1、第三章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲解读1.了解任意角的概念及弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化(重点)2理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，并能熟练运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围预测2021年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值常以客观题形式考查，属中、低档试题.1.任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋
2、转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad，1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r23任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么siny，
3、cosx，tan.(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线1概念辨析(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)借助三角函数线可知，若为第一象限角，则sincos1.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)答案C解析角度制与弧度
4、制不能混用，排除A，B；因为2，所以与终边相同的角可表示为k36045(kZ)或k360315等，故选C.(2)若角同时满足sin0且tan0，则角的终边一定落在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析因为sin0，所以的终边位于x轴的下方，又因为tan0，所以角的终边一定落在第四象限(3)已知扇形的圆心角为120，其弧长为2，则此扇形的面积为_答案3解析设此扇形的半径为r，由题意得r2，所以r3，所以此扇形的面积为233.(4)设角的终边经过点P(4，3)，那么2cossin_.答案解析因为r|OP|5，所以cos，sin，所以2cossin2.题型一象限角与终边相同的角1
5、若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线yx上，则角的取值集合是()A BC D答案D解析因为直线yx的倾斜角是，所以终边落在直线yx上的角的取值集合为，故选D.2若角是第二象限角，则是第_象限角答案一或三解析因为角是第二象限角，所以2k2k，kZ，所以kk，kZ.所以是第一或第三象限角3设角1350，2860，1，2.(1)将1，2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将1，2用角度制表示出来，并在7200之间找出与它们有相同终边的所有角解(1)13503502，28608604，所以1是第一象限角，2是第二象限角(2)1180108，与1有相同终边的角为k360
6、108(kZ)，由720k3601080，解得k2或k1.所以在7200之间与1终边相同的角为612，252；218042036060.与2有相同终边的角为k36060(kZ)，由720k360600，解得k0或k1.所以在7200之间与2终边相同的角为60.1.象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角(2)转化法：先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角如举例说明3中判断1，2是第几象限角2.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和
7、终止边界(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间(3)起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合如举例说明2中角的表示方法.1.已知是第二象限的角，则180是第_象限的角答案一解析的终边与的终边关于x轴对称，的终边逆时针旋转180得180的终边，所以由是第二象限角可知，180是第一象限角.2.在7200范围内所有与45终边相同的角为_答案675或315解析与45终边相同的角可表示为k36045(kZ)，当k1时，36045315；当k2时，72045675，所以在7200范围内所有与45终边相同的角为675或315.3.已知角的终边在如
8、图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为_答案解析在0,2)内，终边落在阴影部分的角的集合为，所以所求角的集合为.题型二弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用1.已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是()A.2 B1 C. D3答案A解析解法一：设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为，则2rl4，面积Srlr(42r)r22r(r1)21，故当r1时S最大，这时l42r2.从而2.解法二：设扇形圆心角的弧度数为，弧长为l，则l4.故l.又Slr21.当且仅当，即2时，S取最大值.2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是_答案解析如
9、图所示，设半径为R，则sin1，所以R，弧长lR2R.应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决如举例说明1.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形1.扇形弧长为20 cm，圆心角为100，则该扇形的面积为_ cm2.答案解析由弧长公式l|r，得r(cm)，S扇形lr20(cm2).2.一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为_答案解析扇形的半径为R1，圆半径为R，S扇形LR1，S圆R
10、2，R1R，S扇形S圆，LR1R2，即LRR2，LR，C圆2R，.题型三任意角三角函数的定义及应用角度1利用三角函数的定义求值1.(2020白银摸底)已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A(x,3)是角终边上一点且cos，则x()A.3 B3 C1 D1答案D解析cos0及A(x,3)是角终边上一点x0，由三角函数的定义，得，解得x1.2.在平面直角坐标系xOy中，点A的纵坐标为2，点C在x轴的正半轴上，在AOC中，若cosAOC，则点A的横坐标为()A. B. C3 D3答案A解析设AOC，则点A的坐标为(OAcos，OAsin)，由cos，sin2cos21，以及OAsin2.
11、得到sin，OA3.故得到OAcos，即点A的横坐标为.角度2三角函数值符号的判定3.sin2cos3tan4的值()A.小于0 B大于0 C等于0 D不存在答案A解析因为2340，cos30，所以sin2cos3tan40.角度3三角函数线的应用4.设asin1，bcos1，ctan1，则a，b，c的大小关系是()A.abc Bacb Cbac Dbca答案C解析如图，设BOC1，由于1，结合三角函数线的定义有cos1OC，sin1CB，tan1AD，结合几何关系可得cos1sin1tan1，即bac.5.函数y的定义域为_答案x解析2sinx10，sinx.由三角函数线画出x满足条件的终边
12、范围(如图阴影所示)xx.1.三角函数定义应用策略(1)已知角的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义求解(2)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义推广求解(3)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义的推广形式求解(4)已知角的某三角函数值(含参数)或角终边上一点P的坐标(含参数)，可根据三角函数的定义(或推广形式)列方程求参数值如举例说明1.(5)已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义(或推广形式)可求角终边上某特定点的坐标如举例说明2.2.三角函数值符号的记忆口诀
13、一全正、二正弦、三正切、四余弦如举例说明3.3.三角函数线的两个主要应用(1)三角式比较大小如举例说明4.(2)解三角不等式(方程)如举例说明5.1.若sincos0，则角是()A.第一象限角 B第二象限角C.第三象限角 D第四象限角答案D解析由0，得0，cos0，又sincos0，所以sincosx成立的x的取值范围为_答案解析如图所示，找出在(0,2)内，使sinxcosx的x值，sincos，sincos.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x.组基础关1.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k2n(nZ)时，2n2n，此时上式表示的范围与表示的范围一样；当k2n
14、1(nZ)时，2n2n，此时上式表示的范围与表示的范围一样.2.点P(cos2019，sin2019)所在的象限是()A.第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限答案C解析因为20193605219，所以2019与219终边相同，是第三象限角所以cos20190，sin20190，所以点P在第三象限.3.若k360，m360(k，mZ)，则角与的终边的位置关系是()A.重合 B关于原点对称C.关于x轴对称 D关于y轴对称答案C解析与的终边关于x轴对称，与终边相同，与终边相同，所以与的终边关于x轴对称.4.已知角的终边上一点P的坐标为，则角的最小正值为()A. B. C. D.答案D解析由题
15、意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cossin，故2k(kZ)，所以的最小正值为.5.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0)的弧度数为()A. B. C. D.答案C解析设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为R，所以圆弧长为R.所以该圆弧所对圆心角的弧度数为.6.已知为第三象限角，则tan的值()A.一定为正数B.一定为负数C.可能为正数，也可能为负数D.不存在答案B解析因为为第三象限角，所以2k2k，kZ.所以kk，kZ.所以是第二或第四象限角所以tan0.7(2018北京高考)在平面直角坐标系中，是圆x2y21上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角
16、以Ox为始边，OP为终边，若tancossin，则P所在的圆弧是()答案C解析设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得xy，所以x0，所以P所在的圆弧是，故选C.8.已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos0，sin0，则实数a的取值范围是_答案(2,3解析cos0，sin0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.9.满足cos的角的集合为_答案解析由三角函数线画出满足条件的x的终边范围(如图阴影所示)所以.10分别以边长为1的正方形ABCD的顶点B，C为圆心，1为半径作圆弧AC，BD交于点E，则曲边三角形ABE的周长为_答案1解析如图，连接BE，EC.因为两圆半径都是1，正
17、方形边长也是1，所以BCE为正三角形，圆心角EBC，ECB都是，1，EBA，1，所以曲边三角形ABE周长是11.组能力关1.设是第三象限角，且cos，则是()A.第一象限角 B第二象限角C.第三象限角 D第四象限角答案B解析因为是第三象限角，所以2k2k，kZ，所以ksin，那么下列命题成立的是()A.若，是第一象限的角，则coscosB.若，是第二象限的角，则tantanC.若，是第三象限的角，则coscosD.若，是第四象限的角，则tantan答案D解析由三角函数线可知选D.3.九章算术是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中方田一章中记载了
18、计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积(弦矢矢矢)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弦长为40 m的弧田其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为(其中3，1.73)()A.15 m2 B16 m2 C17 m2 D18 m2答案B解析因为圆心角为，弦长为40 m，所以圆心到弦的距离为20，半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为(40202020)400200，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为4022040400，因此两者之
19、差为400(400200)16.4.顶点在原点，始边在x轴的正半轴上的角，的终边与单位圆交于A，B两点，若30，60，则弦AB的长为_答案解析由三角函数的定义得A(cos30，sin30)，B(cos60，sin60)，即A，B.所以|AB|.5.已知角的终边经过点P(x，)(x0)，且cosx，则sin的值是_答案或解析P(x，)(x0)，点P到原点的距离r.又cosx，cosx.x0，x.r2.当x时，P点坐标为(，)，由三角函数的定义，有sin，sin.当x时，同理可求得sin.6. 已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是_答案S1S2解析如图所示，因为直线l与圆O相切，所以OAAP，设的长为l，所以S扇形AOQlrlOA，SAOPOAAP，因为lAP，所以S扇形AOQSAOP，即S扇形AOQS扇形AOBSAOPS扇形AOB，所以S1S2.
