1、1.1.1 空间向量及其线性运算 教材要点要点一空间向量的有关概念定义在空间，把具有_和_的量叫做空间向量长度向量的_叫做向量的长度或_表示法几何表示法：空间向量用_表示字母表示法：若向量 a 的起点是 A，终点是 B，则向量a 也可以记作AB，其模记为|a|或|AB|.大小方向大小模有向线段方法技巧空间向量在空间中是可以任意平移的，这是向量与有向线段的本质区别要点二 几类特殊向量特殊向量定义表示法零向量长度为_的向量0单位向量 模为_的向量|a|1或|AB|1相反向量 与a长度_而方向_的向量称为a的相反向量a相等向量 方向_且模_的向量ab或ABCD01相等相反相同相等方法技巧空间向量的定
2、义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同，因此可以进行类比学习要点三 空间向量的线性运算运算法则(或几何意义)运算律加法ab(1)交换律：ab_；(2)结合律：(ab)c_减法ababa(b)baa(bc)数乘a(1)|a|_；(2)当0时，a的方向与a的方向_；当0时，a的方向与a的方向_；当0时，a0(a)a；()aaa；(ab)ab|a|相同相反方法技巧1.当两个以上的空间向量相加时，可将三角形法则推广到多边形法则：n 个向量首尾顺次相接，则封闭折线的起点指向终点的有向线段表示的向量就是它们的和，即A0A1 A1A2 A2A3 An2An1An1AnA0A
3、n.2对空间向量数乘运算的理解：(1)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如 a无意义(2)任何实数与向量的积仍是一个向量空间向量的数乘运算可以把向量的模扩大(当|1 时)，也可以缩小(当|1 时)；可以不改变向量的方向(当0 时)，也可以改变向量的方向(当0 时)(3)注意实数与向量的乘积的特殊情况：当0 时，a0；当0 时，若 a0，则 a0.(4)由于向量 a，b可平移到同一个平面内，故 a b，a，b，(a b)也都在这个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立要点四 共线向量与共面向量1共
4、线向量(1)定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_或_，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作_(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是_平行重合ab存在实数，使ab方法技巧理解共线向量的定义时，要注意以下两点(1)零向量和空间任一向量是共线向量(2)共线向量不具有传递性，如 a b，b c，但 a c不一定成立，因为 b 0时，虽然 a b，b c，但 a不一定与 c共线2共面向量(1)定义：平行于同一平面的向量，叫做共面向量(2)共面向量定理：如果两个向量a，b_，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是_不共线存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxa
5、yb方法技巧(1)向量 p与 a，b共面的充要条件是在向量 a与 b不共线的前提下才成立的，若 a与 b共线，则不成立(2)设非零向量 a，b，c所在的直线分别为 a，b，c，则有 a平面a平面或 a 平面；a，b，c 三线共面 a，b，c共面，反之不成立答疑解惑1向量的线性运算结果，与向量起点的选择没有关系2交换律的证明：由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律，如图(1)结合律的证明：如图(2)，(ab)c(OA AB)BCOB BCOC，a(bc)OA(ABBC)OA ACOC，所以(ab)ca(bc)
6、注意：证明平面向量加法的结合律时三个向量在同一个平面内，证明空间向量加法的结合律时三个向量不在同一个平面内基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同()(2)空间两个向量的加减运算与平面内两向量的加减法运算完全一致()(3)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算()(4)在四边形ABCD中，一定有ABAD AC.()2如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，在下列选项中，与CD 相等的向量是()A.ABB.A1C1C.B1A1 D.AA1解析：与CD 相等的向量是B1A1.答案：C3(多选)已知空间向量AB，B
7、C，CD，AD，则下列结论正确的是()A.ABBCCDB.ABDC BCADC.AD ABBCCD D.BCBD DC答案：BC4在三棱锥ABCD中，若BCD是正三角形，E为其中心，则AB12BC32DE AD 化简的结果为_解析：延长 DE 交边 BC 于点 F，则有AB12BCAF，32DEAD ADDFAF，故AB12BC32DE AD 0.答案：0题型一空间向量的概念自主完成1(多选)下列说法中正确的是()A若|a|b|，则 a，b 的长度相同，方向相同或相反B若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|b|C空间向量的减法满足结合律D若空间向量 m，n，p 满足 mn，np，则 mp
8、解析：|a|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量ba，故|a|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；根据相等向量的定义知D正确故选BD.答案：BD2下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是()A零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等B零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等C零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量D零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同解析：因为零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故选C.答案：C3(多填题)如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，顶点连接的向量中，与向量 AA相
9、等的向量有_；与向量AB相反的向量有_(要求写出所有适合条件的向量)解析：根据相等向量的定义知，与向量AA 相等的向量有BB，CC，DD，与向量AB相反的向量有BA，BA，CD，CD.答案：BB，CC，DD；BA，BA，CD，CD.方法技巧解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向(2)注意点：注意一些特殊向量的特性零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是 1.两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同若两个
10、向量模相等，方向相反，则它们为相反向量题型二空间向量的线性运算例 1(1)(多选)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，下列各式运算结果为BD1 的是()A.A1D1 A1A ABB.BC BB1 D1C1C.AD ABDD1D.B1D1 A1A DD1解析：(1)A中，A1D1 A1A ABAD1 ABBD1；B中，BCBB1 D1C1 BC1 C1D1 BD1；C中，AD ABDD1 BD DD1 BD BB1 B1D BD1；D中，B1D1 A1A DD1 BD AA1 DD1 BD1 AA1 BD1.故选AB.答案：(1)AB(2)如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D
11、1 中，设AA1 a，ABb，AD c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：AP；A1N；MP NC1.结合数乘向量、三角形法则及平行四边形法则求解.解析：(2)点P是C1D1的中点，AP AA1 A1D1 D1P AA1 AD 12ABac12b，点N是BC的中点，A1N A1A ABBN AA1 AB 12AD ab12c，点M是AA1的中点，MP NC1 MA1 A1D1 D1P NCCC1 12ac12b12ca32a12b32c.答案：(2)见解析方法技巧和空间向量的线性运算相关的结论(1)位置向量：AB OB OA.(2)在平行六面
12、体 ABCDA1B1C1D1 中，有AC1 AB AD AA 1.(3)若 G 为ABC 的重心，则AG BG CG 0.(4)若 O 为空间中任意一点，则点 P 是线段 AB 中点的充要条件是OP12(OA OB)；若 G 为ABC 的重心，则OG 13(OA OB OC)方法技巧进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中变式训练 1如图，已知空间四边形 OABC，M，N 分别是边OA，BC 的中点，点 G 在 MN 上，且 MG2GN，设OA a，OB b，O
13、C c，试用 a，b，c 表示向量OG.解析：OG OM MG12OA 23MN12OA 23(MA ABBN)12OA 2312OA OB OA 12BC12OA 23OB 12OA 12(OC OB)16OA 13OB 13OC 16a13b13c.题型三共线向量定理的应用例 2(1)设 e1，e2 是空间两个不共线的向量，已知ABe1ke2，BC5e14e2，DC e12e2，且 A，B，D 三点共线，实数 k_.解析：(1)AD ABBC CD(e1ke2)(5e14e2)(e12e2)7e1(k6)e2.设AD AB，则7e1(k6)e2(e1ke2)，所以7kk6，解得k1.答案：
14、(1)1(2)如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且CF 23CB，CG 23CD.求证：四边形EFGH是梯形解析：(2)证明：E，H分别是边AB，AD的中点，AE 12AB，AH 12AD.则EH AH AE12AD 12AB12(AD AB)12BD.FG CG CF23CD 23CB23(CD CB)23BD，EH FG 且|EH|34|FG|FG|.又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形答案：(2)见解析方法技巧证明四边形 EFGH 为梯形，必须证明两点：EH FG，|EH|FG|；F 不在 EH 上，否则 E，F，G，H
15、四点可能共线方法技巧1证明(或判断)A，B，C 三点共线，只需证明存在实数，使ABBC 即可也可用“对空间任意一点 O，有OB tOA(1t)OC”来证明三点共线证明三点共线时，关键是利用向量的线性运算将相关向量线性表示2证明两直线平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算并结合共线向量定理证明向量共线，再利用两向量不在同一条直线上得到线线平行说明：对于空间的线面平行、面面平行的证明问题，可根据判定定理将其转化为证明线线平行，然后利用共线向量定理进行证明变式训练 2已知非零向量 a、b，且ABa2b，BC5a6b，CD 7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，DBA，
16、B，CCB，C，DDA，C，D解析：因为AD AB BC CD(a2b)(5a6b)(7a2b)3a6b，所以AD 3AB.又直线AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线答案：A题型四共面向量定理的应用探究 1判断向量是否共面例 3设 a、b、c 是空间不共面的三个向量，若 p3a2bc，mabc，nabc，试判断 p，m，n 是否共面解析：显然m与n不共线，假设m、n、p共面，则存在实数x，y使得pxmyn，所以3a2bcx(abc)y(abc)(xy)a(xy)b(xy)c.因为a，b，c不共面，所以xy3，xy2，xy1，此方程组无解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面探究 2
17、判断四点是否共面例 4如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N，P，Q 分别为 A1D1，D1C1，AA1，CC1 的中点，求证：M，N，P，Q 四点共面证明：令D1A1 a，D1C1 b，D1D c，M，N，P，Q均为棱的中点，MN 12b12a，MP MA1 A1P 12a12c，MQ MD1 D1C1C1Q 12ab12c.令MQ MN MP(，R)，则12ab12c12b12a12a12c12()a12b12 c，1212，121，1212，解得2，1.MQ 2MN MP，向量MQ，MN，MP 共面，M，N，P，Q四点共面方法技巧需注意的是共面向量所在的直线不一定共面，
18、只有这些向量都过同一点时，向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)方法技巧证明空间向量共面或四点共面的方法1向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若 pxayb，则向量 p，a，b 共面2若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点 O，有OP xOA yOBzOC，且 xyz1 成立，则 P，A，B，C 四点共面3用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行变式训练 3(1)在下列条件中，使 M 与 A，B，C 一定共面的是()A.OM 2OA OB OCB.OM 15OA 13OB12OCC.MA MB MC 0D.OM OA OB OC 0解析：(
19、1)由MA MB MC 0得MA MB MC，故M，A，B，C四点共面答案：(1)C(2)已知O是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA 2xBO 3yCO 4zDO，则2x3y4z_.解析：(2)由OA 2xBO 3yCO 4zDO 得OA 2xOB 3yOC4zOD，所以2x3y4z1，即2x3y4z1.答案：(2)1易错辨析错把向量与平面平行认为线面平行例 5已知 AB，CD 是异面直线，CD，AB，M，N 分别是 AC，BD 的中点证明：MN.证明：因为CD，AB，且AB，CD是异面直线，所以在平面内存在向量a，b使得ABa，CD b，且两个向量不共线由M，N分别是AC，BD的中点，得MN 12(MA AB BN MC CD DN)12(ABCD)12(ab)所以MN，a，b共面，所以MN或MN.若MN，则AB，CD必在平面内，这与已知AB，CD是异面直线矛盾故MN.【易错警示】易错原因纠错心得本题易由MN 12(ab)直接得到MN.忽略对 MN 这种情况的讨论.线面平行要求直线必须在平面外，而在利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面之间的位置关系.谢谢 观 看
