1、第八节二项分布与正态分布1条件概率2.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与B、A与B、A与B也都相互独立，P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A)3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中A(i1，2，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)
2、，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率4正态分布(1)正态分布的定义一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(，2)(2)正态曲线的特点：曲线位于x轴的上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)0.682_6；P(2X2)0.954_4；P(3X3)0.997_41(质疑夯基
3、)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若事件A，B相互独立，则P (B|A)P(B)()(2)P(BA)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)P(A)P(B)()(3)在正态分布函数(x)e中，是正态分布的期望值，是正态分布的标准差()(4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(Xk)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布()答案：(1)(2)(3)(4)2已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为()
4、A.B.C. D.解析：设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，依题意P(A)，P(AB).故P(B|A).答案：B3(2015课标全国卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648 B0.432C0.36 D0.312解析：3次投篮投中2次的概率为P(k2)C0.62(10.6)20.63投中3次的概率为P(k3)0.63，故所求事件的概率pP(k2)P(k3)0.648.答案：A4(2016郑州调研)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P
5、(04)()A0.6 B0.4C0.3 D0.2解析：由P(4)0.8，得P(4)0.2.又正态曲线关于x2对称则P(0)P(4)0.2，P(04)1P(0)P(4)0.6.答案：A5国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为_解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，且A、B相互独立，A与B相互独立依题意，P(A)1，P(B)1.又P(A B)P(A)P(B).甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，所求概率为1P(A B)1.答案：.一个区别相互独
6、立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互互斥事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生两种分布1判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：(1)是否为n次独立重复试验在每次试验中事件A发生的概率是否均为P.(2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数两点分布是特殊的二项分布，即n1的二项分布2若X服从正态分布，即XN(，2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为l.两种方法求条件概率有两种方法：1定义法：P(B|A).2基本事件法：若n(C)表示试验中事件C包含的基本事件的个数，则P(B|A).两点提醒1在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一
7、个发生”、“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解2运用公式P(AB)P(A)P(B)时，要注意公式成立的条件，只有当事件A和B相互独立时，公式才成立一、选择题1(2014课标全国卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8B0.75C0.6 D0.45解析：记事件A表示“一天的空气质量为优良”，事件B表示“随后一天的空气质量为优良”，P(A)0.75，P(AB)0.6，由条件概率，得P(B|A)0.6.答案：A2(2016济南模拟)设随机变量XB，则P(X
8、3)等于()A. B.C. D.解析：XB，由二项分布可得，P(X3)C.答案：A3(2015湖北卷)设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是()AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)解析：由XN(1，)，YN(2，)，及正态分布密度曲线知12，1，故P(Y2)P(Y1)错误因为1P(X1)，B错；对任意正数t，P(Xt)P(Yt)，C错；对任意正数t，P(Xt)P(Yt) ，D正确答案：D4两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独
9、立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A. B.C. D.解析：设事件A：甲实习生加工的零件为一等品；事件B：乙实习生加工的零件为一等品，则P(A)，P(B)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)(1)(1).答案：B5设随机变量X服从二项分布XB，则函数f(x)x24xX存在零点的概率是()A. B.C. D.解析：函数f(x)x24xX存在零点，164X0，X4.X服从XBP(X4)1P(X5)1.答案：C二、填空题6某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为_解析：设该
10、队员每次罚球的命中率为p，其中0p1，则依题意有1p2，p2，又0p1，p.答案：7假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数800X900的概率为p0，则p0_解析：由XN(800，502)，知800，50，又P(700X900)0.954 4，则P(800X900)0.95440.4772.答案：0.47728(2016河北衡水中学质检)将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P
11、(A|B)_解析：依题意，随机试验共有9个不同的基本结果由于随机投掷，且小正方形的面积大小相等所以事件B包含4个基本结果，事件AB包含1个基本结果所以P(B)，P(AB).所以P(A|B).答案：三、解答题9(2015福建卷)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望
12、解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，则P(A).(2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3.又P(X1)，P(X2)，P(X3)1.所以X的分布列为X123P所以E(X)123.10(2014课标全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2.()利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；()某用
13、户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数利用()的结果，求E(X)附录：若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，且12.2.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，.Coms2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)()由(1)知，ZN(200，150)，12.2从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.由()知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为P0.682 6.依题意知XB(100，0.682 6)，所以E(X)nP(1000.682 6)68.26.
