1、单元形成性评价(五)(第13章)(120分钟 150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1下面没有体对角线的一种几何体是()A三棱柱 B四棱柱C五棱柱 D六棱柱【解析】选A.三棱柱只有面对角线，没有体对角线2如图所示，AOB表示水平放置的AOB的直观图，B在x轴上，AO和x轴垂直，且AO2，则AOB的边OB上的高为()A2 B4 C2 2 D4 2【解析】选D.由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形2 2 S直观图，得12 OBh2 2 12 2OB，因为OBOB，所以h4 2.3若平面平面，直线a 平面，点B平面，则在平面内过点B的所有直线中()A不一定存在与a平行的直线B一定不存在
2、与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D存在唯一一条与a平行的直线【解析】选D.因为平面平面，直线a 平面，点B平面，所以Ba，过直线a与点B作平面，则平面与平面的交线即为与a平行的唯一直线4在如图所示的四个正方体中，能得出ABCD的是()【解析】选A.A中因为CD平面AMB，所以CDAB；B中，AB与CD成60角；C中，AB与CD成45角；D中，AB与CD夹角的正切值为 2.5(2021全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，ACBC1，则三棱锥O-ABC的体积为()A 212 B 312 C 24 D 34【解析】选A.记O为A，B，C所在圆面的圆心，则OO
3、ABC，因为ACBC，ACBC1，所以AB 2，所以OOOA2AO2 12222 22.所以VOABC13 SABCOO13 12 11 22 212.6如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，ABBCBB12，AC2 5，则异面直线BD与AC所成的角为()A.30 B45 C60 D90【解析】选C.如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则ACA1C1DE，则BDE即为异面直线BD与AC所成的角由条件可知BDDEEB 5，所以BDE60.7若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4
4、Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定【解析】选D.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA，若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可以排除选项A和C.若l4DC1，也满足条件，可以排除选项B.8(2020全国卷)已知ABC是面积为9 34的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上若球O的表面积为16，则O到平面ABC的距离为()A 3 B32 C1 D 32【解题指南】本题考查球的相关问题，意在考查学生的空间想象能力和运算求解能力【解析】选C.设ABC的外接圆圆心为O1，记OO1d，圆O1的半径为r，球O的半径为R，A
5、BC的边长为a，则SABC 34 a29 34，可得a3，于是r 3，由题知，球O的表面积为16，则R2，由R2r2d2易得d1，即O到平面ABC的距离为1.【方法技巧】解答球的有关问题时，通常要用到截面圆如图所示，设球O的半径为R，截面圆O的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O的距离为d，则在RtOOM中，OM2OO2OM2，即R2d2r2.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9下列说法正确的是()A垂直于同一个平面的两条直线平行B若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C一个平面内的两条相交直
6、线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直【解析】选ABC.D项中一条直线与一个平面内的任一直线垂直，则这条直线和这个平面垂直；或者是一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线和这个平面垂直，所以D错误10已知m，n是两条不重合的直线，是三个两两不重合的平面，下列选项说法正确的为()A若m，m，则B若m，n，mn，则C若，则D若m，n是异面直线，m，m，n，n，则【解析】选AD.对于A，垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；对于B，不满足平面与平面平行的判定定理，错误；对于C，平面，可能相交，错误；对于D，满足平面与平面平行，
7、正确11如图，在正四棱锥P-ABCD(底面ABCD为正方形，P在底面的投影是正方形的中心)中，下列说法正确的是()AACPBBAB与PD所成角等于BC与PD所成角C若平面PAD平面PBCl，则lADD平面PAD与平面PBC所成二面角与APB相等或互补【解析】选ABC.对于A，连接BD，与AC交于点O，则BDAC，又知PO平面ABCD，所以POAC，又POBDO，所以AC平面PBD，所以ACPB，A正确；对于B，AB与PD所成角为PDC，BC与PD所成角为PDA，因为PCDPAD，所以PDCPDA，B正确；对于C，由于ADBC，所以AD平面PBC，因为AD 平面PAD，平面PAD平面PBCl，所
8、以lAD，C正确；对于D，由C项可知，平面PAD与平面PBC所成的二面角为过P作AD，BC的垂线所成的角，显然与APB无联系，D错误12如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是对角线AC1上的动点，点P与A，C1不重合，则下面结论中正确的是()A.存在点P，使得平面A1DP平面B1CD1B存在点P，使得AC1平面A1DPCS1，S2分别是A1DP在平面A1B1C1D1，平面BB1C1C上的正投影的面积，对任意点P，都有S1S2DA1DP面积的最小值是 36【解析】选ABD.考查A，连接AD1交A1D于M，连接BC1交B1C于N，再连接PM，D1N，见图(1)，则平面AD1C
9、1B平面A1DPPM，平面AD1C1B平面B1CD1D1N.由于A1DB1C，只要PMD1N能成立，平面A1DP平面B1CD1就成立易知AP13AC1时，PMD1N，A正确对B，由于AC1平面B1CD1，当平面A1DP平面B1CD1时，AC1平面A1DP成立，所以B正确对C，如图(2)，A1DP在平面A1B1C1D1的投影是P1A1D1，P1在对角线A1C1上，在平面BB1C1C的投影是P2B1C，P2在对角线BC1上，当动点位于AC1中点时，P1，P2同时是A1C1和B1C的中点此时B1，P2，C三点共线，P由此向点A移动时，S1逐渐变小，S2逐渐变大一定有P点使S1S2，故C错对D，见图(
10、1)，由于A1D平面AD1C1，则A1DPM，A1DP的面积为：12 A1DPM 22 PM，在RtAD1C1中，MPAC1时PM最小，此时PM16，所以A1DP面积的最小值为：22 16 36，D正确三、填空题(每小题5分，共20分)13如图甲，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体(图乙)，使G1，G2，G3三点重合于点G，下面结论成立的是_(填序号)SG平面EFG；SD平面EFG；GF平面SEF；GD平面SEF.【解析】在题图甲中，SG1G1E，SG3G3F；在题图乙中，SGGE，SGGF，GEGF
11、G，所以SG平面EFG，故正确，显然错误；若GF平面SEF，则GFEF，而GF与EF不垂直，故错误；因为SG平面GEF，所以SGGD，所以GD与SD不垂直，即GD与平面SEF不垂直，故错误答案：14在空间四边形ABCD中，ADBC2，E，F分别是AB，CD的中点，EF3，则异面直线AD与BC所成角的大小为_【解析】取AC中点M，连接EM，FM，F为DC中点，M为AC中点，所以FMAD，且FM12 AD1，同理EMBC，且EM12 BC1.在EMF中作MNEF于N.在RtMNE中，EM1，EN 32，所以sin EMN 32，EMN60，所以EMF120，所以AD与BC所成角为60.答案：601
12、5(2021杭州高一检测)在正三棱锥A-BCD中，ABACAD5，BCBDCD6.点M是线段BC上的点，且BM2MC.点P是棱AC上的动点，直线PM与平面BCD所成角为，则sin 的最大值为_【解析】先证一个命题：平面ABC内所有直线与平面BCD所成的角中，当此角为二面角的平面角时最大如图，AO平面BCD于点O，OEBC于E，Q是BC上任一点，则AOBC，而AOOEO，则BC平面OAE，又AE 平面OAE，所以AEO是二面角A-BC-D的平面角，而AQO是直线AQ与平面BCD所成的角，显然sin AEOAOAE，sin AQOAOAQ，又AQAE，所以sin AQOsin AEO，因为AEO，
13、AQO都是锐角，所以AQOAEO，Q，E重合时等号成立由此可知平面ABC内所有直线与平面BCD所成的角中，当此角为二面角的平面角时最大由已知，EO 36 6 3，AE5232 4，AOAE2EO2 13，sin AEO 134，所以直线PM与平面BCD所成角最大值等于AEO，所以sin 的最大值为 134.答案：13416一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h_【解析】设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为13 R2h，圆柱形容器内的液体体积为a22h.根据题意，有13 R2ha22h，解得R 32 a.再根据
14、圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形得32 aaha，所以h 32 a.答案：32 a四、解答题(共70分)17(10分)直三棱柱的高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值【解析】如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高6 cm.因为在ABC中，AB3 cm，BC4 cm，AC5 cm，所以ABC为直角三角形根据直角三角形内切圆的性质可得72R5，所以R1 cm，所以V圆柱R2h6(cm3).而三棱柱的体积为V三
15、棱柱12 34636(cm3)，所以削去部分的体积为3666(6)(cm3).18(12分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.(1)求证：ACB1D；(2)求三棱锥C-BDB1的体积【解析】(1)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以BB1平面ABCD.因为AC 平面ABCD，所以BB1AC.又因为底面ABCD为正方形，所以ACBD.因为BB1BDB，所以AC平面BB1D.因为B1D 平面BDB1，所以ACB1D.(2)连接B1C，1C BDBV 1BBDCV.因为B1B平面ABCD，所以B1B是三棱锥B1-BDC的高因为VB1-BDC13 SBDCBB113 12 22
16、243.所以三棱锥C-BDB1的体积为43.19(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60，AB2，PA1，PA平面ABCD，点E是PC的中点，F是AB的中点(1)求证：BE平面PDF；(2)求直线BE与平面PAD所成角的正弦值【解析】(1)取PD中点为M，连接ME，MF.因为E是PC的中点，所以ME是PCD的中位线，所以ME12 CD.因为F是AB的中点且四边形ABCD是菱形，ABCD，所以ME12 AB.所以MEFB.所以四边形MEBF是平行四边形从而BEMF，因为BE平面PDF，MF 平面PDF，所以BE平面PDF.(2)由(1)得BEMF，所以直线BE与平面
17、PAD所成角就是直线MF与平面PAD所成角取AD的中点G，连接BD，BG.因为底面ABCD是菱形，BAD60，所以ABD是正三角形，所以BGAD，因为PA平面ABCD，PA 平面PAD，所以平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，BGAD，所以BG平面PAD，过F作FHBG，交AD于H，则FH平面PAD，连接MH，则FMH就是MF与平面PAD所成的角又F是AB的中点，所以H是AG的中点连接MG，又M是PD的中点，所以MG12 PA.在RtMGH中，MG12 PA12，GH14 AD12，所以MH 22.在正三角形ABD中，BG 3，所以FH12 BG 32.在RtMHF中，MF2
18、22322 52，所以sin FMHFHFM 3252 155，所以直线BE与平面PAD所成角的正弦值为 155.20(12分)已知在三棱锥P-ABC中，ACB90，BC4，AB20.D为AB的中点，且PDB为等边三角形，PAPC.(1)求证：平面PAC平面ABC；(2)求二面角D-AP-C的正弦值【解析】(1)在RtACB中，D是斜边AB的中点，所以BDDA.因为PDB是等边三角形，所以BDDPBP，则BDDADP，因此APB为直角三角形，即PABP.又PAPC，PCBPP，所以PA平面PCB.因为BC 平面PCB，所以PABC.又ACBC，PAACA，所以BC平面PAC.因为BC 平面AB
19、C，所以平面PAC平面ABC.(2)由(1)知PAPB及已知PAPC，故BPC即为二面角D-AP-C的平面角由(1)知BC平面PAC，则BCPC.在RtBPC中，BC4，BPBD10，所以sin BPCBCBP 410 25，即二面角D-AP-C的正弦值为25.21(12分)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQ23 DA，求三棱锥Q-ABP的体积【解析】(1)由已知可得，BAC90，即BAAC.又因为BAAD，ACADA，所以A
20、B平面ACD.因为AB 平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3 2.又BPDQ23 DA，所以BP2 2.如图，过点Q作QEAC，垂足为E，则QE13 DC.由已知及(1)可得，DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP13 SABPQE13 12 32 2 sin 4511.22(12分)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA平面ABCD，BCAD，CD1，AD2 2，BADCDA45.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明：CD平面ABF；(3)求二面角B-EF-A的正切值
21、【解析】(1)因为四边形ADEF是正方形，所以FAED.故CED为异面直线CE与AF所成的角因为FA平面ABCD，所以FACD，故EDCD.在RtCDE中，CD1，ED2 2，CECD2ED2 3，故cos CEDEDCE 2 23.所以异面直线CE与AF所成角的余弦值为2 23.(2)过点B作BGCD，交AD于点G，则BGACDA45.由BAD45，可得BGAB.从而CDAB.又CDFA，FAABA，所以CD平面ABF.(3)由(2)及已知，可得AG 2，即G为AD的中点取EF的中点N，连接GN，则GNEF.因为BCAD，所以BCEF.过点N作NMEF，交BC于M，则GNM为二面角B-EF-A的平面角连接GM，可得AD平面GNM，故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM 22.由NGFA，FAGM，得NGGM.在RtNGM中，tan GNMGMNG 14.所以二面角B-EF-A的正切值为14.
