1、全章素养整合构网络提素养链高考章末检测(一)类型一 线性回归方程在散点图中样本点大致分布在一条直线附近，则利用线性回归模型进行研究，可近似地利用回归直线方程ybxa来预报，利用公式求出回归系数a，b，即可写出回归直线方程，并用回归直线方程进行预测说明 典例 1 某城市理论预测 2010 年到 2014 年人口总数与年份的关系如表所示：年份 201x(年)01234人口数 y(十万)5781119(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程ybxa；(3)据此估计 2020 年该市人口总数.解析(1)散点图如图：(2)因为 x 0123452，y
2、5781119510，051728311419132，021222324230，所以b1325210305223.2，a y b x 3.6.所以线性回归方程为y3.2x3.6.(3)令 x10，则y3.2103.635.6，故估计 2020 年该城市人口总数为 35.6(十万)跟踪训练 1.以下是某地收集到的新房屋的销售价格 y 和房屋的面积 x 的数据：房屋面积 x/m211511080135105销售价格 y/万元24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)若线性相关，求线性回归方程；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为 150 m2 时的销售价格解析：(1)
3、数据对应的散点图如图所示(2)由散点图知 y 与 x 具有线性相关关系由表中数据知 x 15i15xi109，y 15i15yi23.2，i15x2i60 975，i15xiyi12 952.设所求回归直线方程为ybxa，则bi15xiyi5xyi15x2i5 x 20.196 2，a y b x 1.814 2，故所求回归直线方程为y0.196 2x1.814 2.(3)根据(2)，当 x150 时，销售价格的估计值为y0.196 21501.814 231.244 2(万元)类型二 回归模型分析对于建立的回归模型，我们必须对模型的拟合效果进行分析，也就是对利用回归模型解决实际问题的效果进行
4、评价一方面可以对比残差或残差平方和的大小，同时观察残差图，进行残差分析；另一方面也可以研究数据的 R2(相关系数 r)对模型拟合效果的分析能够帮助我们利用最优化的模型来解决实际问题 典例 2 从某大学中随机选取 5 名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编号12345身高 x/cm165165157170175体重 y/kg4857505464甲、乙两位同学在计算根据女大学生的身高预报体重的回归方程时，分别得到以下回归模型：甲：y0.75x70；乙：y0.76x71.试依据 R2判定哪一个模型的拟合效果较好 解析 对甲模型，yiyi 与 yi y 的值如下表：yiyi5.753.252.25
5、3.52.75yi y6.62.44.60.69.4所以i15(yiyi)2(5.75)23.2522.252(3.5)22.75268.5，i15(yi y)2(6.6)22.42(4.6)2(0.6)29.42159.2.此时 R21 68.5159.20.57.对乙模型，yiyi 与 yi y 的值如下表：yiyi6.42.61.684.22yi y6.62.44.60.69.4所以i15(yiyi)2(6.4)22.621.682(4.2)22272.2，i15(yi y)2(6.6)22.42(4.6)2(0.6)29.42159.2.此时 R21 72.2159.20.55.因为
6、0.570.55，所以甲模型的拟合效果较好跟踪训练 2.一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了 10 次试验，测得的数据如下表：零件数 x/个102030405060708090100加工时间 y/min627275818595103108112127经分析加工时间 y 与零件个数 x 线性相关，并求得回归直线方程为y0.670 x55.133.(1)求出相关指数；(2)作出残差图；(3)进行残差分析解析：(1)利用所给回归直线方程求出下列数据.yi61.83368.53375.23381.93388.633yiyi0.1673.4670.2330.9333.633y
7、i y302017117yi95.333102.033108.733115.433122.133yiyi0.3330.9670.7333.4334.867yi y311162035R21i110yiyi2i110yi y 20.983.(2)eiyiyi，利用上表中数据作出残差图，如图所示(3)由 R2 的值可以看出回归效果很好由残差图也可以观察到，第 2、5、9、10 个样本点的残差比较大，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误类型三 独立性检验独立性检验是判断两个分类变量之间是否有关系的一种方法在判断两个分类变量之间是否有关系时，作出等高条形图只能近似地判断两个分类变量是否有关系
8、，而独立性检验可以精确地得到可靠的结论独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成 22 列联表(2)根据公式计算 K2 的观测值 k.(3)比较 k 与临界值的大小关系作统计推断典例 3 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，估计 A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的
9、优劣进行比较附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2nadbc2abcdacbd.解析(1)旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62.因此，事件 A 的概率估计值为 0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表：箱产量6.635，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在 50 kg 到 55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在 45 kg 到 50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧
10、养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法跟踪训练 3.户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体 650 人中采用分层抽样的办法抽取 50 人进行问卷调查，得到了如下列联表：喜欢户外运动不喜欢户外运动总计男性5 女性10 总计 50已知在这 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率是35.(1)请将上面的列联表补充完整；(2)求该公司男、女员工各有多少人；(3)在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，能否认为喜欢户外运动与性别有关？请说明你的理由下面的临界值表仅供参考：P
11、(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：K2nadbc2abcdacbd，其中 nabcd)解析：(1)因为在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜欢户外运动的员工的概率是35，所以喜欢户外运动的男女员工共 30 人，其中男员工 20 人，列联表补充如下：喜欢户外运动不喜欢户外运动总计男性20525女性101525总计302050(2)该公司男员工人数为 2550650325(人)，则女员工有 325 人(3)K2 的观测值 k5020151052302025258.33
12、37.879，所以在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为喜欢户外运动与性别有关1(2018高考全国卷)如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y(单位：亿元)的折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2，17)建立模型：y30.413.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2，7)建立模型：y9917.5 t.(1)分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你
13、认为用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由解析：(1)利用模型，可得该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y30.413.519226.1(亿元)利用模型，可得该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y9917.59256.5(亿元)(2)利用模型得到的预测值更可靠理由如下：()从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y30.413.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 201
14、6 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y9917.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠()从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型看到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠2(2018高考全国卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，
15、选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高并说明理由；(2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m不超过 m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2nadbc2abcdacbd.P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析：(
16、1)第二种生产方式的效率更高理由如下：()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟因此第二种生产方式的效率更高()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟因此第二种生产方式的效率更高()由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间低于 80 分钟因此第二种生产方式的效率更高()
17、由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少因此第二种生产方式的效率更高(2)由茎叶图知 m7981280.列联表如下：超过 m不超过 m第一种生产方式155第二种生产方式515(3)由于 K240151555220202020 106.635，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异章末检测(一)
