析由于PD平面ABCD，故平面PAD平面ABCD，平面PDB平面ABCD，平面PDC平面ABCD，由于AC平面PDB，所以平面PAC平面PDB，共4对.题型 一直线与平面的位置关系角度1直线与平面所成的角1.(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A.8 B6 C8 D8答案C解析如图，在长方体AB
7、CDA1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知AC1B30，因为AB2，tan30，所以BC12，从而求得CC12，所以该长方体的体积为V2228.故选C.角度2直线与平面垂直的判定和性质2.(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积解(1)证明：由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B
8、1E，所以AEBA1EB145，故AEAB3，AA12AE6.如图，作EFBB1，垂足为F，则EF平面BB1C1C，且EFAB3.所以四棱锥EBB1C1C的体积V36318.1.求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角如举例说明1.2.证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，这是主要证明方法如举例说明2(1)(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与
9、另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理.1.已知一个正四棱柱的体对角线长为，且体对角线与底面所成的角的余弦值为，则该四棱柱的表面积为_答案10解析由图可知，BD，DD12，底面边长AB1，所以所求表面积为4AA1AB2AB242121210.2如图，S是RtABC所在平面外一点，且SASBSC，D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在RtABC中，D，E分别为AC，AB的中点DEBC，DEAB，SASB，SEAB.又SEDEE，AB平面SDE.又SD平面SDE，ABSD.在SAC中，SASC
10、，D为AC的中点，SDAC.又ACABA，SD平面ABC.(2)由于ABBC，则BDAC，由(1)可知，SD平面ABC，又BD平面ABC，SDBD，又SDACD，BD平面SAC.题型 二面面垂直的判定与性质如图，三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，ACB90，M是AB的中点，ACCBCC12.(1)求证：平面A1CM平面ABB1A1；(2)求点M到平面A1CB1的距离解(1)证明：由A1A平面ABC，CM平面ABC，得A1ACM.ACCB，M是AB的中点，ABCM.又A1AABA.CM平面ABB1A1，又CM平面A1CM，平面A1CM平面ABB1A1.(2)设点M到平面A1CB1的距
11、离为h，由题意可知A1CCB1A1B12MC2，SA1CB1(2)22，SA1MB1S四边形ABB1A1222.由(1)可知CM平面ABB1A1，得VCA1MB1MCSA1MB1VMA1CB1hSA1CB1.点M到平面A1CB1的距离h.证明面面垂直的两种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线面垂直加以解决如举例说明中(1)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与
12、棱PD交于点F.(1)求证：ABEF；(2)若AFEF，求证：平面PAD平面ABCD.证明(1)因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD.又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC，又AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD.因为AFEF，(1)中已证ABEF，所以ABAF.又ABAD，由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.题型 三平面图形的翻折问题(2019全国卷)图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC
13、组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积解(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四边形BCGE是菱形，且EBC60，得EMCG，故CG平面DE
14、M.因此DMCG.在RtDEM中，DE1，EM，故DM2.所以四边形ACGD的面积为4.平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征解决此类问题的步骤为：(2019合肥二检)如图1，在平面五边形ABCDE中，ABCE，且AE2，AEC60，CDED，cosEDC.将CDE沿CE折起，使点D到P的位置，且AP，得到如图2所示的四棱锥PABCE.(1)求证：AP平面ABCE；(2)记平面PAB与平面PCE相交于直线l，求证：ABl.证明(1)在CDE中，C
15、DED，cosEDC，由余弦定理得CE2.连接AC，如图，AE2，AEC60，AC2.又AP，在PAE中，PA2AE2PE2，即APAE.同理，APAC.ACAEA，AC平面ABCE，AE平面ABCE，AP平面ABCE.(2)ABCE，且CE平面PCE，AB平面PCE，AB平面PCE.又平面PAB平面PCEl，ABl.组基础关1已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABm BACm CAB DAC答案D解析如图所示，ABlm；ACl，mlACm；ABlAB，只有D不一定成立，故选D.2(2019武汉模拟)已知两个平面相互垂直
16、，下列命题：一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析由题意，对于，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故错误；对于，设平面平面m，n，l，平面平面，当lm时，必有l，而n，ln，而在平面内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的己知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即正确；对于，当两个平面垂直时，一个平面内的任
17、一条直线不垂直于另一个平面，故错误；对于，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故正确3如图所示，三棱锥PABC的底面在平面内，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A一条线段B一条直线C一个圆D一个圆，但要去掉两个点答案D解析平面PAC平面PBC，而平面PAC平面PBCPC.又AC平面PAC，且ACPC，AC平面PBC，而BC平面PBC，ACBC，点C在以AB为直径的圆上，点C的轨迹是一个圆，但是要去掉A和B两点故选D.4. (2020江西南昌摸底)如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，B
18、DAC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部答案A解析因为ABAC，BDAC，ABBDB，所以AC平面ABD，又AC平面ABC，所以平面ABC平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上故选A.5如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为()A. B1 C. D2答案A解析设B1Fx，因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知可以得A1B1，矩形ABB1A1中，tanFDB1，t
19、anA1AB1.又FDB1A1AB1，所以.故B1F.故选A.6(2019全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB.ECD是正三角形，EFCD.平面ECD平面ABCD，EF平面ABCD.EFFN.不妨设AB2，则FN1，EF，EN2.EMMD，DGGF，MGEF且MGEF，MG平面ABCD，MGBG.MG
20、EF，BG ，BM.BMEN.连接BD，BE，点N是正方形ABCD的中心，点N在BD上，且BNDN，BM，EN是DBE的中线，BM，EN必相交故选B.7(2019湖北省“四地七校”联考)现有编号为、的三个三棱锥(底面水平放置)，俯视图分别为图1、图2、图3，则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是()A B C D答案A解析编号为的三棱锥，其直观图可能是，侧棱VC底面ABC，则侧面VAC底面ABC，满足题意；编号为的三棱锥，其直观图可能是，侧面PBC底面ABC，满足题意；编号为的三棱锥，顶点的投影不在底面边上(如图)，不存在侧面与底面垂直故答案为A.8(2019北京高考)已知l，
21、m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.答案若m且l，则lm(或若lm，l，则m)解析已知l，m是平面外的两条不同直线，由lm与m，不能推出l，因为l可以与平行，也可以相交不垂直；由lm与l能推出m；由m与l可以推出lm.故正确的命题是或.9如图，平面ABC平面BDC，BACBDC90，且ABACa，则AD_.答案a解析作BC的中点E，连接AE，DE，则在RtABC中，ABACa，由勾股定理得BC2AEa，且有AEBC，又平面ABC平面BDC，平面ABC平面BDCBC，且直线AE在平面ABC内，由面面垂直
22、的性质定理得AE平面BDC，DE平面BDC内，AEDE，又在RtBCD中，点E是BC的中点，DEa，在RtADE中，AEa，由勾股定理得ADa.10(2019全国卷)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_答案解析如图，过点P作PO平面ABC于点O，则PO为P到平面ABC的距离再过O作OEAC于点E，OFBC于点F，连接PC，PE，PF，则PEAC，PFBC.又PEPF，所以OEOF，所以CO为ACB的平分线，即ACO45.在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以OE1，所以PO.组能力关1如图，在四棱锥PABCD中
23、，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点为M，又PAAB4，ADCD，CDA120，N是CD的中点(1)求证：平面PMN平面PAB；(2)求点M到平面PBC的距离解(1)证明：在正ABC中，AB BC，在ACD中，ADCD，易证ADBCDB，所以M为AC的中点，因为N是CD的中点，所以MNAD.因为PA平面ABCD，所以PAAD，因为CDA120，所以DAC30，因为BAC60，所以BAD90，即BAAD.因为PAABA，所以AD平面PAB，所以MN平面PAB.又MN平面PMN，所以平面PMN平面PAB.(2)设点M到平面PBC的距离为h，在RtPAB中，PAAB4，所以PB4，
24、在RtPAC中，PAAC4，所以PC4，在PBC中，PB4，PC4，BC4，所以SPBC4.由ABC是正三角形，M是AC的中点，得BMAC，在RtBMC中，MC2，BM2，所以SBMC2.由VMPBCVPBMC，即4h24，解得h，所以点M到平面PBC的距离为.2(2019湖南长郡中学模拟)如图，在多边形ABPCD中(图1)，四边形ABCD为长方形，BPC为正三角形，AB3，BC3，现以BC为折痕将BPC折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上(图2)(1)证明：PD平面PAB；(2)若点E在线段PB上，且PEPB，当点Q在线段AD上运动时，求三棱锥QEBC的体积解(1)证明：过点P作P
25、OAD，垂足为O.由于点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上，PO平面ABCD.POAB.四边形ABCD为矩形，ABAD.又ADPOO，AB平面PAD，ABPD.又由AB3，PB3，可得PA3，同理PD3.又AD3，PA2PD2AD2，PAPD，且PAABA，PD平面PAB.(2)设点E到底面QBC的距离为h，则VQEBCVEQBCSQBCh.由PEPB，可知，h.又SQBCBCAB33，VQEBCSQBCh3.3(2019合肥一中模拟)如图，四边形ABCD为矩形，点A，E，B，F共面，且ABE和ABF均为等腰直角三角形，且BAEAFB90.(1)若平面ABCD平面AEBF，证明：平面BCF平
26、面ADF；(2)问在线段EC上是否存在一点G，使得BG平面CDF，若存在，求出此时三棱锥GABE与三棱锥GADF的体积之比解(1)证明：四边形ABCD为矩形，BCAB，又平面ABCD平面AEBF，BC平面ABCD，平面ABCD平面AEBFAB，BC平面AEBF，又AF平面AEBF，BCAF.AFB90，即AFBF，又BC平面BCF，BF平面BCF，BCBFB，AF平面BCF，又AF平面ADF，平面BCF平面ADF.(2)BCAD，AD平面ADF，BC平面ADF.ABE和ABF均为等腰直角三角形，且BAEAFB90，FABABE45，AFBE，又AF平面ADF，BE平面ADF，BCBEB，平面BCE平面ADF.延长EB到点H，使得BHAF，又BC綊AD，连接CH，HF，易证四边形ABHF是平行四边形，HF綊AB綊CD，四边形HFDC是平行四边形，CHDF.过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BGCHDF，又DF平面CDF，BG平面CDF，BG平面CDF，即此点G为所求的G点又BEAB2AF2BH，EGEC，又SABE2SABF，VGABEVCABEVCABFVDABFVBADFVGADF，故.
