1、3.2.2 复数代数形式乘除运算内 容 标 准学 科 素 养1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律3.了解共轭复数的概念.提升数学运算发展逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 复数的乘法预习教材P5859，思考并完成以下问题(1)两个实数可以相乘，两个复数可以相乘吗？提示：可以(2)复数代数形式的乘法与多项式的乘法相类似吗？提示：类似(3)复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律吗？提示：满足 知识梳理 1.复数的乘法设 z1abi，z2cdi 是任意两个复数，那么它们
2、的积(abi)(cdi)acbciadibdi2(a，b，c，dR)(acbd)(adbc)i 2复数乘法的运算律对于任意 z1，z2，z3C，有：交换律z1z2结合律(z1z2)z3乘法对加法的分配律 z1(z2z3)z2z1z1(z2z3)z1z2z1z3知识点二 复数的除法预习教材P5960，思考并完成以下问题(1)复数 z1abi 与 z2abi(a，bR)有什么关系？提示：两复数实部相等，虚部互为相反数(2)试求 z1abi，z2abi(a，bR)的积提示：z1z2a2b2，积为实数(3)如何规定两复数 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)相除？提示：通常先把(abi
3、)(cdi)写成abicdi的形式，再把分子和分母都乘(cdi)，化简后可得结果即abicdiabicdicdicdiacbdbcadic2d2acbdc2d2 bcadc2d2 i(cdi0)知识梳理 1.共轭复数的概念当两个复数的实部，虚部时，这两个复数叫做互为共轭复数通常记复数 z 的共轭复数为 z，虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数2复数的除法法则设 z1abi，z2cdi(cdi0)，则z1z2abicdiacbdc2d2 bcadc2d2 i(cdi0)相等互为相反数自我检测1复数(32i)i 等于()A23i B23iC23i D23i解析：(32i)i3i2ii23i
4、，选 B.答案：B2.3i1i()A12i B12iC2i D2i解析：3i1i3i1i1i1i42i22i，选择 D.答案：D3(1i)22i2i_.解析：(1i)22i2i2i2i2535145 i.答案：35145 i探究一 复数的乘法运算阅读教材 P58例 2 及解答略题型：复数的乘法例 1(1)已知 x，yR，i 为虚数单位，且 xiy1i，则(1i)xy 的值为()A2 B2iC4 D2i(2)已知复数 z11232i(1i)(i 为虚数单位)，复数 z2 的虚部为 2，且 z1z2 是实数，求 z2.解析(1)xiy1i(x，yR)x1，且 y1所以(1i)xy(1i)22i，选
5、 D.(2)z11232i(1i)2i.设 z2a2i，aR，则 z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i，因为 z1z2R，所以 a4，所以 z242i.答案(1)D(2)见解析方法技巧 复数的乘法运算法则的应用(1)复数的乘法运算可以把 i 看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把 i2 化为1，进行最后结果的化简(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便例如，平方差公式、完全平方公式等跟踪探究 1.(1)若3bi1i abi(a，bR)，则|abi|_.(2)已知 a，bR，若 ai2bi，则(abi)2()A34i B34iC43i D43i解析：(1)3b
6、i1i abi，(a，bR)3bi(1i)(abi)(ab)(ba)i由复数相等ab3bab，则a0，b3.因此|abi|3i|3.(2)由 ai2bi得 a2，b1.(abi)2(2i)234i.答案：(1)3(2)A探究二 复数除法的运算阅读教材 P60例 4 及解答计算(12i)(34i)题型：复数的除法例 2 1i31i2()A1i B1iC1i D1i解析 法一：1i31i21i1i22i1i1i22i2i22i2i 1ii 1i.法二：1i31i21i1i2(1i)i2(1i)(1i)故选 D.答案 D方法技巧 1.两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将
7、分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式2常用公式(1)1ii；(2)1i1ii；(3)1i1ii.跟踪探究 2.(1)满足ziz i(i 为虚数单位)的复数 z()A.1212i B.1212iC1212i D1212i(2)若复数 z 满足 z(1i)2i(i 为虚数单位)，则|z|()A1 B2C.2D.3解析：(1)ziz i，zizi，iz(i1)z ii1i1i1i1i1i2 12i2.(2)z(1i)2i，z 2i1i2i1i21i，|z|1212 2.答案：(1)B(2)C探究三 共轭复数及其应用例 3(1)已知复数 z3
8、i1 3i2，z 是 z 的共轭复数，则 z z 等于()A.14B.12C1 D2(2)已知复数 z 满足|z|5，且(12i)z 是实数，求 z.解析(1)法一：z3i1 3i2 3i2i1 3i2i1 3i1 3i2i1 3ii1 3i4 34 i4，z 34 i4，z z 14.法二：z3i1 3i2，|z|3i1 3i2|3i|1 3i2|2412，z z 14.(2)设 zabi(a，bR)，则(12i)z(12i)(abi)(a2b)(b2a)i.又因为(12i)z是实数，所以 b2a0，即 b2a，又|z|5，所以 a2b25.解得 a1，b2.所以 z12i 或12i，所以
9、z 12i 或12i，即 z(12i)答案(1)A(2)见解析方法技巧 共轭复数的求解与应用(1)若复数 z 的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算必要时，需通过复数的运算先确定出复数 z 的代数形式，再根据共轭复数的定义求(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于 z 和 z 的方程，而复数 z 的代数形式未知，求 z.解此类题的常规思路为：设 zabi(a，bR)，则 z abi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解跟踪探究 3.已知复数 z1i，复数 z 的共轭复数 z 1i，求实数 a，b 使 az2b z(a2z)2.解析：z1i
10、，z 1i，az2b z(a2b)(a2b)i，(a2z)2(a2)244(a2)i(a24a)4(a2)i.a，b 都是实数，由 az2b z(a2z)2，得a2ba24a，a2b4a2，解得a2，b1或a4，b2.课后小结(1)熟练掌握乘除法运算法则求解运算时要灵活运用 in 的周期性此外，实数运算中的平方差公式，两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立(2)对共轭复数的理解当 a，bR 时，有 a2b2(abi)(abi)，其中 abi 与 abi 是一对共轭复数，这是虚数实数化的一个重要依据；互为共轭复数的两个复数的模相等，且|z|2|z|2z z；互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称素养培优误用判别式求解复数方程已知关于 x 的方程 x2(k2i)x2ki0 有实数根，则实数 k 的值为_易错分析：求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以(k2i)24(2ki)0，解得 k2 3或 k2 3，这里需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根自我纠正：设 x0 是方程的实数根，代入方程并整理得(x20kx02)(2x0k)i0.由复数相等的充要条件得x20kx020，2x0k0，解得x0 2，k2 2 或x0 2，k2 2，所以 k的值为2 2或 2 2.答案：2 204 课时 跟踪训练
