1、四川省成都市2015届高三上学期摸底数学试卷（理科）一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知向量=（5，3），=（6，4），则+=（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）2（5分）设全集U=1，2，3，4，集合S=l，3，T=4，则（US）T等于（）A2，4B4CD1，3，43（5分）已知命题p：xR，2x=5，则p为（）AxR，2x=5BxR，2x5Cx0R，2=5Dx0R，254（5分）计算21og63+log64的结果是（）Alog62B2Clog63D35（5分）已知实数x，y满足，则z=4x+y的最
2、大值为（）A10B8C2D06（5分）已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（）A若ab，b，则aB若a，b，则abC若a，b，则abD若ab，b，则a7（5分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A肺颗粒物，般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差，茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：g/m3）则下列说法正确的是（）A这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等B这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等8（5分）已知函数
3、f（x）=sinx+cosx（0）的图象与直线y=2的两个相邻公共点之间的距离等于，则f（x）的单调递减区间是（）Ak+，k+，kzBk，k+，kzC2k+，2k+，kzD2k，2k+，kz9（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4x）=f（x），且当x（1，3时，f（x）=则g（x）=f（x）|1gx|的零点个数是（）A7B8C9D1010（5分）如图，已知椭圆Cl：+y2=1，双曲线C2：=1（a0，b0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线相交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A5BCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共2
4、5分答案填在答题卡上11（5分）已知（0，），cos=，则sin（）=12（5分）当x1时，函数的最小值为13（5分）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是14（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是15（5分）已知直线y=k（x+）与曲线y=恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=l上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+l对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素1，2，则12的概率是三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤16（12分）已知等差数列an的前n项和为S
5、n，且a2=3，S7=49，nN*（I）求数列an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和Tn17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量=（ab，ca），=（a+b，c）且=0（）求角B的大小；（）求函数f（A）=sin（A+）的值域18（12分）某地区为了解2014-2015学年高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有2014-2015学年高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如表：认为作业多认为作业不多总数喜欢电脑游戏72名36名108名不喜欢电脑游戏32名60名92名（I）已知该地区共有2014-2015学年高二学生42
6、500名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？（）在A，B，C，D，E，F六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率19（12分）如图，已知O的直径AB=3，点C为O上异于A，B的一点，VC平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点（I）求证：BC平面VAC；（）若AC=1，求二面角MVAC的余弦值20（13分）在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2=4上一动点，PDx轴于点D，记满足=（+）的动点M的轨迹为（）求轨迹的方程；（）已知直线l：y=kx+m与轨迹F交于不同两点A，B，点G是线段AB中
7、点，射线OG交轨迹F于点Q，且=，R证明：2m2=4k2+1；求AOB的面积S（）的解析式，并计算S（）的最大值21（14分）巳知函数f（x）=x1nx，g（x）=ax2bx，其中a，bR（I）求函数f（x）的最小值；（）当a0，且a为常数时，若函数h（x）=xg（x）+1对任意的x1x24，总有0成立，试用a表示出b的取值范围；（）当b=a时，若f（x+1）g（x）对x0，+）恒成立，求a的最小值四川省成都市2015届高三上学期摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知向量=（5，3
8、），=（6，4），则+=（）A（1，1）B（1，1）C（1，1）D（1，1）考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：利用向量的坐标运算即可得出解答：解：=（5，3）+（6，4）=（1，1）故选：D点评：本题考查了向量的坐标运算，属于基础题2（5分）设全集U=1，2，3，4，集合S=l，3，T=4，则（US）T等于（）A2，4B4CD1，3，4考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：利用集合的交、并、补集的混合运算求解解答：解：全集U=1，2，3，4，集合S=l，3，T=4，（US）T=2，44=2，4故选：A点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真
9、审题3（5分）已知命题p：xR，2x=5，则p为（）AxR，2x=5BxR，2x5Cx0R，2=5Dx0R，25考点：全称命题；命题的否定 专题：简易逻辑分析：根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论解答：解：命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题得：p为x0R，25，故选：D点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，比较基础4（5分）计算21og63+log64的结果是（）Alog62B2Clog63D3考点：对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：利用对数性质求解解答：解：21og63+log64=log69+log
10、64=log636=2故选：B点评：本题考查对数的性质的求法，是基础题，解题时要注意对数性质的合理运用5（5分）已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为（）A10B8C2D0考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：画出足约束条件的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行判断，即可求出4x+y的最大值解答：解：已知实数x、y满足，在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，三个顶点分别是A（0，0），B（0，2），C（2，0），由图可知，当x=2，y=0时，4x+y的最大值是8故选：B点评：本题考查线性规划问题，难度较小目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可
11、行域、求出关键点、定出最优解6（5分）已知a，b是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（）A若ab，b，则aB若a，b，则abC若a，b，则abD若ab，b，则a考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：探究型；空间位置关系与距离分析：根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定即可解答：解：若ab、b，则a或a，故A错误；若a、b，则ab或a，b异面，故B错误；若a，b，则ab，满足线面垂直的性质定理，故正确若b，ab，则a或a，故D错误；故选：C点评：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意
12、空间想象能力的培养7（5分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A肺颗粒物，般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差，茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：g/m3）则下列说法正确的是（）A这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等B这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大C这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等考点：众数、中位数、平均数；茎叶图 专题：概率与统计分析：根据茎叶图中的数据分布，分别求出甲乙的极差，中位数，众数，平均数比较即可解答：解：根据茎叶图中的数据可知，这l0日
13、内甲、极差为55，中位数为74，平均数为73.4，这l0日内乙、极差为57，中位数为68，众数为68，平均数为68.1，通过以上的数据分析，可知C正确故选；C点评：本题考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定极差，中位数，众数，平均数大小，比较基础8（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx（0）的图象与直线y=2的两个相邻公共点之间的距离等于，则f（x）的单调递减区间是（）Ak+，k+，kzBk，k+，kzC2k+，2k+，kzD2k，2k+，kz考点：正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性 专题：三角函数的图像与性质分析：先利用两角和公式对函数解析式化简
14、，根据题意求得周期，进而求得，函数的解析式可得，最后利用正弦函数的单调性求得函数的单调减区间解答：解：f（x）=2（sinx+cosx）=2sin（x+），依题意知函数的周期为T=，=2，f（x）=2sin（2x+），由2k+2x+2k+，得k+xk+，kZ，f（x）的单调递减区间是k+，k+（kZ），故选A点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，三角函数图象与性质求得函数的解析式是解决问题的基础9（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4x）=f（x），且当x（1，3时，f（x）=则g（x）=f（x）|1gx|的零点个数是（）A7B8C9D10考点：分段函数的应用；函数零点的判定定理
15、 专题：函数的性质及应用分析：先根据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，以及y=|1gx|的图象，结合图象当x10时，y=lg101此时与函数y=f（x）无交点，即可判定函数函数g（x）=f（x）|1gx|的零点个数解答：解：R上的偶函数f（x）满足f（4x）=f（x），函数f（x）为周期为4的周期函数，根据周期性画出函数y=f（x）的图象，y=log6x的图象根据y=|lgx|在（1，+）上单调递增函数，当x=10时lg10=1，当x10时y=lgx此时与函数y=f（x）无交点，结合图象可知有10个交点，则函数g（x）=f（x）lgx的零点个数为10，故选D点评：本题考查函数的零点，求解
16、本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数g（x）=f（x）|1gx|的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易10（5分）如图，已知椭圆Cl：+y2=1，双曲线C2：=1（a0，b0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线相交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A5BCD考点：双曲线的简单性质；椭圆的应用 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：双曲线C2：=1的一条渐近线方程为y=x，代入+y2=1，可得交点的横坐标，利用C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，可得b=2a，
17、即可求出C2的离心率解答：解：双曲线C2：=1的一条渐近线方程为y=x，代入+y2=1，可得x=，C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，2=2，整理可得b=2a，c=a，e=，故选：C点评：本题考查椭圆、双曲线的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上11（5分）已知（0，），cos=，则sin（）=考点：运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：利用诱导公式与同角三角函数间的关系即可求得答案解答：解：cos=，（0，），sin（）=sin=故答案为：点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查同
18、角三角函数间的关系的应用，属于基础题12（5分）当x1时，函数的最小值为3考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：变形利用基本不等式就看得出解答：解：x1，=3，当且仅当x=2时取等号故答案为：3点评：本题查克拉基本不等式的应用，属于基础题13（5分）如图是一个几何体的本视图，则该几何体的表面积是28+12考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由三视图可知该几何体是一平放的直三棱柱，利用数据判断出底面为正三角形，再利用表面积公式计算解答：解：由三视图可知该几何体为上部是一平放的直三棱柱底面三角形为等腰三角形，底边长为2，腰长为2；棱柱长为6S底面=4S侧面=
19、cl=6（4+2）=24+12所以表面积是28+12故答案为：28+12点评：本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键14（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的运算结果是考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序的运行结果是什么解答：解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，i=1，S=0+=；i4？，否，i=2，S=+=；i4？，否，i=3，S=+=；i4？，否，i=4，S=+=；i4？，是，输出S=故答案为：点评：本题考查了程序框图的运行过程，解题时应模拟算法程序的运行过程，从而得出正确的结果，是基础题1
20、5（5分）已知直线y=k（x+）与曲线y=恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=l上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+l对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素1，2，则12的概率是考点：几何概型 专题：概率与统计分析：根据直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论解答：解：y=，x=y2，代入y=k（x+）得y=k（y2+），整理得ky2y+=0，直线y=k（x+）与曲线y=恰有两个不同交点，等价为ky2y+=0有两个不同的非负根，即=1k20，且0，解得0k1，A=k|0k1
21、P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y11，x1+1），P是椭圆+=l上一动点，4y114，即11，设b=，则1b1，B=b|1b1随机的从集合A，B中分别抽取一个元素1，2，则12等价为，则对应的图象如图：则12的概率是，故答案为：点评：本题主要考查几何概型的概率计算，利用直线和圆锥曲线的位置关系求出集合A，B是解决本题的关键综合性较强，难度非常大三、解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出立字说明、证明过程或推演步骤16（12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2=3，S7=49，nN*（I）求数列an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和Tn考点：数列的求和
22、；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（）根据等差数列，建立方程关系即可求数列an的通项公式（）求出数列bn的通项公式，利用等比数列的求和公式即可得到结论解答：解：（）设等差数列的公差是d，a2=3，S7=49，解得，an=a1+（n1）d=1+2（n1）=2n1（）bn=2n，则数列bn为等比数列，则数列bn的前n项和Tn=点评：本题主要考查数列的通项公式和数列求和，要求熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查学生的运算能力17（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量=（ab，ca），=（a+b，c）且=0（）求角B的大小；（）求函数f（
23、A）=sin（A+）的值域考点：余弦定理；平面向量数量积的运算 专题：解三角形分析：（）由两向量的坐标及两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积运算法则计算得到关系式，由余弦定理表示出cosB，将得出关系式代入求出cosB的值，即可确定出角B的大小；（）由B的度数，利用内角和定理求出A的范围，进而确定出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（A）的值域解答：解：（）=（ab，ca），=（a+b，c），且=0，（ab）（a+b）c（ac）=0，即a2+c2=b2+ac，cosB=，B（0，），B=；（）由（）得：A=C（0，），A+（，），sin（A+）（，1，则f（A）=sin（A+）的
24、值域为（，1点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及正弦函数的值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键18（12分）某地区为了解2014-2015学年高二学生作业量和玩电脑游戏的情况，对该地区内所有2014-2015学年高二学生采用随机抽样的方法，得到一个容量为200的样本统计数据如表：认为作业多认为作业不多总数喜欢电脑游戏72名36名108名不喜欢电脑游戏32名60名92名（I）已知该地区共有2014-2015学年高二学生42500名，根据该样本估计总体，其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？（）在A，B，C，D，E，F六名学生中，但有A，B两名学生认为作业多如果从速六名学生中
25、随机抽取两名，求至少有一名学生认为作业多的概率考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法 专题：概率与统计分析：（I）根据样本数据统计表，可得200名学生中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有36名，求出其占总人数的概率，再乘以2014-2015学年高二学生的总数即可；（）求出至少有一名学生认为作业多的事件的个数，和从这六名学生中随机抽取两名的基本事件的个数，两者相除，即可求出至少有一名学生认为作业多的概率是多少解答：解：（）42500答：欢电脑游戏并认为作业不多的人有7650名（）从这六名学生中随机抽取两名的基本事件的个数是至少有一名学生认为作业多的事件的个数是：15=156=9（个）所有至少
26、有一名学生认为作业多的概率是答：至少有一名学生认为作业多的概率是点评：本题主要考查了概率的运算，考查了学生的分析推理能力，解答此题的关键是要弄清楚两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率的大小19（12分）如图，已知O的直径AB=3，点C为O上异于A，B的一点，VC平面ABC，且VC=2，点M为线段VB的中点（I）求证：BC平面VAC；（）若AC=1，求二面角MVAC的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（）由线面垂直得VCBC，由直径性质得ACBC，由此能证明BC平面VAC（）分别以AC，BC，VC所在直线为x
27、轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角MVAC的余弦值解答：（）证明：VC平面ABC，BC平面ABC，VCBC，点C为O上一点，且AB为直径，ACBC，又VC，AC平面VAC，VCAC=C，BC平面VAC（）解：由（）得BCVC，VCAC，ACBC，分别以AC，BC，VC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），V（0，0，2），B（0，2，0），=（1，0，2），设平面VAC的法向量=（0，2，0），设平面VAM的法向量=（x，y，z），由，取y=，得，cos=，二面角MVAC的余弦值为点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法
28、，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20（13分）在平面直角坐标系xOy中，点P是圆x2+y2=4上一动点，PDx轴于点D，记满足=（+）的动点M的轨迹为（）求轨迹的方程；（）已知直线l：y=kx+m与轨迹F交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，射线OG交轨迹F于点Q，且=，R证明：2m2=4k2+1；求AOB的面积S（）的解析式，并计算S（）的最大值考点：轨迹方程；函数解析式的求解及常用方法 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用代入法求椭圆方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由此利用
29、根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明结论由已知条件得m0，|x1x2|=，由此能求出AOB的面积，再利用基本不等式求最大值解答：解：（）设M（x，y），P（x0，y0），则D（x0，0），且x02+y02=4，=（+），x0=x，y0=2y，代入可得x2+4y2=4；（）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线代入椭圆方程，消去y，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，x1+x2=，x1x2=（1）y1+y2=k（x1+x2）+2m=，又由中点坐标公式，得G（，），将Q（，）代入椭圆方程，化简，得2m2=1+4k2，（2）解：由（1），（2）得m0，1且|x
30、1x2|=，（3）结合（2）、（3），得SAOB=，（1，+），令=t（0，+），则S=1（当且仅当t=1即=时取等号），=时，S取得最大值1点评：本题考查椭圆方程的求法，考查方程的证明，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用21（14分）巳知函数f（x）=x1nx，g（x）=ax2bx，其中a，bR（I）求函数f（x）的最小值；（）当a0，且a为常数时，若函数h（x）=xg（x）+1对任意的x1x24，总有0成立，试用a表示出b的取值范围；（）当b=a时，若f（x+1）g（x）对x0，+）恒成立，求a的最小值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性
31、 专题：导数的综合应用分析：（I）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出（II）由函数h（x）=xg（x）+1对任意的x1x24，总有0成立，可得函数h（x）=在x4，+）上单调递增因此h（x）=ax22bx+10在4，+）上恒成立变形为=ax+在4，+）上恒成立2b，x4，+）令u（x）=，x4，+）对a分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出（III）当b=a时，令G（x）=f（x+1）g（x）=（x+1）ln（x+1）ax，x0，+）由题意G（x）0对x0，+）恒成立G（x）=ln（x+1）+1axa，x0，+）对a分类讨论利用研究其单调性极值与最值即可解答：解：（I）f（x）=lnx
32、+1（x0），令f（x）=0，解得x=函数f（x）在上单调递减；在单调递增当x=时，f（x）取得最小值且=（II）由函数h（x）=xg（x）+1对任意的x1x24，总有0成立，函数h（x）=在x4，+）上单调递增h（x）=ax22bx+10在4，+）上恒成立=ax+在4，+）上恒成立2b，x4，+）令u（x）=，x4，+）（a0）则=令u（x）=0，解得u（x）在上单调递减，在上单调递增（i）当时，即时，u（x）在上单调递减，在上单调递增u（x）min=，即（ii）当时，即，函数u（x）在4，+）上单调递增，即综上可得：当时，即当，（III）当b=a时，令G（x）=f（x+1）g（x）=（x+
33、1）ln（x+1）ax，x0，+）由题意G（x）0对x0，+）恒成立G（x）=ln（x+1）+1axa，x0，+）（i）当a0时，G（x）0，G（x）在x0，+）上单调递增G（x）G（0）=0在x（0，+）成立，与题意矛盾，应舍去（ii）当a0时，令v（x）=G（x），x0，+）则，当a1时，v（x）0在x0，+）上成立v（x）在x0，+）单调递减v（x）v（0）=1a0，G（x）在x0，+）上成立G（x）在x0，+）上单调递减G（x）G（0）=0在x0，+）成立，符合题意当0a1时，=，x0，+）v（x）在上单调递增，在单调递减v（0）=1a0，v（x）0在上成立，即G（x）0在上成立，G（x）在上单调递增，G（x）G（0）=0在成立，与题意矛盾综上可知：a的最小值为1点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了构造函数研究函数的单调性问题，考查了转化思想方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题
