1、第二节 证明不等式的基本方法 【知识梳理】1.比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法两种.名称作差比较法作商比较法理论 依据ab_ a0,1ab b1a0 a-bb,bca_c.放大 缩小 【特别提醒】1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2.用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论,再说明所要证明的数学问题成立.【小题快练】感悟考题 试一试 1.(2016滨州模拟)设a,b为不等的正数,且 M=(a4+b4)(a2+b2),N=(a3+b
2、3)2则有()A.M=N B.MN D.MN【解析】选C.M-N=(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a6+b6+a4b2+b4a2-(a6+b6+2a3b3)=a4b2+b4a2-2a3b3=a2b2(a-b)2,因为a,b为不等的正数,所以a2b2(a-b)20,所以MN.2.(2016济宁模拟)已知t1，且 则x，y之间的大小关系是()A.xy B.x=y C.xy D.x，y的关系随t而定 xt1t,ytt1,【解析】选C.由于 又因为t1，所以 所以 所以xy.1xt1tt1t ，1ytt1tt1，t1ttt 1 0 ，11t1ttt1，3.(2016烟台模拟)如果用反证
3、法证明“数列an的各项均小于2”,那么应假设()A.数列an的各项均大于2 B.数列an的各项均大于或等于2 C.数列an中存在一项ak,ak2 D.数列an中存在一项ak,ak2【解析】选D.各项均小于2的否定是存在一项大于或等于2.4.(2016聊城模拟)使不等式 成立的正整数a的最大值是()A.10 B.11 C.12 D.13【解析】选C.用分析法可证a=12时不等式成立,a=13时不等式不成立.38 1a5.(2016泰安模拟)已知x，y，z均为正数,则 的最小值是()A.1 B.3 C.D.1111,xyzxyzyzzxxy3 333 3【解析】选A.因为x,y,z为正数，所以 同
4、理可得 当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得 xy1 xy2()yzzxz yxz，yz2zx2,zxxyx xyyzyxyz1111yzzxxyxyz 考向一 比较法证明不等式【典例1】(1)已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:1.(2)当a,b(0,+)时,求证:aabb(ab).22aba1b 1a b2【解题导引】(1)利用作差比较法证明,注意条件“a+b=2”的应用.(2)利用作商比较法证明.【规范解答】(1)因为a+b=2，所以 因为a，b都是正实数，所以 ab 所以 0,即 1.22ab1a1b 1 222222ab 1ba1
5、a1 b 1a1(b 1)a babababab 1.a1 b 122ab1 ab1.a1b 1(a1)(b 1)2(ab)14，22ab1a1b 122aba1b 1(2)当a=b时，当ab0时，当ba0时，所以 a bb aa bab222a b2a baab(),b(ab)a b2a()1b；a b2aaba1,0,()1b2b；a b2aaba01,0,()1.b2ba bab2a bab.【规律方法】比较法证明不等式的方法与步骤 1.作差比较法(1)作差比较法证明不等式的一般步骤：作差：将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差；变形：将差式进行变形,化简为一个常数,或通分,因式分解
6、变形为若干个因式的积,或配方变形为一个或几个平方和等；判号：根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号；结论：肯定不等式成立的结论.(2)作差比较法的应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较法.2.作商比较法(1)作商比较法证明不等式的一般步骤：作商：将不等式左右两边的式子进行作商；变形：将商式的分子放(缩),分母不变,或分子不变,分母放(缩),或分子放(缩),分母缩(放),从而化简商式为容易和1比较大小的形式；判断：判断商与1的大小关系,就是判断商大于1或小于1或等于1；结论.(2)作商比较法的应用范围：当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一
7、般使用作商比较法.【易错提醒】作商比较时易忽视分母的符号而得出错误的结论.【变式训练】已知a0,b0,求证：【证明】因为a0,b0,所以 所以 故 abab.baab(ab)ba332(a)(b)(ab)ab(ab)(ab),abababab0.baabab.ba2ab 0,ab 0,(ab)0,【加固训练】求证:a2+b2ab+a+b-1.【证明】因为(a2+b2)-(ab+a+b-1)=a2+b2-ab-a-b+1=(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)12=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-b)2+(a-1)2+(b-1)20.所以a2+b2ab+
8、a+b-1.1212考向二 综合法证明不等式【典例2】(2015全国卷)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明：(1)若abcd,则(2)是|a-b|cd,可证明 ,开方即得(2)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.2(ab)2(cd)abcd.【规范解答】(1)因为 由题设a+b=c+d,abcd得 因此(2)若|a-b|c-d|，则(a-b)2(c-d)2，即(a+b)2-4abcd.由(1)得 若 ，则 即a+b+2 c+d+2 .因为a+b=c+d，所以abcd.abcd.abcd22(ab)(cd)，abcd于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c
9、+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|c-d|.综上，是|a-b|c-d|的充要条件.abcd【母题变式】1.题中条件“a+b=c+d”改为:“a+b=c+d=1”,证明：ab+cd .【证明】因为a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d=1，所以0ab ,00);2(ab0);-2(ab0).(5)(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2.abab21aabbaabba【变式训练】设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1,记f(x)1的解集为M,g(x)4的解集为N.(1)求M.(2)当xMN时,证明：x2f(x)+xf(x)2 1.4【解析】(1)f(
10、x)=2|x-1|+x-1=当x1时，由f(x)1得x，故1x ；当x1时，由f(x)1得x0，故0 x0,即证abc+abm+acm+am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-acm-bcm-cm20,即证abc+2abm+(a+b-c)m20.abcambmcm，由于a,b,c分别是ABC的三边长,故有a+bc.因为m0,所以(a+b-c)m20,所以abc+2abm+(a+b-c)m20是成立的,因此 成立.abcambmcm【规律方法】1.用分析法证“若A则B”这个命题的模式 为了证明命题B为真,只需证明命题B1为真,从而有 只需证明命题B2为真,从而有 只需证明命题A为真,而已
11、知A为真,故B必真.2.分析法的应用 当所证明的不等式不能使用比较法,且和基本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.3.综合法与分析法的逻辑关系 用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理、清楚,所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,互相渗透.【变式训练】设x1,y1,证明:【证明】由于x1,y1,要证 只需证xy(x+y)+1y+x+(xy)2.因为y+x+(x
12、y)2-xy(x+y)+1=(xy)2-1-xy(x+y)-(x+y)111xyxy.xyxy111xyxy.xyxy=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1)=(xy-1)(x-1)(y-1),由条件x1,y1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)0,从而所要证明的不等式成立.考向四 反证法与放缩法证明不等式【典例4】(1)若实数x,y适合不等式xy1,x+y-2,则()A.x0,y0 B.x0,y0,y0 D.x0(2)有小于1的n(n2)个正数x1,x2,x3,xn,且x1+x2+x3+xn=1.求证：3333112233nn11114.xxxx
13、xxxx【解题导引】(1)利用反证法逐一排除.(2)由已知0 xi1矛盾，所以可排除C，D.假设x0，y0，则 所以xy0，y0.1x.y1y(2)因为0 xin2224，所以 3333112233nn1111xxxxxxxx3333112233nn11114.xxxxxxxx【规律方法】1.适宜用反证法证明的数学命题(1)结论本身是以否定形式出现(如所证结论涉及“不可能”“不是”等字眼)的一类命题.(2)关于唯一性、存在性的命题.(3)结论以“至多”“至少”等形式出现的命题.(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.2.放缩法证明不等式的技巧 常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性.缩
14、小分母、扩大分子,分式值增大；缩小分子、扩大分母,分式值减小；每一次缩小其和变小,但需大于所求；每一次扩大其和变大,但需小于所求,即不能放缩不够或放缩过头.【变式训练】1.若实数a,b,c满足|a-c|b|-|c|B.|a|c-b D.ab+c【解析】选B.因为实数a,b,c满足|a-c|b|,利用绝对值不等式的性质放缩可知|a|2，求证：和 中至少有一个成立 1x2y1y2x【证明】假设 和 都不成立，则有 和 同时成立 因为x0且y0，所以1x2y，且1y2x.两式相加，得2xy2x2y，所以xy2.1x2y1y2x1x2y1y2x这与已知条件xy2矛盾，因此 和 中至少有一个成立 1x2
15、y1y2x【加固训练】1.(2016湘潭模拟)设n是正整数，求证：11111.2n1n22n【证明】由2nnkn(k1，2，n)，得 当k1时，当k2时，当kn时，所以 111.2nnkn1112nn1n；1112nn2n；1112nnnn，1n111n1.22nn1n22nn2.若a,b,c均为实数，且 试用反证法证明：a，b，c中至少有一个大于0.22ax2yby2z23，2cz2x6，【证明】假设a，b，c都不大于0，则a0，b0，c0，所以abc0，而abc =(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3,所以a+b+c0,这与a+b+c0矛盾,故a,b,c中至少有一个大于0.222(x2y)(y2z)(z2x)236
